(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第40讲《直线、平面平行的判定与性质》（讲）（解析版）

第40讲 直线、平面平行的判定与性质（讲）

思维导图

知识梳理

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

2．平面与平面平行的判定定理和性质定理

题型归纳

题型1    直线与平面平行的判定与性质

【例1-1】（2020春•海淀区校级期末）如图，三棱柱中，，，分别为棱，，中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面．

【分析】（1）由已知利用三角形的中位线的性质可证，进而利用线面平行的判定定理即可证明平面．

（2）由已知可证是平行四边形，进而证明，利用线面平行的判定证明平面，根据面面平行的判定证明平面平面，根据面面平行的性质即可可证平面．

【解答】证明：（1）在中，，分别为棱，中点．

所以，

因为平面，平面，

所以平面．

（2）在三棱柱中，，

因为，分别为，中点，

所以，

所以是平行四边形，

所以，

因为平面，平面，

所以平面，

又因为平面，，

所以平面平面，

所以平面．

【例1-2】（2019•广东模拟）如图，五面体，四边形是矩形，是正三角形，，，是线段上一点，直线与平面所成角为，平面．

（1）试确定的位置．

（2）求三棱锥的体积．

【分析】（1）连接、相交于，则为的中点，由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定可得平面；

（2）由为的中点，得，由已知求得到平面的距离为，可得到平面的距离为．再求出三角形的面积，代入三棱锥体积公式求得三棱锥的体积．

【解答】解：（1）如图，四边形是矩形，连接、相交于，则为的中点，

取中点，连接，则，

平面，平面，平面．

此时为中点；

（2）为的中点，．

直线与平面所成角为，是正三角形，，

到平面的距离为，到平面的距离为．

又四边形是矩形，且，．

．

三棱锥的体积为．

【跟踪训练1-1】（2020春•大兴区期末）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．

【分析】（Ⅰ）根据线面平行的性质定理即可证明；

（Ⅱ）取的中点，连接，，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明；

（Ⅲ）取中点，连接，，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明．

【解答】证明：（Ⅰ）在四棱锥中，平面，平面，

平面平面，

，

（Ⅱ）取的中点，连接，，

是的中点，

，，

又由（Ⅰ）可得，，

，，

四边形是平行四边形，

，

平面，平面，

平面．

（Ⅲ）取中点，连接，，

，分别为，的中点，

，

平面，平面，

平面，

又由（Ⅱ）可得平面，，

平面平面，

是上的动点，平面，

平面，

线段存在点，使得平面．

【跟踪训练1-2】（2019春•崂山区校级期中）在正方体中，点为棱的中点．问：在棱上是否存在点，使得面？若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由．

【分析】取中点，中点，连结，，则，，从而平面平面，由此推导出在棱上存在中点，使得面．

【解答】解：在棱上存在中点，使得面．

理由如下：

取中点，中点，连结，，

在正方体中，点为棱的中点．

，，

，，

平面平面，

平面，面．

【名师指导】

1.证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行．

2.在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．

题型2    面面平行的判定与性质

【例2-1】（2019秋•金凤区校级期末）如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，，求证：平面平面．

【分析】推导出，，由此能证明平面平面．

【解答】证明：底面为正方形，，

棱与均垂直于底面，，

，

，，

平面平面．

【跟踪训练2-1】（2020春•南关区校级期末）如图，在正方体中，．

（1）求异面直线与所成的角；

（2）求证：平面平面．

【分析】（1）通过平移先作出异面直线所成的角，进而求出即可；

（2）利用线面、面面平行的判定定理即可证明．

【解答】解：（1）连接、．由正方体可得，对角面是一个平行四边形，．

或其补角即为异面直线与所成的角，

△是一个等边三角形，

即为异面直线与所成的角；

（2）证明：由（1）可知：，而平面，平面，

平面，

同理可得平面，

又，

平面平面．

【名师指导】

证明面面平行的常用方法

1．利用面面平行的定义或判定定理．

2．利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．

3．利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．

题型3    平行关系的综合应用

【例3-1】（2019秋•兴庆区校级月考）如图，已知，是平面，外的一点，直线，分别与、相交于、和、．

（1）求证：；

（2）已知，，，求的长．

【分析】（1）由面面平行的性质即可得证；

（2）由平行线的性质即可求解．

【解答】解：（1）证明：，平面，平面，

；

（2）由（1）可知，，即，

．

【跟踪训练3-1】（2019春•青云谱区校级月考）如图，平面，线段分别交，于，，线段分别交，于，，线段分别交，于，，若，，，．求的面积．

【分析】利用面面平行的性质得到两个三角形对应边的比，结合面积公式即可得解．

【解答】解：平面，

又平面平面，平面平面，

，

同理，

又，，，

，

又，

所以，

，

．

故的面积为：100．

【名师指导】

利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决．