(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第48讲《椭圆及其性质》（讲）（解析版）

这是一份(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第48讲《椭圆及其性质》（讲）（解析版），共13页。试卷主要包含了椭圆的定义，椭圆的标准方程，椭圆的几何性质等内容，欢迎下载使用。

第48讲 椭圆及其性质（讲）
思维导图

知识梳理
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.
2．椭圆的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
3．椭圆的几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
对称性
关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称
顶点坐标
　(a,0)，(－a,0)，
　(0，b)，(0，－b)
　(b,0)，(－b,0)，
　(0，a)，(0，－a)
焦点坐标
(c,0)，(－c,0)
(0，c)，(0，－c)
半轴长
长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b
离心率
e＝
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
题型归纳
题型1 椭圆的定义及其应用
【例1-1】（2019秋•盐田区校级期中）已知F1（﹣3，0），F2（3，0）动点M满足|MF1|+|MF2|＝10，则动点M的轨迹方程　 　．
【分析】依据动点M满足的条件及椭圆的定义可得：动点M的轨迹是：以F1，F2为焦点的椭圆，即可得出结论．
【解答】解：根据椭圆的定义知，到两定点F1，F2的距离之和为10＞|F1F2|＝6，
动点M的轨迹是：以F1，F2为焦点的椭圆，且a＝5，c＝3，b＝4，
∴动点M的轨迹方程是＝1．
故答案为＝1．
【例1-2】（2019•新课标Ⅲ）设F1，F2为椭圆C：+＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为　 　．
【分析】设M（m，n），m，n＞0，求得椭圆的a，b，c，e，由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，
△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，运用椭圆的焦半径公式，可得所求点的坐标．
【解答】解：设M（m，n），m，n＞0，椭圆C：+＝1的a＝6，b＝2，c＝4，
e＝＝，
由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，
△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，
即有6+m＝8，即m＝3，n＝；
6﹣m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去．
可得M（3，）．
故答案为：（3，）．
【跟踪训练1-1】（2019秋•龙岗区期末）已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（　　）
A．（x≠0） B．（x≠0）
C．（x≠0） D．（x≠0）
【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．
【解答】解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），
∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，
∵12＞8
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4
∴b2＝20，
∴椭圆的方程是
故选：B．
【跟踪训练1-2】（2019秋•广东期末）已知椭圆+＝1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为　 　．
【分析】椭圆的长轴长为10，根据椭圆的定义，利用椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，即可得到P到另一个焦点的距离．
【解答】解：椭圆的长轴长为10
根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3
∴P到另一个焦点的距离为10﹣3＝7
故答案为：7
【名师指导】
椭圆定义的应用技巧
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．


题型2 椭圆的标准方程
【例2-1】（2020春•黄浦区校级期末）如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的标准方程为　　 ．

【分析】设椭圆的方程为（a＞b＞0），由题可知，c＝，根据|OP|＝|OF|且|PF|＝4可求出点P的坐标，将其代入椭圆方程，并结合a2＝b2+c2解出a2和b2的值即可．
【解答】解：由题可知，c＝，
过点P作PM垂直x轴于M，设|OM|＝t，则|FM|＝﹣t，
由勾股定理知，|PM|2＝|OP|2﹣|OM|2＝|PF|2﹣|FM|2，即，解得，
∴，
∴点P的坐标为（﹣，），
设椭圆的方程为（a＞b＞0），则，化简得，
又a2＝b2+c2＝b2+20，∴a2＝36，b2＝16，
∴椭圆的标准方程为．
故答案为：．

【例2-2】（2019秋•伊春区校级期中）过点（，﹣），且与椭圆+＝1有相同的焦点的椭圆的标准方程　　 ．
【分析】求出椭圆+＝1的焦点，即c＝4，可设所求椭圆方程，由a，b，c的关系，和点在椭圆上得到a，b的方程组，解出a，b，进而得到所求椭圆方程．
【解答】解：椭圆+＝1的焦点为（0，±4），
则所求椭圆的c＝4，
可设椭圆方程为＝1（a＞b＞0），
则有a2﹣b2＝16，①
再代入点（，﹣），得，
＝1，②
由①②解得，a2＝20，b2＝4．
则所求椭圆方程为＝1．
故答案为：＝1．
【例2-3】（2019秋•南通期末）椭圆以坐标轴为对称轴，经过点（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（　　）
A． B．
C．或 D．或
【分析】根据题意，按椭圆的焦点位置分2种情况讨论，求出对应的椭圆方程，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，要求椭圆经过点（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，分2种情况讨论：
①，椭圆的焦点在x轴上，则a＝3，b＝，
此时椭圆的方程为+＝1，
②，椭圆的焦点在y轴上，则b＝3，则a＝6，
此时椭圆的方程为+＝1；
故椭圆的方程为+＝1或+＝1；
故选：C．
【跟踪训练2-1】（2019秋•广东期末）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝5|BF2|，则椭圆C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a，再由隐含条件求得b，则椭圆的方程可求．
【解答】解：∵|BF1|＝5|BF2|，且|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，|BF1|＝，
∵|AF2|＝3|BF2|，∴|AF2|＝a，
∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，
∴|AF1|＝|AF2|，则A在y轴上．
在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝，
在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝＝，
根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得，
解得a2＝2，∴b2＝a2﹣c2＝1．
∴椭圆C的方程为：．
故选：A．

【跟踪训练2-2】（2019秋•天心区校级期末）若直线x﹣2y+2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（　　）
A．+y2＝1 B．+＝1
C．+y2＝1或+＝1 D．以上答案都不对
【分析】利用椭圆的简单性质求解，题中没有明确焦点在x轴还是在y轴上，所以分情况讨论．
【解答】解：设焦点在x轴上，椭圆的标准方程为
∴焦点坐标为（﹣c，0），（c，0），顶点坐标为（0，b），（0，﹣b）；
椭圆的a，b，c关系：；a2﹣b2＝c2
∵直线x﹣2y+2＝0恒过定点（0，1）
∴直线x﹣2y+2＝0必经过椭圆的焦点（﹣c，0），和顶点（0，b）
带入直线方程：
解得：c＝2，b＝1，a＝
∴焦点在x轴上，椭圆的标准方程为；
当设焦点在y轴，椭圆的标准方程为
∴焦点坐标为（0，﹣c），（0，c），顶点坐标为（﹣b，0），（b，0）；
椭圆的a，b，c关系：a2﹣b2＝c2
∵直线x﹣2y+2＝0恒过定点（0，1）
∴直线x﹣2y+2＝0必经过椭圆的焦点（0，c），和顶点（﹣b，0）
带入直线方程
解得：c＝1，b＝2，a＝
∴焦点在y轴上，椭圆的标准方程为．
故选：C．
【跟踪训练2-3】（2019秋•阳泉期末）经过两点A（0，2）、B（，）的椭圆的标准方程为　 　．
【分析】本题先设椭圆的方程为+＝1，然后将两点A（0，2）、B（，）代入椭圆的方程，解关于m、n的二元一次方程组，即可得到椭圆的标准方程．
【解答】解：由题意，设椭圆的方程为+＝1，则
，解得．
∴椭圆的标准方程为x2+＝1．
故答案为：x2+＝1．
【名师指导】
根据条件求椭圆方程的2种方法
定义法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程
待定系数法
待定系数法是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，再用待定系数法求出m，n的值即可

题型3 椭圆的几何性质
【例3-1】（2020•邵阳三模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，，线段MF2的延长线交椭圆C于点N，若|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设|MF2|＝m，根据等差数列的性质和椭圆的定义可得|MN|＝a，再根据向量的垂直可得a＝m，即可求出离心率．
【解答】解：设|MF2|＝m，
∵|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，
∴2|MN|＝|MF1|+|NF1|，
∴|MN|＝|MF2|+|NF2|＝2a﹣|MF1|+2a﹣|NF1|＝4a﹣2|MN|，
∴|MN|＝a，
∴|NF2|＝a﹣m，
∴|NF1|＝2a﹣（a﹣m）＝a+m，
∵，
∴MF1⊥MF2，
∴Rt△F1MN中，|NF1|2＝|MN|2+|MF1|2，
∴（2a﹣m）2+（a）2＝（a+m）2，
整理可得m＝a，
∴|MF2|＝a，|MF1|＝a，
∴|F2F1|2＝|MF2|2+|MF1|2，
∴4c2＝2a2，
∴e＝＝，
故选：A．
【例3-2】（2020•襄州区校级四模）已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），若存在以为半径的圆内切于△PF1F2，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用已知条件列出三角形的面积，推出不等式，然后推出椭圆的离心率的范围．
【解答】解：F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），
若存在以为半径的圆内切于△PF1F2，可得：，
∴，∴，∴（a+c）2≤2b2，则0≤a2﹣2ac﹣3c2，
∵（a+c）（a﹣3c）≥0，∴a≥3c，∴．
故选：D．
【例3-3】（2019秋•和平区校级期末）已知F1，F2椭圆的左右焦点，|F1F2|＝4，点在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则的最大值为（　　）
A．4 B． C．5 D．
【分析】由题意求出椭圆的方程，可得左焦点F1的坐标，求出数量积的表达式，再由P的纵坐标的范围及二次函数的性质可得所求的结果．
【解答】解：由题意可得：c＝2，＝1，a2＝b2+c2，解得a2＝8，b2＝4，
所以椭圆的方程为：＝1，
可得F1（﹣2，0），设P（x，y）则：＝1，所以可得：x2＝8﹣2y2，
则＝（2﹣x，﹣y）（﹣2﹣x，﹣y）＝x2﹣4+y2﹣＝﹣y2﹣+4＝﹣（y）+，当且仅当y＝∈[﹣2，2]，时，
则的最大值为：，
故选：B．
【跟踪训练3-1】（2020•丹东二模）已知O为椭圆C的中心，F为C的一个焦点，点M在C外，＝3，经过M的直线l与C的一个交点为N，△MNF是有一个内角为120°的等腰三角形，则C的离心率为（　　）
A． B． C．﹣1 D．
【分析】不妨设F（c，0），计算M的坐标，根据等腰三角形得到N点坐标，代入椭圆方程化简即可求出离心率．
【解答】解：不妨设F（c，0），，则M（﹣3c，0），
易知△MNF中只能∠MNF＝120°，
△MNF是有一个内角为120°的等腰三角形，则N（﹣c，c），
将N代入椭圆方程得到，即，
解得或e2＝3（舍去），
故e＝，
故选：B．
【跟踪训练3-2】（2020春•湖北期末）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，则椭圆C离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】当点M在上顶点A时，∠F1MF2最大，要使在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，只需∠F1AF2＞，即tan，即可求解．
【解答】解：如图，当点M在上顶点A时，∠F1MF2最大，
要使在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，
只需∠F1AF2＞，即∠AF2F1＜
∴tan，
⇒3b2＜c2⇒3（a2﹣c2）＜c2，
⇒3a2＜4c2，e，
则椭圆C离心率的取值范围是：（，1），
故选：C．

【跟踪训练3-3】（2020•武侯区校级模拟）已知P是椭圆上一动点，A（﹣2，1），B（2，1），则的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】过点P作PH⊥AB，垂足为H，设P（x，y），可得，由正切的和角公式可得，通过换元令t＝1﹣y∈[0，2]，结合基本不等式可得当时cos∠APB最大，由此得解．
【解答】解：过点P作PH⊥AB，垂足为H，设P（x，y），则，
∴＝，
令t＝1﹣y∈[0，2]，当t＝0时，tan∠APB＝0，∠APB＝π，cos∠APB＝﹣1；
当t∈（0，2]时，，当且仅当，即时取等号，
此时cos∠APB最大，且．
故选：A．

【名师指导】
一、求椭圆离心率的三种方法
1．直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
2．构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
3．通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
二、与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
1．利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．
2．利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．
3．利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
4．利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围．