(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第28讲《平面向量的概念及线性运算》（讲）（解析版）

第28讲 平面向量的概念及线性运算（讲）

思维导图

知识梳理

1．向量的有关概念

(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A为起点、B为终点的向量记作，也可用黑体的单个小写字母a，b，c，…来表示向量．

(2)向量的长度(模)：向量的大小即向量的长度(模)，记为.　　　　　　　　　　　　　　　　 　　

2．几种特殊向量

3．向量的线性运算

4．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.

题型归纳

题型1    平面向量的有关概念

【例1-1】（2020春•临川区校级期中）下列说法正确的是（　　）

A．零向量没有方向 

B．向量就是有向线段 

C．只有零向量的模长等于0 

D．单位向量都相等

【分析】根据零向量，单位向量、有向线段的定义即可判断出结论．

【解答】解：零向量的方向是任意的，故A选项错误；

有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故B选项错误；

只有零向量的模长等0，故C选项正确；

单位向量模长相等，单位向量若方向不同，则不是相等向量，故D选项错误．

故选：C．

【例1-2】（2020春•芮城县月考）有下列命题：

①两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同；

②若，则；

③若，则四边形ABCD是平行四边形；

④若，，则；

⑤若，，则；

⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．

其中，假命题的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题判断真假性即可．

【解答】解：对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；

对于②，若，则、不一定相同，∴②错误；

对于③，若，、不一定相等，

∴四边形ABCD不一定是平行四边形，③错误；

对于④，若，，则，④正确；

对于⑤，若，，

当时，不一定成立，∴⑤错误；

对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴⑥错误；

综上，假命题是②③⑤⑥，共4个．

故选：C．

【跟踪训练1-1】（2019春•城关区校级月考）给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的：②若，都是单位向量，则；③向量与相等，则所有正确命题的序号是（　　）

A．① B．③ C．①③ D．①②

【分析】根据零向量和单位向量的定义，易知①正确②错误，由向量的表示方法可知③错误．

【解答】解：根据零向量的定义可知①正确；

根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；

与向量互为相反向量，故③错误．

故选：A．

【跟踪训练1-2】（2019春•北碚区期末）下列命题中，正确的个数是（　　）

①单位向量都相等； 

②模相等的两个平行向量是相等向量；

③若，满足||＞||且与同向，则；

④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；

⑤若∥，∥，则∥．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．

【解答】解：对于①，单位向量的大小相等相等，但方向不一定相同，故①错误； 

对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；

对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；

对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，

它们的起点和终点不一定相同，故④错误；

对于⑤，时，∥，∥，则与不一定平行．

综上，以上正确的命题个数是0．

故选：A．

【跟踪训练1-3】（2019•西湖区校级模拟）下列关于向量的叙述不正确的是（　　）

A．向量的相反向量是 

B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的 

C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则 

D．若向量与满足关系，则与共线

【分析】根据相反向量、单位向量的定义即可判断出选项A，B的叙述是正确的，根据共线向量基本定理即可判断选项D的叙述是正确的，从而叙述不正确的只能选C．

【解答】解：根据相反向量的定义即可判断选项A的叙述正确；根据单位向量的定义即可判断选项B的叙述正确；

与的方向不一定相同，从而得出是错误的；，得出，得出与共线是正确的．

故选：C．

【跟踪训练1-4】（2019春•民乐县校级月考）下列关于向量的结论：

（1）若||＝||，则或；

（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；

（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；

（4）若向量与同向，且||＞||，则．

其中正确的序号为（　　）

A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）

【分析】根据向量的定义，平行向量和相等向量的定义判断即可．

【解答】解：根据向量的定义可判断（1）（4）错误，向量都是零向量时，由向量平行得不出方向相同或相反，从而判断（2）错误，根据相等向量的定义可判断（3）正确．

故选：D．

【名师指导】

向量有关概念的关键点

(1)向量定义的关键是方向和长度．

(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．

(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．

(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．

(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．

题型2    向量的线性运算

【例2-1】（2020•海南）在△ABC中，D是AB边上的中点，则（　　）

A．2 B．2 C．2 D．2

【分析】利用向量加法法则直接求解．

【解答】解：在△ABC中，D是AB边上的中点，

则

＝2．

故选：C．

【例2-2】（2020•绥化模拟）已知点D在△ABC的边AC上，CD＝2DA，点E是BD中点，则（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据条件可画出图形，可得出，然后带人，进行向量数乘运算即可得出答案．

【解答】解：如图，根据题意，

．

故选：D．

【例2-3】（2020春•焦作期末）在正方形ABCD中，点M，N分别满足，，且，则λ＝（　　）

A．2 B．1 C． D．

【分析】可画出图形，根据条件即可得出M为CD的中点，而根据可得出，从而得出N为BC的中点，从而得出，从而得出λ的值．

【解答】解：如图，

∵，∴M为CD的中点，

∵，

∴N为BC的中点，

∴，

∴λ＝1．

故选：B．

【跟踪训练2-1】（2020春•凉山州期末）如图，△ABC中，已知2，则（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据条件可得出，然后根据向量的数乘运算解出向量即可．

【解答】解：∵，

∴，

∴．

故选：D．

【跟踪训练2-2】（2020•东莞市二模）已知A，B，C三点不共线，且点O满足，则（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】把已知条件整理即可求解结论．

【解答】解：因为点O满足16123，

故121233；

即：123⇒123；

故选：A．

【跟踪训练2-3】（2020•湖北模拟）△ABC中，点D为BC的中点，，M为AD与CE的交点，若，则实数λ＝（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据D为BC的中点可得出，再根据即可得出，而根据E，M，C三点共线即可得出，解出λ即可．

【解答】解：如图，D为BC的中点，

∴，

又∵，且，

∴，且E，M，C三点共线，

∴，解得．

故选：D．

【名师指导】

平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

(1)向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则．

(2)求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．

题型3    共线向量定理的应用

【例3-1】（2020春•新余期末）已知两个非零向量，不共线，若3，623，48，且A、B、D三点共线，则λ等于　 　．

【分析】可求出，根据A，B，D三点共线即可得出，然后根据平面向量基本定理即可求出λ的值．

【解答】解：，

∵A，B，D三点共线，

∴设，即，

∴，解得λ＝2．

故答案为：2．

【例3-2】（2019春•西城区校级期中）向量（k，12），（4，5），（10，k），当k为何值时，A、B、C三点共线．

【分析】由条件和向量的坐标运算求出、的坐标，再代入向量共线的坐标条件求出k的值．

【解答】解：由题意得，（4﹣k，﹣7），（6，k﹣5），

∵A、B、C三点共线，∴，

∴（4﹣k）（k﹣5）+42＝0，即k2﹣9k﹣22＝0，

解得k＝﹣2或k＝11．

综上知，当k＝﹣2或k＝11时，A、B、C三点共线

【跟踪训练3-1】（2020•江都区校级模拟）在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝DB，BE＝2EC，记，，若，则x+y的值为　　    ．

【分析】可画出图形，根据AD＝DB，BE＝2EC即可得出，再根据便可得出，又知，这样根据平面向量基本定理即可求出x，y的值．

【解答】解：如图，

∵AD＝DB，BE＝2EC；

∴，，且；

∴；

又；

∴根据平面向量基本定理得，；

∴．

故答案为：．

【跟踪训练3-2】（2020•茂名二模）设，是不共线的两个平面向量，已知，，若A，B，C三点共线，则k＝（　　）

A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6

【分析】根据题意，分析可得，进而可得，解可得k的值，即可得答案．

【解答】解：根据题意，若A，B，C三点共线，则，

又由，，则有，

解可得k＝﹣6；

故选：D．

【跟踪训练3-3】（2020春•临川区校级期中）设，不共线，，，，若A，C，D三点共线，则实数m的值是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据A，C，D三点共线，得到λ，即可求解结论．

【解答】解：∵，，∴25，

∵A，C，D三点共线，∴λ，即2a+5b＝λ（3a+mb），

∴，解得．

故选：D．

【名师指导】

利用向量共线定理证明三点共线

若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．

[提醒]　(1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量．

(2)证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．