(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第13讲《函数模型及其应用》（解析版）

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第13讲   函数模型及其应用思维导图 知识梳理1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.三种函数模型性质比较 y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同     题型归纳题型1    用函数图象刻画变化过程【例1-1】（2020•徐汇区二模）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长，经过年，绿化面积与原绿化面积之比为，则的图象大致为　　A． B． C． D．【分析】求出函数的解析式，由指数函数的图象即可得解．【解答】解：设原来为，则，故选：．【例1-2】（2019秋•琼山区校级期末）两个学校、开展节能活动，活动开始后两学校的用电量、与时间（天的关系如图所示，则一定有　　A．比节能效果好 B．的用电量在，上的平均变化率比的用电量在，上的平均变化率大 C．两学校节能效果一样好 D．与自节能以来用电量总是一样大【分析】根据条件判断两个学校的变化率的大小即可．【解答】解：的变化率大，的变化率小，则比节能效果好，故选：．【跟踪训练1-1】（2019秋•武昌区期末）在内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是　　A． B． C． D．【分析】根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出．【解答】解：在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为直线，且为增函数，排除，，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是．故选：．【跟踪训练1-2】（2020•来宾模拟）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间内完成房产供应量任务．已知房产供应量与时间的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是　　A． B． C． D．【分析】分析可知，图象应上升的，且越来越陡，由此即可得出选项．【解答】解：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，所以函数的图象应一直下凹的．故选：．【名师指导】判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 题型2    应用所给函数模型解决实际问题【例2-1】（2020•山东）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为　　A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天【分析】根据所给模型求得，令，求得，根据条件可得方程，然后解出即可．【解答】解：把，代入，可得，，当时，，则，两边取对数得，解得．故选：．【例2-2】（2020•新课标Ⅲ）模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为　　A．60 B．63 C．66 D．69【分析】根据所给材料的公式列出方程，解出即可．【解答】解：由已知可得，解得，两边取对数有，解得，故选：．【跟踪训练2-1】（2020春•海淀区校级期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，1976年7月28日我国唐山发生的里氏7.8级地震与2008年5月12日我国汶川发生的里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为　　A． B．0.3 C． D．【分析】设汶川地震所释放出的能量是，唐山地震所释放出的能量是，由已知列式结合对数的运算性质求得与的值，作比得答案．【解答】解：设汶川地震所释放出的能量是，唐山地震所释放出的能量是，则，，，；．故选：．【跟踪训练2-2】（2020•梅州二模）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：满足函数关系为自然对数的底数，，为常数），若该食品在的保鲜时间是384小时，在的保鲜时间是24小时，则该食品在的保鲜时间是　 　．【分析】利用已知条件求出函数的解析式，然后代入求解即可．【解答】解：食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：满足函数关系为自然对数的底数，，为常数），若该食品在的保鲜时间是384小时，在的保鲜时间是24小时，可得：，，解得，，所以，该食品在的保鲜时间：（小时）．故答案为：6．【名师指导】求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题． 题型3    构建函数模型解决实际问题【例3-1】（2020春•内江期末）某公司生产某种产品，其年产量为万件时利润为万元，当时，年利润为，当时，年利润为．（1）若公司生产量在且年利润不低于400万时，求生产量的范围；（2）求公司年利润的最大值．【分析】（1）令，解之即可；（2）分段讨论出的最大值即可．【解答】解：（1）当时，令，解得；（2）当时，，故此时在上单调递增，在上单调递减，则此时最大值为；当时，，则时，，故此时在上单调递增，在上单调递减，则此时最大值为，综上公司年利润的最大值为480．【例3-2】一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？【解析】　(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，解得x＝1－.(2)设经过m年剩余面积为原来的，则a(1－x)m＝a，即，即＝，解得m＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年．【例3-3】某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 平方米，且高度不低于 米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________米．【答案】　2【解析】　由题意可得BC＝－(2≤x<6)，∴y＝＋≥2＝6.当且仅当＝(2≤x<6)，即x＝2时等号成立．【例3-4】（2019秋•济南期末）济南新旧动能转换先行区，承载着济南从“大明湖时代”迈向“黄河时代”的梦想，肩负着山东省新旧动能转换先行先试的重任，是全国新旧动能转换的先行区．先行区将以“结构优化、质量提升”为目标，通过开放平台汇聚创新要素，坚持绿色循环保障持续发展，建设现代绿色智慧新城．2019年某智能机器人制造企业有意落户先行区，对市场进行了可行性分析，如果全年固定成本共需2000（万元），每年生产机器人x（ 百个），需另投人成本C（x）（万元），且，由市场调研知，每个机器人售价6万元，且全年生产的机器人当年能全部销售完．（1）求年利润L（x）（万元）关于年产量x（ 百个）的函数关系式；（利润＝销售额﹣成本）（2）该企业决定：当企业年最大利润超过2000（万元）时，才选择落户新旧动能转换先行区．请问该企业能否落户先行区，并说明理由．【分析】（1）根据题意利润＝销售额﹣成本，分段求年利润L（x）（万元）关于年产量x（ 百个）的函数关系式即可；（2）分段求函数的最大值，利用二次函数的性质结合基本不等式，即可求解．【解答】解：（1）当0＜x＜40时，L（x）＝6×100x﹣10x2﹣200x﹣2000＝﹣10x2+400x﹣2000，当x≥40时，，所以；（2）当0＜x＜40时，所以L（x）＝﹣10x2+400x﹣2000＝﹣10（x﹣20）2+2000，所以当x＝20时，L（x）max＝L（20）＝2000；当x≥40时，所以，当且仅当，即x＝100时，所以L（x）max＝L（100）＝2300＞2000．故该企业能落户新旧动能转换先行区．【跟踪训练3-1】（2020春•东营区校级月考）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．若两颗星的星等与亮度满足．其中星等为，星的亮度为．（1）若，则　　；（2）若太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为　　．【分析】（1）由，得，代入，即可求得的值；（2）设太阳的星等是，天狼星的星等是，代入，求得即可．【解答】解：（1）由，得，又，；（2）设太阳的星等是，天狼星的星等是，则，即，则．即太阳与天狼星的亮度的比值为．故答案为：；．【跟踪训练3-2】（2019秋•平谷区期末）某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日均销售量的关系如表：单价/元16171819202122日销售量/盒480440400360320280240根据以上数据，当这个餐厅每盒盒饭定价______元时，利润最大（　　）A．16.5 B．19.5 C．21.5 D．22【分析】设销售单价为x元时，销售量为480﹣40（x﹣16）＝1120﹣40x，日销售利润y＝（x﹣15）（1120﹣40x）．由此能求出结果．【解答】解：设销售单价为x元时，销售量为480﹣40（x﹣16）＝1120﹣40x，∴日销售利润y＝（x﹣15）（1120﹣40x）＝﹣401690．∴当这个餐厅每盒盒饭定价21.5元时，利润取最大值1690元．故选：C．【跟踪训练3-3】（2019秋•临沂期末）某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t（单位：分钟）满足5≤t≤20，t∈N．经测算，该路无人驾驶公交车载客量p（t）与发车时间间隔t满足：其中t∈N．（1）求p（5），并说明p（5）的实际意义；（2）若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．【分析】（1）把t＝5代入分段函数P（t）的解析式即可；（2）先求出y关于t的函数解析式，再利用基本不等式即可求出结果．【解答】解：（1）p（5）＝60﹣（5﹣10）2＝35，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35；（2）∵，∴当5≤t＜l0时，，即，∵，当且仅当，即t＝6时等号成立，所以，当t＝6时，y取得最大值38，当10≤t≤20时，，则当t＝10时，y取得最大值28.4，综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．【名师指导】建模解决实际问题的三个步骤