2021学年5.5 三角恒等变换第1课时学案及答案

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1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用．
两角差的余弦公式
温馨提示：右边是两项的和，第一项是csα与csβ的积，第二项是sinα与sinβ的积，口诀为“余余正正号相反”．
1．平面上，已知点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，那么两点间距离如何计算？
[答案] 利用公式|P1P2|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cs(60°－30°)＝cs60°－cs30°.( )
(2)对于任意实数α，β，cs(α－β)＝csα－csβ都不成立．( )
(3)对任意α，β∈R，cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ都成立．( )
(4)求csα时，有时把角α看成角α＋β与角β的差．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
题型一 给角求值
【典例1】 计算：(1)cs(－15°)；
(2)cs15°cs105°＋sin15°sin105°.
[思路导引] (1)将－15°用两特殊角之差表示，再正用公式求值；(2)逆用公式．
[解] (1)解法一：原式＝cs(30°－45°)
＝cs30°cs45°＋sin30°sin45°
＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
解法二：原式＝cs15°＝cs(45°－30°)
＝cs45°cs30°＋sin45°sin30°
＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
(2)原式＝cs(15°－105°)＝cs(－90°)
＝cs90°＝0.
利用公式C(α－β)求值的思路方法
(1)求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差，正用公式直接求值．
(2)如果函数名称不满足公式特点，可利用诱导公式调整角和函数名称，构造公式的结构形式然后逆用公式求值．
[针对训练]
1．cs15°cs45°＋cs75°sin45°的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(\r(3),2)
[解析] 原式＝cs15°cs45°＋sin15°sin45°＝cs(15°－45°)＝cs30°＝eq \f(\r(3),2)，故选B.
[答案] B
2．化简cs(α＋45°)csα＋sin(α＋45°)sinα＝________.
[解析] cs(α＋45°)csα＋sin(α＋45°)sinα＝cs(α＋45°－α)＝eq \f(\r(2),2).
[答案] eq \f(\r(2),2)
题型二 给值求值
【典例2】 已知α，β均为锐角，sinα＝eq \f(8,17)，cs(α－β)＝eq \f(21,29)，求csβ的值．
[思路导引] 考虑到β＝[α－(α－β)]这一关系，所以先求α角的余弦和α－β角的正弦，然后代入两角差的余弦公式．
[解] ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sinα＝eq \f(8,17)