2023届江西省抚州市金溪县第一中学高三上学期第一次月考文科数学（含答案）

金溪一中2023届高三上学期第一次月考

数学试卷（文科）  

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知角的终边上的一点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若，则复数(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在中，点是线段上任意一点，是线段的中点，若存在实数，使得(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知，均为锐角，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数的部分图象如图所示，则取得最小值时的集合为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 已知函数，其图象相邻的最高点之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则(    )

A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于点对称
C. 在上单调递增 D. 在上单调递增

8. 在中，内角所对的边分别为，若，则的形状是(    )

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形

9. 如图：在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，点是边的中点，且，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数的图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

11. 在中，设，则动点的轨迹必通过的(    )

A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心

12. 若且，

则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知向量与的夹角为，且，，则__________．
14. 若，，则在上的投影为________．
15. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度          
16. 若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是          ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。第17题10分，其余各题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知向量，．

若，求实数的值；

若，，求向量与的夹角．

18. 已知，，，．

若为真命题，求的取值范围；

若为真命题，且为假命题，求的取值范围．

19.某公园要建造如图所示的绿地，、为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏与的总长度为米，且设

当，时，求的长

当时，求面积的最大值及此时的值．

20.已知如图，中，是边的中线，，且
．
求的面积；
若，求的长．

21. 已知的内角为、、，其对边分别为、、，为锐角，向量，，且．

求角的大小；

如果，求的最大值．

22.  已知函数在处的切线与直线平行．
求实数的值，并判断函数的单调性；
若函数有两个零点，，且，求证：．

参考答案

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查描述法的定义，对数函数的单调性和定义域，以及并集的运算．
可求出集合，然后进行并集的运算即可．

【解答】

解：；
．
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：角的终边上的一点，，
则，
故选：．
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查复数的运算及共轭复数的定义，属基础题，
依题意，化简复数得，所以，即可求得结果．
【解答】
解：因为，
所以，
故选D．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平面向量的加减运算及平面向量共线的条件，同时考查平面向量基本定理，属于中档题．
设，然后利用平面向量的加减运算即可求解．
【解答】
解： 如下图，

因为点在边上，
所以存在，使得，
因为是线段的中点，
则 ，
又，
所以，
所以．
故选D．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查两角差的正弦公式和诱导公式，属中档题．
根据，和的取值范围，求出，再根据诱导公式和两角差的正弦函数公式求出答案．

【解答】

解：由题意可知，都为钝角，
，，
，
故选C．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的图象与性质，属于中档题．
由图象可得周期，所以，又图象经过，得，故，所以当，即时，取得最小值．

【解答】

解：根据图象，可知周期，

故，即，

因此，

又图象经过，结合题意有，，

再由，得，

故，

当，即时，取得最小值．

故选B．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
根据题意可得函数的最小正周期为，即可求得，求得的解析式，根据为奇函数求得，从而得到函数的解析式，再根据三角函数的性质依次判断即可．

【解答】

解：，其图象相邻最高点之间距离为，
即函数的最小正周期，则 ，
所以将函数的向左平移个单位长度后，，
因为为奇函数，
所以，
又，则，
则，
当时，，故A错误；
当时，，故B错误；
当时，，所以在单调递增，故C正确；
当时，，所以在单调递减，故D错误；
故选C．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查判断三角形的形状，正弦定理，属于中档题．
利用同角关系和正弦定理，得，则，求得，即可判断形状．

【解答】

解：由，
得，
由正弦定理，得，
即，
则，
因为，为的内角，
故，
故为直角三角形，
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的综合应用，属于中档题．
可先利用正弦定理得，结合余弦定理求出角，再结合中线对应的向量求出，然后根据三角形面积公式求出结果．

【解答】

解：由已知及正弦定理得，整理为
所以，
又，所以，因为为的中点，
所以，
即，解得，舍去负根，
所以．
故选B．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数图象的识别，属于基础题．
首先判断函数奇偶性排除，又根据当时，，排除，当时，，排除，即可得出结论．

【解答】

解：，，
为偶函数，排除
又当时，，排除，
当时，，排除
故选B．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的几何应用，熟练掌握向量的运算法则、数量积与垂直的关系、三角形的外心定义是解题的关键属于中档题．
用向量的运算法则、数量积与垂直的关系判断出，根据三角形的外心定义即可得出．

【解答】

解：如图所示：

设线段的中点为，则．
，
，
，即
，且平分．
因此动点的轨迹必通过的外心．
故选D．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，式子的变形是解题的关键，属于拔高题．
由题意可得和是方程的两个实数解．再由和的范围都是，方程在上只有一个解，可得，所以，由此求得的值． 

【解答】

解：，
，即 ．
再由，可得．
故和是方程的两个实数解．
再由，，
所以和的范围都是，
由于函数 在上单调递增
故方程在上只有一个解，
所以，
所以，
所以．
故选： 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的模及向量垂直的条件，利用两个向量垂直其数量积为，得到关于的方程，即可求得结果，属基础题．

【解答】

解：向量与向量的夹角为，且，，

所以，即

则．

故答案为．

14.【答案】 

【解析】解：若，，
在上的投影为，
故答案为：
根据所给的两个向量的坐标，写出在上的投影的表示式，代入坐标求出结果，注意分清楚是哪一个向量在哪一个向量上的投影．
本题考查向量的投影问题，本题解题的关键是正确利用投影公式，写出投影的大小，属于基础题．
 

15. 【答案】

【解析】

【分析】

本题考查解三角形的实际应用、正弦定理，考查分析与计算能力，属于基础题．
由题已知及正弦定理得，又在中，，计算求解即可．

【解答】

解：在中，，，
所以由正弦定理得，
．
在中，．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用导数研究函数的最值，属于中档题．
求导确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数的取值范围．

【解答】

解：由题意，，
故在，上是增函数，
在上是减函数，
作其图象如图，
令得，
或；
则结合图象可知，

；
解得，；
故答案为：．
 

17.【答案】解：因为，，
所以，，
由，可得，
即，解得或；
由题意，，
又，则，
解得，则，
所以，
又，所以与的夹角为． 

【解析】本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角，属于中档题．
得出，，根据即可求解的值；
可得，根据可得的值，再运用向量之间的夹角公式求解即可．
 

18.【答案】解：当时，不恒成立，不符合题意，
当时，
解得，
综上所述，；
，，
则，，
为真命题，且为假命题，
真假，或假真，
当真假，有，，
当假真，有，无解，
综上所述，． 

【解析】本题考查了特称命题，全称命题，以及复合命题的真假的应用，属于中档题．
由题意，分别讨论是否为，结合二次函数的性质，得到结果；
根据条件，得到命题真假，或假真，分类讨论，得到结果．
 

19.【答案】解：在中，，，，
由余弦定理，得，
故AC．
因此的长为米
连接，由题意，且，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得
故，，均为锐角，故，
故≌，面积是面积的倍，
，
由得，
于是面积△OBC
，，
当时，即时，取最大值平方米．
因此当时，面积的最大值为平方米． 

【解析】本题考查正余弦定理在实际生活中的应用，三角形面积公式，属于中档题．
在中，由余弦定理可得可求；
当时，先证≌，即可得面积，再计算可求面积的最大值及此时的值．
 

20.【答案】解：Ⅰ，
，
即，
．
Ⅱ由得，
延长到，使，连结，
，
四边形为平行四边形，
，且，
设，则，在中，由余弦定理得：
，
解得，即的长为． 

【解析】本题考查向量数量积的定义和三角形的余弦定理、面积公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
Ⅰ由向量数量积的定义可得，再由三角形的面积公式可得所求值；
Ⅱ由得，延长到，使，连结，运用平行四边形的性质和余弦定理，解方程可得所求值．
 

21.【答案】解：，
为锐角，
；
由，得，
，．
，
即的最大值为． 

【解析】本题考查向量的三角形中的应用，余弦定理的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题．
利用，结合两角和与差的三角函数化简，即可求解的大小；
通过余弦定理推出的范围，然后求解三角形的面积的最值．
 

22.【答案】解：Ⅰ函数的定义域：，
因为
所以解得，
，
令，解得，故上单调递减，
令，解得，故上单调递增．
Ⅱ由，为函数的两个零点，
得，
两式相减，可得，
即，，
因此，，
令，
则，
构造函数，
则，
所以函数在上单调递增，故，
即，又所以，所以，
故命题得证． 

【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及换元思想，转化思想，是一道综合题．
Ⅰ求出函数的导数，求出的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
Ⅱ求出，，令，则，构造函数，根据函数的单调性证明即可．