初高中数学衔接讲义-二次函数的最值问题

初高中数学衔接----二次函数的最值问题二次函数是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础。在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值．本节我们将在这个基础上继续学习当自变量在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．设，求在上的最大值与最小值．分析：将配方，得对称轴方程当时，抛物线开口向上若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；若，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．当时，可仿上得结论。题型：一、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）定轴定区间型；（2）定轴变区间型；（3）变轴定区间型；（4）变轴变区间型。（一）定轴定区间型1．已知函数，求函数的最值。解：由y=x2-2x+3=（x-1）2+2得：当x=1时ymin=22．当时，求函数的取值范围．解：作出函数在内的图象．可以看出：当时，，无最大值．所以，当时，函数的取值范围是．3．已知函数，求函数在闭区间、、上的最值。（二）定轴动区间型1．求函数在区间上的最小值。解：对称轴（1）当即时，；（2）当即时，；（3）当即时，2．函数，，函数表示在上的最大值，求的表达式。解析：f(x)=x2+4x+3=(x+2)2-1，其图象是以直线x=-2为对称轴，开口向上的抛物线，且有当f(x)=0时，x1=-3，x2=-1，因所给区间[t，t+2]的长度为2，区间中点为t+1，故当t+1在对称轴x=-2的左侧，即t+1<-2，也即t<-3时，有fmax=f(t)=g(t)=t2+4t+3；当t+1≥-2，即t≥-3时，有g(t)=f(t+2)=(t+2)2+4(t+2)+3=t2+8t+15∴（三）动轴定区间型1．求函数的最小值。解：对称轴（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解：（1）当时，；  （2）当时，。    2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？ 解：（1）当时，，；（2）当时， ，；（3）当时，，；（4）当时， ，。 二、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。1.已知二次函数在上有最大值2，求实数的值。解：分析：对称轴与区间的相应位置分三种情况讨论：（1）当时， ∴（2）当 时， , 即,无解；（3）当时，, ∴综上可知：或点评：求二次函数在闭区间[m,n]上的最值只有以下两种情况：①若，则在f(m),f(n),f()中，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。②若，则在f(m)与f(n)中，较大的一个为最大值，较小的一个为最小值。2. 已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数的值。分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明。解：（1）令，得此时抛物线开口向下，对称轴为，且故不合题意；（2）令，得，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故符合题意；（3）若，得，经检验，符合题意。综上，或评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。3．函数在上有最大值5和最小值2，求的值。解：对称轴，故函数在区间上单调。（1）当时，函数在区间上是增函数，故 ；（2）当时，函数在区间上是减函数，故 4．已知函数  在闭区间上有最大值3，最小值2,则的取值范围是（ D  ）A.练习：1.已知二次函数（1）当时，求的最值；（2）当时，求的最值；（1）当时，求的最小值；2. 求函数在区间上的最小值。解析：（1）当，即时，；（2）当，即时，；（3）当，即时，。综上，评注：已知，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得在上的最大值或最小值。3. 已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值。解析：,（1）若，不合题意。（2）若，则    由，得（3）若时，则  由，得综上知或4．已知二次函数在上有最小值，求实数的值。解：分析：对称轴与区间的中点相对位置分两种情况讨论。（1）当时，,∴（2）当时，,∴综上可知：或