高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理教案设计

导入新课

新知导入：

情景一：计算(a+b)n展开式的二项式系数？

答：二项式系数:

将上表写成如下形式：

思考：通过上表和上图，能发现什么规律？

答：在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等,即每一行都具有对称性，即；

在相邻的两行中,除了开头和结尾的两个数外,其他每个数都等于它肩上两个数之和，即；

第n(n∈N*)行的各数之和为2n ;

当n=2，4，6时,中间一项值最大;当n=1，3，5时,中间两项值最大.

学生思考问题，引出本节新课内容.

设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课.

讲授新课

新知讲解：二项式系数的性质

(1)对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式得到,对称轴为r=n/2

(2)增减性与最大值

因为

即 ，由

当时,二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知，它的后半部分是逐渐减小的.

当n是偶数时，中间的一项取得最大值.

当n是奇数时，中间的两项和相等,且同时取得最大值.

（3）各二项式系数的和

已知

令x=1得，

所以，(a+b)n的展开式的各二项式的系数之和为2n

例题讲解：

例1   证明:在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

答：在展开式中，令a=1,b=-1得，即，因此，即在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

例2  在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：

(1)  二项式系数之和.      

(2)  各项系数之和.     

(3)所有奇数项系数之和.

解：设

（1）二项式系数之和为：

（2）各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，

令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.

 (3)令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，

又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，将两式相加得a0＋a2＋a4+a6+a8=(59-1)/2，则所有奇数项之和为(59-1)/2

例3  在的展开式中

（1）求二项式系数最大的项； 

（2）系数的绝对值最大的项是第几项?

解：展开式的通项公式为

(1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，因此

(2)设第k+1项系数的绝对值最大，则，即

解得k=5或k=6，故系数绝对值最大的项是第6项或第7项.

课堂练习：

1．展开式中各项系数之和为（  A  ）

A．26    B．36    C．46  D．1

2．已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则 （  C  ）

A．4   B．5    C．6    D．7

3．(1-2x)7的展开式中系数最大的项为（  B  ）

A．第4项 B．第5项  C．第7项 D．第8项

4. 已知的展开式中所有项的系数和等于，则展开式中项的系数的最大值是（  C  ）

A．       B．       C．7      D．70

5．(1+x)n的展开式中，系数最大的项是 (   C   )

A．第项   B．第n项 

C．第n+1项       D．第n项与第n+1项

6. 若(1+x)3(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+...+a7x7，则a0+a2+a4+a6= （   B ）

A．3   B．4     C．5    D．6

7．已知(2m+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则m=（  B ）

A．     B．      C．4      D． 7

拓展提高：

8.  设 (1-x)15=a0+ a1x+ a2x2+...+ a15x15

求:  (1)  a1+ a2+ a3+ a4+...+ a15

    (2)  a1+ a3+ a5+...+ a15

答：（1）令x=0可得115=a0，则a0=1

令x=1可得015=a0+a1+a2+...+a15，

所以  a1+a2+...+a15=-a0=-1

（2）令x=-1可得

215=a0-a1+a2-a3+...-a15          ①

 令x=1 可得

015=a0+a1+a2+a3+...+a15       ②

①-② 得：215=-2(a1+a3+a5+...+a15 )

所以a1+a3+a5+...+a15=-214

9．在的展开式中.求：

（1）所有项的系数和；  （2）x4的系数；   

（3）系数最大的项.

解：（1）令x=1 ，该展开式中所有项的系数和为312

(2) 该展开式的通项公式为：

令36-4k=4，解得k=8，所以x4的系数为：

(3) 设第k+1（r∈N,k≤12）项的系数最大，则

解得,因为k∈N，所以k=4，

所以该展开式中系数最大的项为

链接高考

10．（2011  全国高考真题（理））                          的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(  D   )

A．-40      B．-20      C．20     D．40

11. （2020  北京高考真题）在的展开式中，x2的系数为（ C   ）．

A．-5        B．5    C．-10      D．10

12．（2018  全国高考真题（理））                的展开式中x4的系数为(   C     )

A．10   B．20   C．40    D．80

13．（2020  天津高考真题）在的展开式中，x2的系数是____10_____．

14．（2020  全国高考真题（理）） 的展开式中常数项是_____240_____（用数字作答）．

学生根据情境问题，探究二项式系数的性质

利用例题引导学生掌握并灵活运用二项式系数的性质解决实际相关计算问题.

通过课堂练习，检验学生对本节课知识点的掌握程度，同时加深学生对本节课知识点的掌握及运用.

利用情境问题，探究二项式系数的性质，培养学生探索的精神.

加深学生对基础知识的掌握，并能够灵活运用基础知识解决具体问题.

通过练习，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神.

课堂小结

1. 二项式系数的性质

学生回顾本节课知识点，教师补充.

让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用.

板书

§6.3.2 二项式系数的性质

一、新知导入          三、例题讲解

二、新知讲解          四、课堂练习

1.二项式系数的性质   五、拓展提高

    六、课堂总结

                  七、作业布置