江苏省马坝高级中学2023届高三数学9月质量检测试卷（Word版附解析）

江苏省马坝高级中学2022-2023学年第一学期9月份质量检测

高三数学

试卷满分：150分      考试时间：120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则等于（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】.

.因此.故选：D

2．在复平面内，复数，则的虚部是（    ）

A． B．1 C．2 D．

【答案】A

【解析】由题，所以的虚部为，故选：A

3.已知等差数列的公差为1，为其前项和，若，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】D

【解析】依题意.故选：D

4．高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（    ）

A．16种 B．18种 C．37种 D．48种

4【答案】C

【详解】三个班有一个班去甲，方法数有；三个班有两个班去甲，方法数有；三个班都去甲，方法数有，故总的方法数为种，故选C.

5．函数的部分图象大致是（    ）

A    B   C    D．

5.【答案】D

【详解】因为函数定义域为，关于原点对称，而，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A，C；又因为，故排除B．

故选：D．

6．已知定义在R上的函数f(x)满足，①f(x＋2)＝f(x)，②f(x－2)为奇函数，③当x∈[0,1)时，>0(x1≠x2)恒成立．则f、f(4)、f的大小关系正确的是(    )

A．f>f(4)>f      B．f(4)>f>f

C．f>f(4)>f      D．f>f>f(4)

6．答案：C

解析：由f(x＋2)＝f(x)可得f(x)的周期为2，

因为f(x－2)为奇函数，所以f(x)为奇函数，

因为x∈[0,1)时，>0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，

因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(－1,0)上单调递增，

所以f(x)在(－1,1)上单调递增，

因为f＝f＝f，f(4)＝f(4－2×2)＝f(0)，

f＝f＝f，

所以f>f(0)>f，即f>f(4)>f.

7．中，，D为AB的中点，，则（  ）

A．0 B．2 C．-2 D．-4

【答案】A

【解析】在中，D为AB的中点，，取为基底，

所以,

.

所以.

因为，，所以.

即.故选：A

8．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)<f′(x)<0，则 (      )

A．ef(2)>f(1)，f(2)>ef(1)      B．ef(2)>f(1)，f(2)<ef(1)

C．ef(2)<f(1)，f(2)>ef(1)      D．ef(2)<f(1)，f(2)<ef(1)

8．答案：C

解析：由题意可知，函数f(x)在R上单调递减．f(x)＋f′(x)<0，f′(x)－f(x)>0.

构造h(x)＝exf(x)，定义域为R，则h′(x)＝exf(x)＋f′(x)ex＝ex[f(x)＋f′(x)]<0，所以h(x)在R上单调递减，所以h(2)<h(1)，即e2f(2)<ef(1)，ef(2)<f(1)，故A，B错误；构造g(x)＝，定义域为R，则g′(x)＝＝>0，所以g(x)在R上单调递增，所以g(2)>g(1)，即>，f(2)>ef(1)，故D错误．

二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下面命题正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．命题“若，则”的否定是“存在，”

C．设，则“且”是“”的必要不充分条件

D．设，则“”是“”的必要不充分条件

【答案】ABD

【详解】选项A，由，能推出，但是由，不能推出，例如当时，符合，但是不符合，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；

选项B，根据命题的否定的定义可知：命题“若，则”的 否 定 是“ 存 在，则”，故B正确；

选项C，根据不等式的性质可知：由且能推出，充分性成立，故C错误；

选项D，因为可以等于零，所以由不能推出，由可得或，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.

故选：ABD

10．已知向量，，，，则下列说法正确的是（       ）

A．若，则有最小值    B．若，则有最小值

C．若，则的值为       D．若，则的值为1

【答案】AD

【解析】∵，，∴．

对A：若，则，

当且仅当，即，，取得等号，故选项A正确；

对B：若，则，

当且仅当，，取得等号，故选项B错误；

对C：若，则，即，

则，故选项C错误；

对D：，则，

所以，，则D正确.故选：AD．

11．函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（  ）

答案：BC

A．图像的一条对称轴可能为直线

B．函数的解折式可以为

C．的图像关于点对称

D．在区间上单调递增

12. 某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”学生书画作品比赛，经评审，评出一、二、三等奖作品若干（一、二等奖作品数相等），其中男生作品分别占，，，现从获奖作品中任取一件，记“取出一等奖作品”为事件，“取出男生作品”为事件，若，则（    ）

A.  B. 一等奖与三等奖的作品数之比为

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】依题意设一、二等奖作品有件，三等奖作品有件，即可表示男、女生获一、二、三等奖的作品数，再根据求出与的关系，从而一一判断即可.

【详解】解：设一、二等奖作品有件，三等奖作品有件，

则男生获一、二、三等奖的作品数为、、，

女生获一、二、三等奖的作品数为、、，

因为，所以，

所以，故A正确；

，故C错误；

一等奖与三等奖的作品数之比为，故B正确；

，故D正确；

故选：ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率是____．

【答案】2

【解析】不妨取双曲线的一条渐近线，

即，

则右焦点渐近线的距离，

所以，则，

所以双曲线的离心率.故答案为：2.

14．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是______．

【答案】180

【详解】因为题中二项展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以．

，令得．

所以常数项为．

故答案为：180

15.如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________.

【答案】

【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示即可求出的值

【详解】因为，所以为的中点，

因为是的中点，

所以，

所以,

因为，

所以，

故答案为：

16．设函数f(x)＝已知不等式f(x)≥0的解集为[－，＋∞)，则a＝   ▲   ，若方程f(x)＝m有3个不同的解，则m的取值范围是   ▲   ．

16．答案：0　(0,2)

解析：由y＝x3－3x，得y′＝3x2－3；

由y′>0得x>1或x<－1；由y′<0得－1<x<1；

所以y＝x3－3x在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；

因此，当x＝－1时，函数y＝x3－3x取得极大值2；当x＝1时，函数y＝x3－3x取得极小值－2；

由x3－3x＝0可得x＝0或x＝±；

在同一直角坐标系中，作出函数y＝x3－3x与y＝x的大致图象如图，

由图象可得，当x∈[－，0]∪[，＋∞)时，x3－3x≥0；

因为f(x)＝，为使不等式f(x)≥0的解集为[－，＋∞)，

结合图象可知，只有a＝0；

所以f(x)＝

因为方程f(x)＝m有3个不同的解，等价于函数y＝f(x)与直线y＝m有三个不同的交点，

作出函数f(x)＝的大致图象如图：

由图象可得，0<m<2.

四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程演算步骤．

17．（本题满分10分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求A；

(2)若，，求的面积.

解：(1)因为，

在中，由正弦定理可得，化简得， ……2分

所以.

又因为，所以. …………………………………………………5分

(2)由余弦定理，得

因为，所以将代入上式，解得，………………………8分

所以的面积.……………10分

18.已知函数f(x)＝x3＋x2－2x＋，其中a∈R．若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线2x＋y－1＝0平行．

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的极值．

[解]　(1)由已知，可得f′(x)＝x2＋ax－2．………………………2分

∵函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线2x＋y－1＝0平行，

∴f′(1)＝a－1＝－2，………………………4分

解得a＝－1．经验证，a＝－1符合题意．………………………6分

(2)由(1)得f(x)＝x3－x2－2x＋，f′(x)＝x2－x－2＝(x＋1)(x－2)．

令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝2．………………………8分

当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

………………………10分

∴当x＝－1时，f(x)取得极大值，且f(－1)＝2；

当x＝2时，f(x)取得极小值，且f(2)＝－．………………………12分

19．已知函数．

(1)若且，求的值；

(2)记函数在上的最大值为b，且函数在上单调递增，求实数a的最小值．

解：(1)，∵，∴，……2分

∵，∴，∴，……4分

∴； ……6分

(2)当时，，，∴，……8分

由，，得，，

又∵函数在上单调递增，

∴，………………………………………10分

∴，

∴，∴实数a的最小值是.…………………………………………12分

20．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，平面，且，点在棱上，点为中点.

(1)证明：若，直线平面；

(2)求二面角的正弦值；

【解析】(1)

如图所示，在线段上取一点，使，连接，，

，

，………………………………………2分

又，，

，四边形为平行四边形，

，………………………………………4分

又，，

所以平面平面，

平面，

平面；………………………………………6分

(2)

如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，………………………………………7分

又是中点，则，

所以，，，

设平面的法向量，

则，令，则，………………………………………9分

设平面的法向量，

则，令，则，………………………………………10分

所以，………………………………………11分

则二面角的正弦值为；………………………………………12分

21．随着原材料供应价格的上涨，某型防护口罩售价逐月上升． 1至5月，其售价（元/只）如下表所示：

(1)请根据参考公式和数据计算相关系数（精确到0.01）说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求y关于x的线性回归方程；

(2)某人计划在六月购进一批防护口罩， 经咨询届时将有两种促销方案：

方案一：线下促销优惠．采用到店手工“摸球促销”的方式．其规则为：袋子里有颜色为红、黄、蓝的三个完全相同的小球，有放回的摸三次．若三次摸的是相同颜色的享受七折优惠，三次摸的仅有两次相同颜色的享受八折优惠，其余的均九折优惠．

方案二：线上促销优惠．与店铺网页上的机器人进行“石头、剪刀、布”视频比赛．客户和机器人每次同时、随机、独立地选择“石头、剪刀、布”中的一种进行比对，约定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头．手势相同视为平局，不分胜负．客户和机器人需比赛三次，若客户连胜三次则享受七折优惠，三次都不胜享受九折优惠，其余八折优惠．

请用（1）中方程对六月售价进行预估，用X表示据预估数据促销后的售价，求两种方案下X的分布列和数学期望，并根据计算结果进行判断，选择哪种方案更实惠．

参考公式：，，其中，．

参考数据：，，，．

21．(1)相关系数

，

由于0.98接近1，说明y与x之间有较强的线性相关关系．………………………2分

，，

所以．………………………………………4分

(2)由（1）可知，，当时，，即6月预计售价为4元/只．

X可取的值为2.8，3.2，3.6．

若选优惠方案一，

；；  ；

此时.………………………………………8分

若选优惠方案二，

客户每次和机器人比赛时，胜出的概率为，则不胜的概率为．

；；

；

此时.………………………………………11分

，说明为使花费的期望值最小，应选择方案一．……………………………12分

22．（本题满分12分）已知．
（1）讨论的单调性；

（2）已知函数有两个极值点，，求证：．
解：（1），

记，则．……………………………2分

由， ，解得．

当时，，函数即单调递减；

当时，，函数即单调递增．…………………………………4分

（2）由题意知有两个零点，为，不妨设，

由（1）可知，．所以.……………………6分

设 ，

则……………………………………………………7分

因为，由均值不等式可得，

当且仅当，即时，等号成立．所以在上单调递增．…………9分

由，可得，即，

因为为函数的两个零点，所以，所以，

又，所以，又函数在上单调递减，

所以，即．………………………………………12分