(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第11讲《函数的图象》（解析版）

第11讲   函数的图象

思维导图

知识梳理

1．利用描点法作函数的图象

其基本步骤是列表、描点、连线．

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．

其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．

2．利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

(2)对称变换

①y＝f(x)y＝－f(x)．

②y＝f(x)y＝f(－x)．

③y＝f(x)y＝－f(－x)．

④y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax(x＞0)．

(3)翻折变换

①y＝f(x)y＝|f(x)|．

②y＝f(x)y＝f(|x|)．

(4)伸缩变换

①y＝f(x)

→y＝f(ax)．

②y＝f(x)

→y＝af(x)．

题型归纳

题型1    作函数的图象

【例1-1】（2019秋•海淀区校级期中）已知函数．

（Ⅰ）画出函数的图象；

（Ⅱ）若，求的取值范围；

（Ⅲ）直接写出的值域．

【分析】（Ⅰ）根据分段函数的表达式，直接进行作图即可；

（Ⅱ）结合分段函数的表达式，分别进行求解；

（Ⅲ）由图象结合函数值域的定义进行求解．

【解答】解：（Ⅰ）函数的图象如图；

（Ⅱ）当时，满足，

当，由得，得或，

此时或，

当时，恒成立，

综上得或，

即的取值范围是得或；

（Ⅲ）由图象知，即的值域是，．

【跟踪训练1-1】（2019秋•石河子校级月考）已知函数．

（1）作出函数的图象；

（2）由图象写出函数的单调区间．

【分析】（1）由函数．分别画出和时的图象即可；

（2）根据函数的图象，写出单调区间即可．

【解答】解：（1）函数．

当时，；

当时，．

故图象如图所示；

（2）函数的增区间为：，，；

减区间为：，，，．

【名师指导】

作函数图象的两种常用方法

1．直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．

2．图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．

题型2    函数图象的识辨

【例2-1】（2020•天津）函数的图象大致为　　

A．                B． 

C．                 D．

【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．

【解答】解：函数的定义域为实数集，关于原点对称，

函数，则，则函数为奇函数，故排除，，

当是，，故排除，

故选：．

【例2-2】（2020春•通州区期末）已知函数的图象如图所示，那么该函数可能为　　

A．                                    B． 

C．                        D．

【分析】由图可知，函数为奇函数，结合函数奇偶性的概念可排除选项和；对比和选项，发现当时，两个函数对应的函数值的正负性恰好相反，利用对数函数的图象，验证后即可得解．

【解答】解：由图可知，函数为奇函数，而选项和中对应的函数是非奇非偶函数，于是排除选项和；

当时，从图象可知，，而对于选项，，，所以，与图象不符，排除选项．

故选：．

【例2-3】（2020•乐山模拟）已知角的始边与的非负半轴重合，与圆相交于点，终边与圆相交于点，点在轴上的射影为点，的面积为，则函数的图象大致是　　

A． B． 

C． D．

【分析】由题可知，点，点，点，则，故排除选项和，又因为当时，，排除选项，可得所求图象．

【解答】解：由题知，点，点，点，

则，故排除选项和，

又因为当时，，排除选项．

故选：．

【跟踪训练2-1】（2019•新课标Ⅲ）函数在，的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

【分析】由的解析式知该函数为奇函数可排除，然后计算时的函数值，根据其值即可排除，．

【解答】解：由在，，知

，

是，上的奇函数，因此排除

又（4），因此排除，．

故选：．

【跟踪训练2-2】（2020春•湖州期末）已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是　　

A． B． 

C． D．

【分析】由函数的奇偶性排除与，在分析复合函数的单调性排除，则答案可求．

【解答】解：令，该函数的定义域为，且，

为上的偶函数；

令，该函数的定义域为，且，

为上的奇函数，

又正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，

且图中所给出的函数为偶函数，排除与；

又由图可知，所求函数在，上为减函数，

而中内层函数在，上为增函数，而外层函数正弦函数在，上为增函数，

故当大于0且在0附近时，中函数为增函数，排除．

故选：．

【跟踪训练2-3】（2020•贵港四模）如图，点在以为直径的半圆弧上，点沿着运动，记．将点到、两点距离之和表示为的函数，则的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

【分析】先根据题意列出函数解析式，再分析图象即可得出答案．

【解答】解：，

选项符合题意，

故选：．

【名师指导】

识别函数图象的方法技巧

函数图象的识别可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．

(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．

(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．

题型3    函数图象的应用

【例3-1】（2020春•龙凤区校级期末）函数的图象　　

A．关于轴对称 B．关于轴对称 

C．关于直线对称 D．关于原点对称

【分析】先求出函数的定义域，再计算的表达式，并观察与的联系，发现，故而得解．

【解答】解：，或，即函数的定义域为，，（定义域关于原点对称），

，，

函数是偶函数，关于轴对称，

故选：．

【例3-2】（2019秋•琼海校级月考）已知定义在上的偶函数部分图象如图所示，那么不等式的解集为　　                     ．

【分析】根据题意，由函数的图象以及奇偶性分析可得以及的解集，又由或，据此分析可得答案．

【解答】解：根据题意，由的图象分析可得：在和上，，在区间上，，

又由为偶函数，则在和上，，在区间上，，

或，

则有或或，

即不等式的解集为或或；

故答案为：或或．

【例3-3】（2019•江苏模拟）已知函数其中表示不超过的最大整数，如：，，．若直线与函数的图象恰好有三个不同的交点，则实数的取值范围是　　         ．

【分析】画图可知就是周期为1的函数，且在，上是一直线的对应部分的含左端点，不包右端点的线段，要有三解，只需直线过点与直线过点之间即可．

【解答】解：函数，

函数的图象如下图所示：

，故函数图象一定过点

若有三个不同的根，则与的图象有三个交点

当过点时，，当过点时，，

故有三个不同的根，则实数的取值范围是

故答案为：．

【跟踪训练3-1】（2019秋•大同期末）函数，若函数的图象与函数的图象有公共点，则的取值范围是　　            ．

【分析】作出函数图象，求出函数的值域，结合函数与方程的关系转化为图象交点问题进行求解即可．

【解答】解：作出函数的图象如图：

当时，，

当时，，

即函数的值域为，，，

要使函数的图象与函数的图象有公共点，

则，或，

则的取值范围，，，

故答案为：，，

【跟踪训练3-2】（2019•嘉定区一模）已知函数和的图象如图所示，则不等式的解集是　         　．

【分析】根据和图象可得和的正负，即可求解不等式的解集．

【解答】解：由图象可得时，，

时，，

当时

由图象可得时，，

时，，

不等式，即或；

，

不等式的解集为，

故答案为：，

【名师指导】

1.利用函数的图象研究函数的性质

对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：

(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；

(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；

(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．

2．利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．

3．利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．