（10）空间向量的应用--高考数学一轮复习空间向量与立体几何能力进阶加时练

【配套新教材】（10）空间向量的应用

---高考数学一轮复习

空间向量与立体几何能力进阶加时练

1.已知向量，平面的一个法向量，若，则(   )

A.，  B.，

C.  D.

2.如图所示，正方体中，点分别在上，且，则(   )

A.至多与之一垂直 B.与都垂直

C.与相交  D.与异面

3.如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是(   )

A. B. C. D.

4.正四棱锥中，，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为(   )

A. B. C. D.

5.如图，在正三棱柱中，，，D为BC的中点，E为上的点，且，当二面角的余弦值为时，实数m的值为(   )

A.1 B.2 C. D.3

6.如图，点为矩形所在平面外一点，平面为线段的中点，，则点到平面的距离为(   )

A. B. C. D.

7.如图，在棱长为a的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离(   )

A.等于  B.和EF的长度有关

C.等于  D.和点Q的位置有关

8. (多选)已知正方体的棱长为1，E，F分别为线段，上的动点，则下列结论正确的是(   )
A.平面

B.平面平面

C.点F到平面的距离为定值

D.直线AE与平面所成角的正弦值为定值

9. (多选)已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是(   )

A.点A到直线BE的距离是

B.点O到平面的距离为

C.平面与平面间的距离为

D.点P到直线AB的距离为

10. (多选)如图，在正方体中，P为线段上的动点(不包含端点)，正方体棱长为1，则下列结论正确的有(   )

A.直线与所成的角的取值范围是

B.存在P点，使得平面平面

C.三棱锥的体积为

D.平面截正方体所得的截面可能是直角三角形

11.在棱长为2的正方体中，M，N分别是的中点，则直线MN与平面ABCD所成的角的余弦值为__________.

12.如图，在直三棱柱中，，，D为上一点.若二面角的大小为30°，则AD的长为_____________.

13.如图，在棱长为2的正方体中，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上，若P，Q均为动点，则PQ的最小值为_____________.

14.在长方体中，，，Q是线段上一点，且，则点Q到平面的距离为____________.

15.如图，和都是边长为2的正三角形，且它们所在平面互相垂直.平面，且.

(1)设P是的中点，求证:平面.

(2)求二面角的正弦值.

答案以及解析

1.答案：A

解析：因为，所以，由，得，，，.故选A.

2.答案：B

解析：以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为3，则，，，，，即，即.又，.故选B.

3.答案：C

解析：以过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴，直线OC，OS分别为y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，

则根据题意可得，，，，

所以，，

设异面直线AB与CM所成角为，

则.

故选：C.

4.答案：C

解析：连接BD，AC，交于点O，连接OS，则平面ABCD，，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，设平面SBC的法向量为，

则由，，得令，得，，所以.

又，设直线AC与平面SBC所成角为，则.

故选C.

5.答案：A

解析：由题意知，如图所示，过点A在平面ABC内作，则以A为原点，以Ax，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则，，，因此，.
设平面ADE的一个法向量为，则即令，得，，所以，取平面ADC的一个法向量，由二面角的余弦值为，得，解得，又，所以.故选A.
 

6.答案：B

解析：如图，以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，.

设平面的一个法向量为，则即

令，则.

点到平面的距离.

7.答案：A

解析：取的中点G，连接PG，CG，DP，则，所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离，与EF的长度无关， B错.又平面PGCD，所以点到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离，与点Q的位置无关，D错.

如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，

设是平面PGCD的法向量，

则由得

令，则，，所以是平面PGCD的一个法向量.

设点Q到平面PEF的距离为d，则，A对，C错.故选A.

8.答案：ABC
解析：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

由题意知，，，，，，，，，则，，
设，，，
则，

.
设，，，则.
对于A，， ， ，
， ，
又AC，平面，，
平面，故A正确；
对于B，，，，
，，
又，平面，，
平面，
又平面，
平面平面，故B正确；
对于C，平面，为平面的一个法向量，
，点F到平面的距离，为定值，故C正确；
对于D，易知平面，
是平面的一个法向量，
设直线AE与平面所成的角为，
又，
，
不是定值，故D错误.故选ABC.

9.答案：BC

解析：如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，.

设，则，.

故A到直线BE的距离，故A错.

易知，

平面的一个法向量，则点O到平面的距离，故B对.

，，.

设平面的法向量为，

则所以

令，得，，

所以.

所以点到平面的距离.

因为易证得平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，

所以平面与平面间的距离为，故C对.

因为，所以，又，则，所以点P到AB的距离，故D错.

10.答案：BC

解析：本题考查立体几何的综合应用.

对于A选项，如图①，连接以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则.则有，所以.令，，

所以在上单调递减.

因为，所以，又，故，故A选项错误.

对于B选项，当P为的中点时，有，易证平面平面，故B选项正确.

对于C选项，三棱锥的体积，故C选项正确.

对于D选项，设的中点为O，连接.当P点在线段(不包含端点)上时，此时平面截正方体所得的截面为梯形，如图②;当P点在O点时，此时平面截正方体所得的截面为正三角形;当P点在线段(不包含端点)上时，此时平面截正方体所得的截面为等腰三角形，如图③，该三角形不可能为直角三角形，故D选项错误.故选BC.

11.答案：

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，

则，所以，平面ABCD的一个法向量为，所以，设直线MN与平面ABCD所成的角为，则，所以.

12.答案：

解析：如图，以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则，，，，.设，则点D的坐标为，.

设平面的法向量为，则令，得.又平面的一个法向量为，记为n，则由，解得（负值舍去），故.

13.答案：

解析：因为P，Q分别为AB，CD上的动点，

所以PQ的最小值即异面直线AB，CD间的距离.如图，建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设是异面直线AB与CD的公垂线的方向向量，

则

令，得，，

是异面直线AB与CD的公垂线的方向向量，

设异面直线AB，CD间的距离为d，

则，即PQ的最小值为.

14.答案：

解析：如图，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，

由，得，

，

设平面的法向量为，

由得

取，则，，，

点Q到平面的距离.

15.答案：(1)见解析

(2)

解析：(1)证明：取的中点O，连接.

是正三角形，

.

∵平面平面，平面平面，

平面.

平面，

.

在中，，

.

又，

为等腰三角形.

是的中点，.

平面，

.

平面平面，

平面.

(2)由(1)知，，

∴四边形为平行四边形，

，

.

以点O为坐标原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系，

则， ，

.

设平面的法向量为，

则即

令，则，

.

设平面的法向量为，

则即

令，则，

.

.

，

∴二面角的正弦值为.