2023晋中榆次一中校高二上学期开学考试数学试题含答案

2022~2023学年第一学期开学考试

高二数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求出集合，然后根据集合并集补集运算求解.

【详解】因为，，所以，因为，所以.

故选：D.

2. 已知复数z满足，则z的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数除法运算求出z，然后由虚部定义可得.

【详解】由题得

所以复数z的虚部为.

故选：A

3. 图1、图2分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图．根据统计图，下列说法一定正确的是（    ）

A. 甲户的家庭全年各项支出比乙户的家庭全年各项支出高

B. 乙户的教育支出占全年总支出的百分比比甲户的教育支出占全年总支出的百分比大

C. 甲户的食品支出比乙户的食品支出高

D. 甲户的其他支出占全年总支出的百分比比乙户的其他支出占全年总支出的百分比小

【答案】B

【解析】

【分析】由条形统计图和扇形统计图依次判断4个选项即可.

【详解】由图2无法确定乙户的家庭全年总支出和各项支出，故无法比较甲乙的总支出及各项支出，故A选项，C选项错误；

对于B，乙户的教育支出占全年总支出的百分比为，甲户的教育支出占全年总支出的百分比为，B正确；

对于D，甲户的其他支出占全年总支出的百分比为，乙户的其他支出占全年总支出的百分比为，D错误.

故选：B.

4. 打靶次，事件表示“击中发”，其中、、、.那么表示（    ）

A. 全部击中 B. 至少击中发

C. 至少击中发 D. 以上均不正确

【答案】B

【解析】

【分析】利用并事件的定义可得出结论.

【详解】所表示的含义是、、这三个事件中至少有一个发生，即可能击中发、发或发.

故选：B.

5. 已知m，n是两条不同直线，，，是三个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（    ）

A. 若，，则

B. 若，，则

C. 若，，则

D. 若m，n是异面直线，且，，，则

【答案】A

【解析】

【分析】由线面平行，线面垂直，面面垂直的性质和判定分析判断即可

【详解】对于A，因为，，所以，所以A正确，

对于B，当，时，与可能平行，可能相交不垂直，也可能垂直，所以B错误，

对于C，当，时，与可能垂直，可能平行，可能平面内，所以C错误，

对于D，当m，n是异面直线，且，，时，与平面可能平行，可能相交，所以D错误，

故选：A

6. 若，且，则的值为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知求出，再根据结合两角差正弦公式即可得解.

【详解】解：因为，所以，

又，所以，

所以.

故选：C.

7. 已知条件p：，条件q：（其中），若p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分别解出两个不等式，再根据p是q的必要而不充分条件，可得对应得集合是对应得集合的真子集，列出不等式组，从而可得出答案.

【详解】解：由，得，

所以，

由，得，

所以，

因为P是q的必要而不充分条件，

所以

所以，解得，

即实数m的取值范围为.

故选：C.

8. 已知z为复数，且，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的几何意义可知复数z对应的点的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的圆，进而利用点与点之间的距离来求解.

【详解】法一：在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的圆，表示复平面内的点与点之间的距离.因为点与原点O的距离，所以的最小值是，最大值是，故的取值范围是.故选:C.

法二：因为复数z满足，不妨设，,则.因为，所以，所以的取值范围是.

故选:C.

9. 已知直三棱柱，O为正三角形ABC的外心，则异面直线与OB所成角的正弦值为（    ）

A. 0 B. 1 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】可画出图形，根据题意知为的垂心，从而得出，进而得出平面，进而得出，从而可得出异面直线与所成角的大小，即可求解．

【详解】解：如图，是等边三角形，且为的外心，

是的垂心，

，且平面，平面，

，且，

平面，且平面，

，

异面直线与所成角的大小为，异面直线与所成角的正弦值的大小为1.

故选：B．

10. 函数（，）图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差为，且点是函数图象的对称中心，则函数在上的单调增区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得，从而可求得，再将点代入求得，再根据正弦函数的单调性即可得出答案.

【详解】解：因为（，）图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差为，

所以，所以，所以，

则，

因为点是函数图象的对称中心，

所以，

所以，故，

又因，所以，

所以，

令，

则，

因为，所以，

所以函数在上的单调增区间为.

故选：A.

11. 如图，是等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若与的面积相等，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，可得E为AD中点，根据向量的线性运算法则，即可得答案.

【详解】∵D在线段BC上，且，

∴，

又E为线段AD上一点，若与的面积相等，

∴，则E为AD的中点，

又，，

所以，

故选：D

12. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可得出，，分别令、，结合已知条件可得出关于、的等式组，解出、的值，即可得出函数在上的解析式，再利用函数的对称性可求得结果.

【详解】由是奇函数，得，①

由是偶函数，得、②.

令，由①得，由②得：，

又，所以，即，

令，由①得：，

又，所以，即，则，

代入，得，

所以时，.

所以.

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80%分位数为______．

【答案】

【解析】

【分析】利用，进而可以求解.

【详解】由，故数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80%分位数为.

故答案：

14. 已知，则______．

【答案】##

【解析】

【分析】先由诱导公式结合易知求得，再由倍角公式及平方关系结合齐次分式求解即可.

【详解】由，则，又.

故答案为：.

15. 已知、，且，则的取值范围是___.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意可得，将题中等式变形为，在等式两边同时乘以，利用基本不等式可得出关于的二次不等式，解此二次不等式可得出的取值范围.

【详解】、，，，，

，

所以，即，

，解得.

当且仅当时，；当且仅当时，.

因此，的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的取值范围，利用基本不等式构造二次不等式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.

16. 在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的半径为_________.

【答案】

【解析】

【分析】取的中点，连接、，设三棱锥的外接球球心为，过点作于点，于点，连接、、，利用点、分别是、的外接圆圆心计算可得答案.

【详解】如图，取的中点，连接、，

根据，得，，

且，又，

∴是正三角形，，

设三棱锥的外接球球心为，易知在内部，

过点作于点，于点，连接、、，

则点、分别是、的外接圆圆心，且，

在中，，，∴，

在中，，

设球的半径为，则，得.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：找到球心并利用球的性质进行计算是解题关键.

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知向量，的夹角为，且，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）3    （2）

【解析】

【分析】（1）由向量数量积的运算律及定义计算；

（2）把模平方转化为数量积计算．

【小问1详解】

因为向量，的夹角为，且，，

所以．

所以．

【小问2详解】

．

18. 在中，角，，所对的边分别为，，，.

（1）求角的大小；

（2）若外接圆的面积为，，求的面积.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理转化为边的关系，再由余弦定理即可求解；

（2）由外接圆面积可得半径，由正弦定理可得c，代入三角形面积公式求解即可.

【小问1详解】

因为，

由正弦定理，得，整理得，

由余弦定理，得.

因为，所以.

【小问2详解】

设外接圆的半径为，则，所以.

由正弦定理，得，所以.

因为，，所以是等边三角形.

所以的面积为.

19. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统，简称系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和．

（1）求在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率；

（2）求系统B在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用对立事件和相互独立事件的概率公式计算可得；

（2）依题意即求次检测中有次发生故障或次发生故障，利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得；

【小问1详解】

解：设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么．

【小问2详解】

解：设“系统在次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件，则次检测中有次发生故障或次发生故障，

所求概率．

20. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，作，交AD于点E，点F，G分别为线段PD，DC的中点．

（1）证明：平面BEF；

（2）求点E到平面BFG的距离．

【答案】（1）证明过程见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）先由垂直证明出三角形相似，进而由对应线段的比相等求出，E为AD中点，由线面垂直得到线线垂直，进而证明出线面垂直；（2）等体积法求解点到平面的距离.

【小问1详解】

因为平面ABCD，平面ABCD，故PA⊥AC，

因为，所以，又，

故，又因为∠ABC=∠BAD，

故，故，即，解得：，即E为AD中点，

又点F，G分别为线段PD，DC的中点，所以EF∥PA，

因为PA⊥AC，故EF⊥AC，

又，，

所以AC⊥平面BEF；

小问2详解】

由勾股定理得：，，，

由于，所以，故，

由（1）知：EF⊥平面ABCD且，

故，

由勾股定理得：，，

在三角形BGF中，由余弦定理得：，

故，

所以，

设点E到平面BFG的距离为h，则，

解得：，故点E到平面BFG的距离为.

21. 某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．

（1）求实数的值；

（2）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到0.01）

（3）现在要从购车补贴金额的心理预期值在间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在间的概率．

【答案】（1）；   

（2）平均数的估计值为3.5万元，中位数的估计值为3.33万元；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）由频率分布直方图所有频率和为1可求得；

（2）利用频率分布直方图中每组数据区间的中点值乘以相应频率相加可求得平均数，判断中位数对应的区间，求出频率0.5对应的值即为中位数；

（3）先算出从购车补贴金额的心理预期值在 的6人中，在 间的有4人，然后根据列举法列出所有可能的基本事件15种，选出都在预期值间的情况6种，利用古典概型公式计算即可。

【小问1详解】

由题意知，，解得．

【小问2详解】

平均数的估计值为

万元

因为，则中位数在区间（3，4）内．

设中位数为，则，

得，所以中位数的估计值为3.33万元．

【小问3详解】

从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，则购车补贴金额的心理预期值在[3，4）间的有4人，记为a，b，c，d，购车补贴金额的心理预期值在[4，5）间的有2人，记为A，B，则基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，A），（a，B），（b，c），（b，d），（b，A），（b，B），（c，d），（c，A），（c，B）（d，A），（d，B），（A，B），共15种情况．

其中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间有（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6种情况，所以抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间的概率．

22. 已知函数是定义在上的奇函数.

（1）求实数a的值；

（2）求不等式的解集；

（3）若关于x不等式恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据奇函数满足，即可求解；（2）根据的单调性，即可根据函数值的大小确定自变量的大小，即可转化求解，（3）将恒成立问题转化为最值问题，即可利用二次函数的性质求最值进行求解.

【小问1详解】

因为是定义在上的奇函数，所以，

即，即，

因为，所以，所以（经检验，符合题意）

小问2详解】

由（1）得，

因为与在上均为增函数，所以在上为增函数，

又，所以，

所以，即，

所以，所以不等式的解集是.

【小问3详解】

因为关于x的不等式恒成立，即恒成立，

所以恒成立，所以，

因为，

所以当，即时，取得最小值.

所以，即实数k的取值范围是