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2023届湖北省孝感高中等新高考联考协作体高三上学期起点考试数学试题含解析
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这是一份2023届湖北省孝感高中等新高考联考协作体高三上学期起点考试数学试题含解析，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届湖北省孝感高中等新高考联考协作体高三上学期起点考试
数学试题
一、选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知点是角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
3. 火车站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停放3列不同火车，则不同的停放方法有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4. （ ）
A. B. C. D. 1
5. 要得到的图象，只需要将的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
6. 定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）
A. 23 条 B. 24 条 C. 25条 D. 26 条
8. 当时，恒成立，则整数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 4 小题，每小题5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 已知集合，，全集，若，则实数的集合为
B. 命题，成立的充要条件是
C. 设，则“”的充要条件是“都不为”
D. 已知，，，则的最小值为
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的定义域为
B. 当函数的图象关于点成中心对称时，
C. 当时，在上单调递减
D. 设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为（，2，…，2022），则的值为0
11. 已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知方程，其中.下列条件中使得该三次方程有且仅有一个实根是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题: 本题共 4 小题，每小题5分，共 20分.
13. 如果函数是奇函数，则的值为______.
14. 抽样表明，某地区新生儿体重近似服从正态分布.假设随机抽取个新生儿体检，记表示抽取的个新生儿体重在以外的个数.若的数学期望，则的最大值是___________.（）
15. 函数的最大值为，最小值为，则______.
16. 已知、为实数，，若对恒成立，则的最小值为 ______.
四、解答题: 本题共 6 小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知的展开式中的系数是-35，
（1）求的值；
（2）求的值.
18 已知函数.
（1）求的最小正周期;
（2）若，求出的单调递减区间.
19. 袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不放回的摸球，每次摸1 个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求:
（1）的值;
（2）随机变量的概率分布列和数学期望.
20. 已知函数为偶函数.
（1）求实数的值;
（2）解关于的不等式;
（3）设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.
21. 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
单位：只
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.
参考公式： (其中为样本容量)
参考数据：
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
0455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
22. 已知函数.
（1）求证: 当时，;
（2）已知函数有3个不同零点，
（i）求证: ;
（ii）求证: 是自然对数的底数).
高三数学试卷
一、选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式求得集合，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】，解得或，
所以.
所以，AB选项错误.
反之不成立，故C选项正确，D选项错误.
故选：C
2. 已知点是角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出点P到原点的距离，再根据正弦函数的定义求解.
【详解】依题意点P的坐标为 ， ， ；
故选：D.
3. 火车站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停放3列不同的火车，则不同的停放方法有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，直接利用排列列式作答.
【详解】火车站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停放3列不同的火车，它是排列问题，
所以不同的停放方法有种.
故选：B
4. （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确选项.
【详解】
.
故选：B
5. 要得到的图象，只需要将的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】先将函数化为，然后由正弦函数的图像平移可得答案.
【详解】
又
所以将的图像向左平移个单位长度，可得的图像
故选：A
6. 定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知，利用分段函数的解析式，结合图像进行求解.
【详解】因为当时，，所以，
又因为函数满足，所以函数的部分图像如下，
由图可知，若对，都有，则.故A，C，D错误.
故选：B.
7. 如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）
A. 23 条 B. 24 条 C. 25条 D. 26 条
【答案】D
【解析】
【分析】先假设是实线，计算出所有的最短路径的条数，然后减去经过的最短路径的条数，从而求得正确答案.
【详解】先假设是实线，
则从到，向上次，向右次，最短路径有条，
其中经过的，即先从到，然后到，最后到的最短路径有条，
所以，当不通时，最短路径有条.
故选：D
8. 当时，恒成立，则整数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意转化为在上恒成立，设，求得，令，求得，单调在上仅有一个实数根，设为，根据，得到，将代入得到，即可求解.
【详解】因为当时，恒成立，
可得在上恒成立，
不妨设，可得，
令，可得，所以在上单调递增，
因为，所以在上仅有一个实数根，设为，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
因为，所以，且，
将代入可得，
因为在上单调递增，所以，
所以，因为为整数，所以.
故选：C.
二、选择题: 本题共 4 小题，每小题5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分.
9. 下列说法正确有（ ）
A. 已知集合，，全集，若，则实数的集合为
B. 命题，成立的充要条件是
C. 设，则“”的充要条件是“都不为”
D. 已知，，，则的最小值为
【答案】CD
【解析】
【分析】解方程求得集合，当时，可知，由此可得，知A错误；利用一元二次不等式能成立的求法可求得范围，由其与的推出关系可知B错误；根据可知C正确；由，利用基本不等式可求得最小值，知D正确.
【详解】对于A，集合；
当时，，，满足，但，A错误；
对于B，若，，则，
当时，，；
由，，
是，成立的充分不必要条件，B错误；
对于C，由题意知：，且，
“”的充要条件是“都不为”，C正确；
对于D，（当且仅当，即，时取等号），
的最小值为，D正确.
故选：CD.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的定义域为
B. 当函数的图象关于点成中心对称时，
C. 当时，在上单调递减
D. 设定义域为函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为（，2，…，2022），则的值为0
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A：由即可判断；对B：由，可得的图象关于点成中心对称，从而即可判断；对C：，且，即可判断；对D：由函数和图象关于对称，则与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，从而即可求解判断.
【详解】解：对A：要使函数有意义，则，即，
∴的定义域为，所以选项A正确；
对B：∵，
∴的图象关于点成中心对称，
∴当函数的图象关于点成中心对称时，，所以选项B不正确；
对C：由选项B知，当时，，
∴在单调递减，所以选项C正确；
对D：∵，，
∴的图象关于对称，又函数的图象关于对称，
∴与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，
，所以选项D正确.
故选：ACD.
11. 已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据条件概率公式及相互独立事件、对立事件的概率公式计算可得；
【详解】解：，因为，所以，因此，，又，所以.
故选：AD.
12. 已知方程，其中.下列条件中使得该三次方程有且仅有一个实根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】分别对所给的值逐个分析； 选项中添项去项，分组分解因式，可得有两根，不符合题意;A, C, D中构造函数，求出函数的单调性和极值，分析函数的零点问题，由极值的正负判断函数的零点个数，进而判断出正确的命题.
【详解】对于选项A. 方程为: , 令 ,
, 所以在R上单调递增, 且， ,
所以函数仅有一个零点, 所以方程仅有一个实根, 所以A正确.
对于选项B. 方程:, 可得 , 即 , 即 , 即
，
可得方程有两个根1，-2, 不符合题意, 所以B不正确;
对于选项C. 方程为: , 令 , 则
；当时， ，单调递增；
所以函数只有一个零点，即方程仅有一个实根, 所以C正确;
对于选项D. 方程为: ， 令,
，时，时，故 为极大值，，
时, 为极小值, 且 , 当 时,,
所以函数仅有一个零点, 即方程仅有一个实根, 所以D正确;
故选: ACD.
三、填空题: 本题共 4 小题，每小题5分，共 20分.
13. 如果函数是奇函数，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的定义，将代入，求出的表达式，再根据确定的取值.
【详解】函数是奇函数，
，即，
或恒成立，
解得：，
又，.
故答案为：.
14. 抽样表明，某地区新生儿体重近似服从正态分布.假设随机抽取个新生儿体检，记表示抽取的个新生儿体重在以外的个数.若的数学期望，则的最大值是___________.（）
【答案】16
【解析】
【分析】根据正太分布的原则进行计算.
【详解】根据正太分布的原则可知：，得：，
因为为正整数，故的最大值为16.
故答案为：16
15. 函数的最大值为，最小值为，则______.
【答案】6
【解析】
【分析】求解可得的对称中心，再根据取得最大与最小值的点关于对称中心对称求解即可.
【详解】由题意，，故关于对称.
故取得最大与最小值的点关于对称，所以.
故答案为：6
16. 已知、为实数，，若对恒成立，则的最小值为 ______.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导函数，判断可得，即可求得函数的单调区间，从而求出函数的最小值，依题意可得，即可得到，从而得到，再令，，利用导数说明函数的单调性，从而求出函数的最小值，即可求出的取值范围.
【详解】解：因为，所以，
若，则恒成立，所以在上单调递增，且当时，不符合题意，
所以，令，解得，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，则，
则，
令，，
则，所以当时，当时，
即在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，即的最小值为.
故答案为：
【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
四、解答题: 本题共 6 小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知的展开式中的系数是-35，
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）1（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）本题主要考查二项式定理，首先根据通项公式写出，令，从而求出的值为1，于是问题转化为的展开式，采用赋值法，首先令，求出的值，再令，可以求出的值，这样得出的值；（2）两次赋值，分别令，，两个式子相减得到的值.
试题解析：∵，
∴，∴.
（1）令时，，①
令时，.
∴
（2）令时，.②
①-②得.
18. 已知函数.
（1）求的最小正周期;
（2）若，求出的单调递减区间.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用二倍角和辅助角公式化简函数为的形式, 再利用周期公式求函数的最小正周期,
(2)根据 ,令 ，则可求出的范围,从而得出的单调递减区间.
【小问1详解】
.
的最小正周期为 .
【小问2详解】
令 ，则 ，
又函数 在 上单调递减，即 时，的单调递减，
当 时，的单调减区间为.
19. 袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不放回的摸球，每次摸1 个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求:
（1）的值;
（2）随机变量的概率分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，ξ的数学期望为2.5
【解析】
【分析】(1)先求从袋中不放回的摸球两次的所有取法，再求出事件所包含的取法数，利用古典概型概率公式求，(2)由条件确定随机变量的所有取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求其期望.
【小问1详解】
由已知可得从袋中不放回的摸球两次的所有取法有种，事件表示第一次取红球第二次取黄球或第一次取黄球第二次取红球，故事件包含种取法，
所以
【小问2详解】
随机变量可取的值为
得随机变量的概率分布列为:
2
3
4
P
随机变量的数学期望为：
20. 已知函数为偶函数.
（1）求实数的值;
（2）解关于的不等式;
（3）设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；
（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；
（3）由函数与图象有个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.
【小问1详解】
函数的定义或为，
函数为偶函数.
，即 ，
，
；
【小问2详解】
，
当时，，单调递增，
在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
，
，
解得或，
所以所求不等式的解集为 ；
【小问3详解】
函数与图象有个公共点，
，
即，，
设，则，即，
又在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
，
解得，即的取值范围为.
21. 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
单位：只
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.
参考公式： (其中为样本容量)
参考数据：
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
【答案】（1）列联表答案见解析，认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；（2）（i）；（ii）当接种人数为n=99时，；当n=100时，.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图算出每个区间段的小白鼠数量，然后根据指标值完成列联表，并根据参考公式进行运算，然后进行数据比对，最终得到答案；
（2）（i）根据古典概型公式，结合对立事件概率求法即可得到答案；
（ii）根据最大，结合二项定理概率求法列出不等式组解出X，最后求出期望.
【详解】（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）.
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：
单位：只
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200
零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中数据，得.
根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.
记事件A，B，C发生的概率分别为，，，
则，，
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.
（ii）由题意，知随机变量，（）.
因为最大，
所以，
解得，因为是整数，所以或，所以接受接种试验的人数为99或100.
①当接种人数为99时，；
②当接种人数为100时，.
22. 已知函数.
（1）求证: 当时，;
（2）已知函数有3个不同的零点，
（i）求证: ;
（ii）求证: 是自然对数的底数).
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】(1)在条件下利用导数求的最大值，在时利用导数求的最小值，由此完成证明；(2) （i）利用证明极值点偏移的方法证明，再结合基本不等式证明；（ii）根据(1)证明，结合切线方程证明.
【小问1详解】
①当 ，即证 ，
令 ，
令 ，则当时，所以在上单调递减，
则有当时，所以在上单调递减，
所以当，
成立
②当 时，，即证 ，
令
设，则，所以在上单调递增，所以
所以，
在上单调递减，，即 ，
综合①②当 时，
【小问2详解】
，
当 在 上单调递增，在 单调递减，
当 在上单调递增，
又函数有 3 个不同的零点 ，
所以，，
（i）令 ，
在上单调递增，又
，
又 在上单调递减，
，即
（ii)在处的切线方程与交点的横坐标，
过点 和的直线方程 与交点的横坐标 ，
由 （1）取 ，
则与在轴右侧交点横坐标为 ，
，
综上:
【点睛】本题第二小问中的第一个小题的解决的关键在于利用证明极值点偏移的方法证明，再利用基本不等式证明结论.
2023届湖北省孝感高中等新高考联考协作体高三上学期起点考试
数学试题
一、选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知点是角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
3. 火车站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停放3列不同火车，则不同的停放方法有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4. （ ）
A. B. C. D. 1
5. 要得到的图象，只需要将的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
6. 定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）
A. 23 条 B. 24 条 C. 25条 D. 26 条
8. 当时，恒成立，则整数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 4 小题，每小题5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 已知集合，，全集，若，则实数的集合为
B. 命题，成立的充要条件是
C. 设，则“”的充要条件是“都不为”
D. 已知，，，则的最小值为
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的定义域为
B. 当函数的图象关于点成中心对称时，
C. 当时，在上单调递减
D. 设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为（，2，…，2022），则的值为0
11. 已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知方程，其中.下列条件中使得该三次方程有且仅有一个实根是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题: 本题共 4 小题，每小题5分，共 20分.
13. 如果函数是奇函数，则的值为______.
14. 抽样表明，某地区新生儿体重近似服从正态分布.假设随机抽取个新生儿体检，记表示抽取的个新生儿体重在以外的个数.若的数学期望，则的最大值是___________.（）
15. 函数的最大值为，最小值为，则______.
16. 已知、为实数，，若对恒成立，则的最小值为 ______.
四、解答题: 本题共 6 小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知的展开式中的系数是-35，
（1）求的值；
（2）求的值.
18 已知函数.
（1）求的最小正周期;
（2）若，求出的单调递减区间.
19. 袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不放回的摸球，每次摸1 个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求:
（1）的值;
（2）随机变量的概率分布列和数学期望.
20. 已知函数为偶函数.
（1）求实数的值;
（2）解关于的不等式;
（3）设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.
21. 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
单位：只
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.
参考公式： (其中为样本容量)
参考数据：
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
0455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
22. 已知函数.
（1）求证: 当时，;
（2）已知函数有3个不同零点，
（i）求证: ;
（ii）求证: 是自然对数的底数).
高三数学试卷
一、选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式求得集合，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】，解得或，
所以.
所以，AB选项错误.
反之不成立，故C选项正确，D选项错误.
故选：C
2. 已知点是角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出点P到原点的距离，再根据正弦函数的定义求解.
【详解】依题意点P的坐标为 ， ， ；
故选：D.
3. 火车站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停放3列不同的火车，则不同的停放方法有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，直接利用排列列式作答.
【详解】火车站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停放3列不同的火车，它是排列问题，
所以不同的停放方法有种.
故选：B
4. （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确选项.
【详解】
.
故选：B
5. 要得到的图象，只需要将的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】先将函数化为，然后由正弦函数的图像平移可得答案.
【详解】
又
所以将的图像向左平移个单位长度，可得的图像
故选：A
6. 定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知，利用分段函数的解析式，结合图像进行求解.
【详解】因为当时，，所以，
又因为函数满足，所以函数的部分图像如下，
由图可知，若对，都有，则.故A，C，D错误.
故选：B.
7. 如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）
A. 23 条 B. 24 条 C. 25条 D. 26 条
【答案】D
【解析】
【分析】先假设是实线，计算出所有的最短路径的条数，然后减去经过的最短路径的条数，从而求得正确答案.
【详解】先假设是实线，
则从到，向上次，向右次，最短路径有条，
其中经过的，即先从到，然后到，最后到的最短路径有条，
所以，当不通时，最短路径有条.
故选：D
8. 当时，恒成立，则整数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意转化为在上恒成立，设，求得，令，求得，单调在上仅有一个实数根，设为，根据，得到，将代入得到，即可求解.
【详解】因为当时，恒成立，
可得在上恒成立，
不妨设，可得，
令，可得，所以在上单调递增，
因为，所以在上仅有一个实数根，设为，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
因为，所以，且，
将代入可得，
因为在上单调递增，所以，
所以，因为为整数，所以.
故选：C.
二、选择题: 本题共 4 小题，每小题5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分.
9. 下列说法正确有（ ）
A. 已知集合，，全集，若，则实数的集合为
B. 命题，成立的充要条件是
C. 设，则“”的充要条件是“都不为”
D. 已知，，，则的最小值为
【答案】CD
【解析】
【分析】解方程求得集合，当时，可知，由此可得，知A错误；利用一元二次不等式能成立的求法可求得范围，由其与的推出关系可知B错误；根据可知C正确；由，利用基本不等式可求得最小值，知D正确.
【详解】对于A，集合；
当时，，，满足，但，A错误；
对于B，若，，则，
当时，，；
由，，
是，成立的充分不必要条件，B错误；
对于C，由题意知：，且，
“”的充要条件是“都不为”，C正确；
对于D，（当且仅当，即，时取等号），
的最小值为，D正确.
故选：CD.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的定义域为
B. 当函数的图象关于点成中心对称时，
C. 当时，在上单调递减
D. 设定义域为函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为（，2，…，2022），则的值为0
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A：由即可判断；对B：由，可得的图象关于点成中心对称，从而即可判断；对C：，且，即可判断；对D：由函数和图象关于对称，则与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，从而即可求解判断.
【详解】解：对A：要使函数有意义，则，即，
∴的定义域为，所以选项A正确；
对B：∵，
∴的图象关于点成中心对称，
∴当函数的图象关于点成中心对称时，，所以选项B不正确；
对C：由选项B知，当时，，
∴在单调递减，所以选项C正确；
对D：∵，，
∴的图象关于对称，又函数的图象关于对称，
∴与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，
，所以选项D正确.
故选：ACD.
11. 已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据条件概率公式及相互独立事件、对立事件的概率公式计算可得；
【详解】解：，因为，所以，因此，，又，所以.
故选：AD.
12. 已知方程，其中.下列条件中使得该三次方程有且仅有一个实根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】分别对所给的值逐个分析； 选项中添项去项，分组分解因式，可得有两根，不符合题意;A, C, D中构造函数，求出函数的单调性和极值，分析函数的零点问题，由极值的正负判断函数的零点个数，进而判断出正确的命题.
【详解】对于选项A. 方程为: , 令 ,
, 所以在R上单调递增, 且， ,
所以函数仅有一个零点, 所以方程仅有一个实根, 所以A正确.
对于选项B. 方程:, 可得 , 即 , 即 , 即
，
可得方程有两个根1，-2, 不符合题意, 所以B不正确;
对于选项C. 方程为: , 令 , 则
；当时， ，单调递增；
所以函数只有一个零点，即方程仅有一个实根, 所以C正确;
对于选项D. 方程为: ， 令,
，时，时，故 为极大值，，
时, 为极小值, 且 , 当 时,,
所以函数仅有一个零点, 即方程仅有一个实根, 所以D正确;
故选: ACD.
三、填空题: 本题共 4 小题，每小题5分，共 20分.
13. 如果函数是奇函数，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的定义，将代入，求出的表达式，再根据确定的取值.
【详解】函数是奇函数，
，即，
或恒成立，
解得：，
又，.
故答案为：.
14. 抽样表明，某地区新生儿体重近似服从正态分布.假设随机抽取个新生儿体检，记表示抽取的个新生儿体重在以外的个数.若的数学期望，则的最大值是___________.（）
【答案】16
【解析】
【分析】根据正太分布的原则进行计算.
【详解】根据正太分布的原则可知：，得：，
因为为正整数，故的最大值为16.
故答案为：16
15. 函数的最大值为，最小值为，则______.
【答案】6
【解析】
【分析】求解可得的对称中心，再根据取得最大与最小值的点关于对称中心对称求解即可.
【详解】由题意，，故关于对称.
故取得最大与最小值的点关于对称，所以.
故答案为：6
16. 已知、为实数，，若对恒成立，则的最小值为 ______.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导函数，判断可得，即可求得函数的单调区间，从而求出函数的最小值，依题意可得，即可得到，从而得到，再令，，利用导数说明函数的单调性，从而求出函数的最小值，即可求出的取值范围.
【详解】解：因为，所以，
若，则恒成立，所以在上单调递增，且当时，不符合题意，
所以，令，解得，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，则，
则，
令，，
则，所以当时，当时，
即在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，即的最小值为.
故答案为：
【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
四、解答题: 本题共 6 小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知的展开式中的系数是-35，
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）1（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）本题主要考查二项式定理，首先根据通项公式写出，令，从而求出的值为1，于是问题转化为的展开式，采用赋值法，首先令，求出的值，再令，可以求出的值，这样得出的值；（2）两次赋值，分别令，，两个式子相减得到的值.
试题解析：∵，
∴，∴.
（1）令时，，①
令时，.
∴
（2）令时，.②
①-②得.
18. 已知函数.
（1）求的最小正周期;
（2）若，求出的单调递减区间.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用二倍角和辅助角公式化简函数为的形式, 再利用周期公式求函数的最小正周期,
(2)根据 ,令 ，则可求出的范围,从而得出的单调递减区间.
【小问1详解】
.
的最小正周期为 .
【小问2详解】
令 ，则 ，
又函数 在 上单调递减，即 时，的单调递减，
当 时，的单调减区间为.
19. 袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不放回的摸球，每次摸1 个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求:
（1）的值;
（2）随机变量的概率分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，ξ的数学期望为2.5
【解析】
【分析】(1)先求从袋中不放回的摸球两次的所有取法，再求出事件所包含的取法数，利用古典概型概率公式求，(2)由条件确定随机变量的所有取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求其期望.
【小问1详解】
由已知可得从袋中不放回的摸球两次的所有取法有种，事件表示第一次取红球第二次取黄球或第一次取黄球第二次取红球，故事件包含种取法，
所以
【小问2详解】
随机变量可取的值为
得随机变量的概率分布列为:
2
3
4
P
随机变量的数学期望为：
20. 已知函数为偶函数.
（1）求实数的值;
（2）解关于的不等式;
（3）设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；
（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；
（3）由函数与图象有个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.
【小问1详解】
函数的定义或为，
函数为偶函数.
，即 ，
，
；
【小问2详解】
，
当时，，单调递增，
在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
，
，
解得或，
所以所求不等式的解集为 ；
【小问3详解】
函数与图象有个公共点，
，
即，，
设，则，即，
又在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
，
解得，即的取值范围为.
21. 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
单位：只
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.
参考公式： (其中为样本容量)
参考数据：
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
【答案】（1）列联表答案见解析，认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；（2）（i）；（ii）当接种人数为n=99时，；当n=100时，.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图算出每个区间段的小白鼠数量，然后根据指标值完成列联表，并根据参考公式进行运算，然后进行数据比对，最终得到答案；
（2）（i）根据古典概型公式，结合对立事件概率求法即可得到答案；
（ii）根据最大，结合二项定理概率求法列出不等式组解出X，最后求出期望.
【详解】（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）.
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：
单位：只
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200
零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中数据，得.
根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.
记事件A，B，C发生的概率分别为，，，
则，，
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.
（ii）由题意，知随机变量，（）.
因为最大，
所以，
解得，因为是整数，所以或，所以接受接种试验的人数为99或100.
①当接种人数为99时，；
②当接种人数为100时，.
22. 已知函数.
（1）求证: 当时，;
（2）已知函数有3个不同的零点，
（i）求证: ;
（ii）求证: 是自然对数的底数).
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】(1)在条件下利用导数求的最大值，在时利用导数求的最小值，由此完成证明；(2) （i）利用证明极值点偏移的方法证明，再结合基本不等式证明；（ii）根据(1)证明，结合切线方程证明.
【小问1详解】
①当 ，即证 ，
令 ，
令 ，则当时，所以在上单调递减，
则有当时，所以在上单调递减，
所以当，
成立
②当 时，，即证 ，
令
设，则，所以在上单调递增，所以
所以，
在上单调递减，，即 ，
综合①②当 时，
【小问2详解】
，
当 在 上单调递增，在 单调递减，
当 在上单调递增，
又函数有 3 个不同的零点 ，
所以，，
（i）令 ，
在上单调递增，又
，
又 在上单调递减，
，即
（ii)在处的切线方程与交点的横坐标，
过点 和的直线方程 与交点的横坐标 ，
由 （1）取 ，
则与在轴右侧交点横坐标为 ，
，
综上:
【点睛】本题第二小问中的第一个小题的解决的关键在于利用证明极值点偏移的方法证明，再利用基本不等式证明结论.
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