高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布教学设计

导入新课

新知导入：

情景一：

1、投掷一枚硬币5次，每次正面向上的概率为0.5。

2、玩射击气球游戏,每次击破气球的概率为0.7，现有10次机会进行射击。

3、某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次。

思考：上面的几个问题有什么共有特点？

1.在相同条件下进行多次重复试验

2.每次试验相互独立

3.每次试验只有两种可能的结果：成功或不成功

4.每次试验出现相同结果的概率相同

情景二：投掷一枚硬币，设正面向上的概率为p，连续投掷3次，则3次都出现正面向上的概率为多少？

分析：设Ai=”第i次正面朝上“(i=0,1,2,3)

     B3=”3次都正面朝上”，则B3=A1A2A3

     连续投掷3次硬币，每次结果相互独立，因此事件A1,A2,A3相互独立

     则P(B3)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)

情境三：投掷一枚硬币，设正面向上的概率为p，连续投掷3次，则只出现1次正面向上的概率为多少？

分析：设Ai=”第i次正面朝上“(i=0,1,2,3)

B1=”1次都正面朝上”，

则B1=

事件、、相互互斥，   

则P(B1)=P()+P()+P()

   =p(1-p)2+p(1-p)2+p(1-p)2=3p(1-p)2

情境三：投掷一枚硬币，设正面向上的概率为p，连续投掷3次，出现k(k=0,1,2,3)次正面向上的概率为多少？

分析：设Ai=”第i次正面朝上“(i=0,1,2,3)

      Bk=”出现k次正面朝上”，则

思考：上述问题求解概率有何规律？

,k=0,1,2,3

若用随机变量X表示连续投掷一枚硬币3次，出现正面朝上的次数，则

,k=0,1,2,3

拓展：若用随机变量X表示连续投掷一枚硬币n次，出现正面朝上的次数，则

,k=0,1,2,3,…,n

学生思考问题，引出本节新课内容。

设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。

讲授新课

新知讲解：

伯努利试验:把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验

将一次伯努利试验独立的重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验

n重伯努利试验的特征：

1、   同一个伯努利试验做n次

2、   各次试验的结果相互独立

思考：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是，那么其中的

伯努利试验是什么?对于每个试验，定义“成功”的事件为A，

那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少?

(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次.

(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击3次.

(3)一批产品的次品率为5%,有放回地随机抽取20件.

在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生.

而在n重伯努利试验中,我们关注事件A发生的次数X.进一步，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是X的分布列.

探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率

分布列是怎样的？

用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1，2，3)，用如下图的树状图表示试验的

可能结果：

由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得：

中靶次数X的分布列为：

思考:如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些?写出中靶次数X的分布列.

表示中靶次数X等于2的结果

中靶次数X的分布列

二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为

,k=0,1,2,3,…,n

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p)

由二项式定理可知，

二项分布的判断:

1、在一次试验中，事件A发生与不发生二者必居其一

2、事件A在每次的试验中发生的概率相同

3、试验重复的进行了n（n≥2）次，且每次试验结果相互独立，互不影响

例题讲解：

例1：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：

（1）恰好出现5次正面朝上的概率

（2）正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率

解：设A=“正面朝上”，则P(A)=0.5，用X表示事件A发生的次数，则X~B(10,0.5)

（1）恰好出现5次正面朝上等价于X=5，于是

        P(X=5)=

（2）正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内等价于4≤X≤6，于是

   P(4≤X≤6)=

例2：如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，...，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列。

解：设A=”向右下落”，则¯A=“向左下落”，且P(A)=P(¯A)=0.5，因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X~B(10，0.5)，于是X的分布列为

P(X=k)=  ,   k=0,1,2,,...,10

例3：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？

解法一：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分：2：0或2：1，前者是前2局甲连胜，后者是前2局甲、乙各胜一局，且第3局甲胜。因为每局比赛的结果是相互独立的，甲最终获胜的概率为：

p1=0.62+C21×0.62×0.4=0.648

同理，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分：3：0或3：1或3：2，因为每局比赛的结果是相互独立的，甲最终获胜的概率为：

p2=0.63+C32×0.63×0.4+C42×0.63×0.42=0.68256

解法二：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B(3,0.6)，甲最终获胜的概率为

p1=P(X=2)+P(X=3)=C32 x 0.62×0.4+C33 x 0.63=0.648

采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则X~B(5,0.6)，甲最终获胜的概率为

p2=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C53×0.63×0.42+

C54×0.64×0.4+C55 x 0.65=0.68256

因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利.

确定二项分布模型的步骤：

1、明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率

2、明确重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性

3、设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n,p)

合作探究：

思考：假设随机变量X服从二项分布X~B(n,p)，则X的均值和方差各是什么？

（1）当n=1时，X服从两点分布，分布列为：P(X=0)=1-p，P(X=1)=p，均值和方差分别为E(X)=p，D(X)=p(1-p)

（2）当n=2时，X的分布列为：P(X=0)=(1-p)2，P(X=1)=2p(1-p)，P(X=2)=p2，均值和方差分别为：E(X)=0 x (1-p)2+1 x 2p(1-p)+2 x p2=2p

D(X)=02 x (1-p)2+12 x 2p(1-p)+22 x p2 - (2p)2=2p(1-p)

一般地，如果X~B(n,p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p)

课堂练习：

1. 某篮球运动员每次投篮投中的概率是0.8，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为m，则m的值为（  D  ）

A．5 B．6 C．7 D．8

2. 经检测有一批产品合格率为0.75，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为X，则P(X=k)取得最大值时k的值为（   C ）

A．2 B．3 C．4 D．5

3. 下列说法正确的个数是（  C  ）

①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X~B(0.6,10)；

②某福彩中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X~B(8,p)；

③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X~B(n,0.5)

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

4．已知随机变量X+Y=8，若X~B(10，0.4)，则E(Y)，D(Y)分别是(  A　)

A．4和2.4 B．2和2.4 

C．6和2.4 D．4和5.6

5. 气温的变化已引起人们的关注，据某地气象部门统计，该地区每年最低气温在-2 ℃以下的概率是1/3 .设X为该地区从2020年到2025年最低气温在-2 ℃以下的年数，求X的分布列.

解：由题意知 X~B(6,1/3)，则

6.  某单位举办2020年杭州亚运会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“亚运会会徽”或“五环”图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“五环”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.

（1）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“五环”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是5/18，求抽奖者获奖的概率；

（2）现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列及E(X)的值.

解：（1）设“会徽”卡有n张，因为从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是5/18，所以有，则n=5，所以“五环”图案卡片的张数为4，故抽奖者获奖的概率为

（2）离散型随机变量服从二项分布，即X~B(4,1/6)

所以，E(X)=4 x 1/6 = 2/3

拓展提高：

7．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1/3，遇到红灯时停留的时间都是2分钟.

（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列.

解：（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为

P(A)=(1 - 1/3) x (1 - 1/3) x 1/3 = 4/27

（2）由题意，可得ξ可以取的值为0，2，4，6，8(单位：分钟)，事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k=0，1，2，3，4)

8. 某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为3/4，B项技术指标达标的概率为8/9，按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．

（1）一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；

（2）任意依次抽取该种零件4个，设X表示其中合格品的个数，求X分布列及E(X)．

解：（1）设M：一个零件经过检测至少一项技术指标达标，则：A，B都不达标；故P(M )=1−P()=1−1/4×1/9=35/36，

所以一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率为35/36

（2）依题意两项技术指标都达标的概率为3/4×8/9=2/3，所以X~B(4，2/3)，

链接高考：

9．（2019  天津高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为2/3.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（1）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；

（2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.

解：(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为2/3，则X~B(3，2/3)，即

P(X=k)=C3k (2/3)k (1/3)3−k    (k=0,1,2,3)

所以，随机变量X的分布列为

随机变量的数学期望E(X)=3 x 2/3 = 2

(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y，则Y~B(3,2/3)

且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}，所以

P(M)=P({X=3,Y=1}∪

{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)

=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)

=8/27×2/9+4/9×1/27=20/243

10．（2011  天津高考真题（理））学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球；乙箱子里装有1个白球、2个黑球.这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.

（每次游戏结束后将球放回原箱）

（1）求在一次游戏中，

     （i）摸出个白球的概率；（ii）获奖的概率；

（2）求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望

解：（1）记“在一次游戏中摸出k个白球”为事件Ak，k=0,1,2,3

（i），即摸出3个白球的概率为1/5

（ii）P(A2∪A3)=P(A2)+P(A3)= 

即获奖的概率为7/10

（2）由题意可知，X所有可能的取值为：0,1,2，且X~B(2，7/10)，则

则E(X)=2 x 7/10 = 7/5

学生根据情境问题，探究二项分布

利用例题引导学生掌握并灵活运用二项分布解决实际相关问题

通过课堂练习，检验学生对本节课知识点的掌握程度，同时加深学生对本节课知识点的掌握及运用

利用情境问题，探究二项分布，培养学生探索的精神.

加深学生对基础知识的掌握，并能够灵活运用基础知识解决具体问题

通过练习，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。

课堂小结

1. 伯努利试验
2. 二项分布

学生回顾本节课知识点，教师补充。

让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。

板书

§7.4.1 二项分布

一、新知导入          三、例题讲解

二、新知讲解          四、课堂练习

1.二项分布          五、拓展提高

       六、课堂总结

                     七、作业布置