2023届山东省日照市高三上学期第一次校际联合考试数学试题含解析

2023届山东省日照市高三上学期第一次校际联合考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则如图所示的韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】阴影部分可以用集合表示为，故求出、，即可解决问题．

【详解】解：由题意得，，

，

阴影部分为故选B

【点睛】本题考查用韦恩图表示的集合的运算，解题时要能用集合的运算表示出阴影部分．

2．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先化简求得，再求模即可.

【详解】∵ ，∴，

故选：B

3．已知函数在区间上的图像连续不断，则“在区间上有零点”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分性、必要性的定义，结合函数零点的定义和零点存在原理进行求解判断即可.

【详解】已知函数在区间上的图像连续不断，

根据零点存在性定理，若，则在区间上有零点；

若有或者，在区间上有零点，

但是不成立.

故选：B

4．函数的图象大致为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求导分析导函数的单调性与零点可得原函数存在两个极值点,再代入求值判断即可.

【详解】解法一：因为，设，

令,得,

当时,为减函数，即为减函数；

当时,，为增函数，即为增函数,

而,所以原函数存在两个极值点,

故淘汰选项C和D.将代入原函数,求得,淘汰选项A.

解法二：,淘汰选项A,D；

当时,,淘汰选项C.

故选：B.

【点睛】本小题考查函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想,考查直观想象、数学运算等核心素养,属于中档题.

5．设正实数m，n满足，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由基本不等式“1”的妙用进行求解

【详解】解：因为正实数m，n，，

所以，

当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值，

故选：C

6．在等差数列中，，．记，则数列（       ）．

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

【答案】B

【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.

【详解】由题意可知，等差数列的公差，

则其通项公式为：，

注意到，

且由可知，

由可知数列不存在最小项，

由于，

故数列中的正项只有有限项：，.

故数列中存在最大项，且最大项为.

故选：B.

【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.

7．如图，直线依次与曲线、及x轴相交于点A、点B及点C，若B是线段的中点，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数图像的位置关系，写出各点的坐标，再根据题中几何关系列关于a，b的等式进而求解出参数b的取值范围.

【详解】根据题意，A，B，C三点的坐标分别为

又是线段的中点，即，所以，

计算得：，所以，故，

又由图知，，，，所以

选项B正确，选项ACD错误

故选：B.

8．已知，且，的夹角为，若向量，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，，．由得，设，，得 可得答案．

【详解】不妨设，，，且，

因为，所以，设，，

，，

所以，

由于，故．

故选：D．

【点睛】本题考查了用向量的坐标运算求取值范围的问题，解题的关键点是设，，转化为坐标运算，考查了学生分析问题、解决问题的能力.

二、多选题

9．八卦是我国古代的一套有象征意义的符号.如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据向量的线性运算结合数量积公式求解即可.

【详解】对于A，两向量方向相反，故A错误；

对于B，连接BH交OA于M，由，可得，

由向量的平行四边形法则可得，

又，则，B正确；

对于C，由正八边形可得，

则，C正确；

对于D，，

，

易得，

又，，则，D错误.

故选：BC.

10．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（       ）

A．函数的图象关于直线对称

B．函数的图象关于点对称

C．函数在区间上单调递增

D．与图象的所有交点的横坐标之和为

【答案】BCD

【解析】根据图象求出函数解析式，再判断各选项．

【详解】由题意，，∴，又，，又，∴，

∴．

∵，∴不是对称轴，A错；

，∴是对称中心，B正确；

时，，∴在上单调递增，C正确；

，，或，

即或，，又，∴，和为，D正确．

故选：BCD．

【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题关键是掌握“五点法”，通过五点法求出函数解析式，然后结合正弦函数性质确定函数的性质．本题方法是代入法，整体思想，即由已知求出的值或范围，然后结合正弦函数得出结论．

11．已知函数定义域为R，且.

当时，.若函数在上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k的可能取值为（       ）

A．0 B．1 C． D．

【答案】ABD

【分析】令，得到.作出的图像，利用图像法讨论零点，分类讨论求出k的值.

【详解】令，得到.

由已知，，则的周期为2.

其大致图像如图所示，由图可知，

令，得到.

①当时，零点为1､3､5､7､…，满足题意；

②当时，零点为0､2､4､6､…，满足题意；

③当时，若零点从小到大构成等差数列，公差只能为1.

由，得，此时；

④当时，函数无零点，不符合题意.

故选：ABD.

12．当时，不等式成立．若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】将给定不等式变形，构造函数，利用函数单调性，逐项分析判断作答.

【详解】当时，不等式，令，则在上单调递增，

因，则，A正确；

因，则，B不正确；

由知，，有，则，

由选项A知，，即，C不正确；

由得，，则，D正确.

故选：AD

【点睛】关键点睛：涉及两个量的大小，构造函数，分析并运用函数的单调性是求解作答的关键.

三、填空题

13．已知．若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则____________．

【答案】

【分析】根据幂函数的单调性与定义域判定即可

【详解】因为幂函数图像不过坐标原点，故，又在区间上单调递增，故

故答案为：

14．已知 则 ____________.

【答案】

【分析】由已知利用二倍角的余弦公式可求出的值，再利用二倍角公式求出的值，然后利用诱导公式可求得结果

【详解】解：因为

所以，

所以，

所以，

故答案为：

15．设函数的图象在点处的切线为，若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】首先由导数的几何意义可知切线的斜率，将切点代入切线方程可得的值，即可得有两个不等实根，转化为与图象有两个不同的交点，数形结合即可求解.

【详解】由可得，

在点处的切线斜率为，所以，

将点代入可得，

所以方程即有两个不等实根，

等价于与图象有两个不同的交点，

作的图象如图所示：

由图知：若与图象有两个不同的交点则吗，

故答案为：

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

16．已知是定义域为的奇函数，且图像关于直线对称，当时，，对于闭区间，用表示在上的最大值.若正数满足，则的值可以是_________.（写出一个即可）.

【答案】或

【分析】首先可得是以为周期的周期函数，根据的解析式，得到的图象，再对在不同区间进行讨论，得出符合条件的值．

【详解】解：因为是定义域为的奇函数，所以，

又函数图像关于直线对称，所以，

所以，所以，

即是以为周期的周期函数，

又当时，，

令，则，所以，

所以，

所以当时，

时，

所以的部分图象如下所示：

若，则，在上单调递增，所以，，显然不满足，

若，则，在上单调递增，在上单调递减，

所以，，显然不满足，

若，则，所以，，由，

即，解得或（舍去）；

若，则，所以，或，由，

即，解得或（舍去）；

当时，，所以，，显然不满足，故舍去；

故答案为：或

四、解答题

17．已知函数，.

(1)求函数的最小值和最小正周期；

(2)已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若向量与共线，求a，b的值.

【答案】(1)最小值为，最小正周期为.

(2)

【分析】（1）根据二倍角公式与辅助角公式化简可得，进而可得最小值与最小正周期；

（2）根据可得，再根据向量共线的性质结合正弦定理可得，进而根据余弦定理求解即可.

【详解】(1).

∴的最小值为，最小正周期为.

(2)∵，即，

∵，，∴，∴.

∵与共线，∴.

由正弦定理，得，①

∵，由余弦定理，得，②

解方程组①②，得.

18．已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．

（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．

【答案】（I）；（II）证明见解析.

【分析】（I）根据，求得，进而求得数列的通项公式，利用累加法求得数列的通项公式.

（II）利用累乘法求得数列的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立.

【详解】（I）依题意，而，即，由于，所以解得，所以.

所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.

所以（）.

所以，又，符合，

故.

（II）依题意设，由于，

所以，

故

.

又，而，

故

所以

.

由于，所以，所以.

即， .

【点睛】本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题.

19．已知函数是偶函数．

(1)求的解析式；

(2)设函数，其中，若方程存在实数解，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)由偶函数的定义可得对恒成立，

结合对数的运算性质化简得对恒成立，进而求出的值，得到函数的解析式．

(2)方程存在实数解，等价于方程存在实数解，令，则，即方程化为，即存在正数解，再利用分离参数法结合基本不等式进行求解．

【详解】(1)是偶函数，

，，

即对恒成立，

即对恒成立，

对恒成立，

不恒为0，，

．

(2)方程存在实数解，即方程存在实数解，

又对数函数在上单调递增，

即方程存在实数解，

令，则，

方程化为，

即关于t的方程存在正数解，

∵m＞0，＞1，∴t＞2，t－2＞0，

∴方程存在正数解，即函数y＝m与函数，t＞2图像有交点.

，当且仅当，即时，等号成立，

∴根据对勾函数的图像性质可知，

即实数的取值范围为.

20．如图，已知在中，M为BC上一点，，且．

(1)若，求的值；

(2)若AM为的平分线，且，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由求得，由可得，结合得，利用正弦定理即可求得答案；

（2）由余弦定理求得，根据角平分线性质定理可求得，再求得，由三角形面积公式可得答案.

【详解】(1)因为，,

所以，

因为，

所以由正弦定理知，即，

因为，所以，，

在中，．

(2)由题意知，设，

由余弦定理得，解得或．

因为，所以，

因为AM为的平分线，

所以（h为底边BC的高）

所以，故，

而由（1）知，

所以．

21．一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，米，如图所示.小球从A点出发以的速度沿半圆O轨道匀速运动到某点E处，经弹射后，以的速度沿EO的方向匀速运动到BC上某点F处.设弧度，小球从A到F所需时间为T.

(1)试将T表示为的函数，并写出定义域；

(2)当满足什么条件时，时间T最短.

【答案】(1)，

(2)当时，时间T最短

【分析】（1）连接CO并延长交半圆于M可得，过O作于G，可得，进而求得小球从A到F所需时间；

（2）由（1），再求导分析函数的单调性与最值求解即可.

【详解】(1)连接CO并延长交半圆于M，则，故，同理可得，

∴.

过O作于G，则，，

∴，

又，∴，.

(2)，

令可得，

解得或（舍）.设，，

则当时，，当时，，

故函数在上单调递减，在上单调递增，

∴当，取得最小值.故当时，时间T最短.

22．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；

(2)若，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可知，则可求出切点坐标为，切线斜率为，再利用点斜式写出直线，则可求出答案；

（2）由定义域为，则，讨论当与0的大小关系，即可去掉绝对值，利用则可求出求出实数a的取值范围.

【详解】(1)当时，，

，，切点，

∴切线方程为，即.

令，得；令，得，

所以三角形的面积是：.

(2)①当时，，此时，

令，.

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

所以，又，则，

又，所以，

∴，∴，此时符合题意.

②当时，，

令，恒成立，

则在上单调递增，又，，

存在唯一的使，且，

所以，

当时，，

由，则在上单调递减，

当时，，

由，（分开考虑导函数符号）

当时，在上单调递增，

则，

所以当时，，

所以在上单调递增，所以，

由题意则，

设，则在上恒成立，所以在上单调递增.

此时，即，

综上所述，实数a的取值范围为.

【点睛】关键点睛：本题考查利用导数的几何意义求切线方程，利用导数处理恒成立求参数问题，解答本题的关键是对参数分和两种情况进行讨论，当时，易知恒成立；当时，设，讨论出其单调性，得出其符号，打开绝对值，从而得出在上单调递减，在上单调递增，得到，从而求出的范围，进而求出答案，属于难题.