高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第3课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第3课时导学案，共12页。
1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．
2．能灵活运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明等，掌握公式的正向、逆向及变形应用．
两角和与差的正切公式
温馨提示：在应用两角和与差的正切公式时，只要tanα，tanβ，tan(α＋β)(或tan(α－β))中任一个的值不存在，就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题．如化简taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))，因为taneq \f(π,2)的值不存在，所以不能利用公式T(α－β)进行化简，应改用诱导公式来化简，即taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β)))＝eq \f(csβ,sinβ).
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)tanα·tanβ，tanα＋tanβ，tan(α＋β)三者知二可表示或求出第三个．( )
(2)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,3)))能根据公式tan(α＋β)直接展开．( )
(3)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
题型一 正切公式的正用
【典例1】 (1)求值：tan(－75°)；
(2)已知csα＝eq \f(4,5)，α∈(0，π)，tan(α－β)＝eq \f(1,2)，求tanβ.
[思路导引] (1)75°＝45°＋30°，利用两角和的正切公式求解；(2)由已知可求得sinα的值，则可求得tanα，因为β＝α－(α－β)，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]，再利用两角差的正切公式求解．
[解] (1)tan75°＝tan(45°＋30°)
＝eq \f(tan45°＋tan30°,1－tan45°tan30°)＝eq \f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝eq \f(3＋\r(3),3－\r(3))
＝eq \f(12＋6\r(3),6)＝2＋eq \r(3)，
tan(－75°)＝－tan75°＝－2－eq \r(3).
(2)∵csα＝eq \f(4,5)>0，α∈(0，π)，∴sinα>0.
∴sinα＝eq \r(1－cs2α)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝eq \f(3,5)，
∴tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \f(\f(3,5),\f(4,5))＝eq \f(3,4).
∴tanβ＝tan[α－(α－β)]
＝eq \f(tanα－tanα－β,1＋tanα·tanα－β)＝eq \f(\f(3,4)－\f(1,2),1＋\f(3,4)×\f(1,2))＝eq \f(2,11).
[变式] 本例(2)中，其他条件不变，求tan(2α－β)．
[解] tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝eq \f(tanα＋tanα－β,1－tanα·tanα－β)＝eq \f(\f(3,4)＋\f(1,2),1－\f(3,4)×\f(1,2))＝2.
(1)利用公式T(α＋β)求角的步骤：
①计算待求角的正切值．
②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．
③根据角的范围及三角函数值确定角．
(2)注意用已知角来表示未知角．
[针对训练]
1．已知tanα＝2，tanβ＝－eq \f(1,3)，其中0