2023届陕西省安康中学高三上学期第一次检测性考试理科数学试题含解析

这是一份2023届陕西省安康中学高三上学期第一次检测性考试理科数学试题含解析，共30页。试卷主要包含了 “”是“直线与直线垂直”的， 下列说法中正确的是， 已知命题， 已知实数，满足，则的最大值为， 已知函数，给出下列四个结论等内容，欢迎下载使用。

安康中学2020级高三第一次检测性考试
（理科数学）
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数，其中是实数，是虚数单位，若，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知向量与的夹角是，且，，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“直线与直线垂直”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若样本数据，，…，的平均数为5，则样本数据，，…，的平均数为10
B. 用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27，38，49，则该班学生人数可能为60
C. 某种圆环形零件的外径服从正态分布（单位：），质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为，则这批零件不合格
D. 对某样本通过独立性检验，得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群中有的人可能患肺病
5. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是（ ）
A. B. 84 C. D. 24
6. 已知函数是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增，若成等差数列，且，则下列结论正确的是（ ）
A. ，且
B. ，且
C. ，且
D. ，且
7. 在棱长为3的正方体内任取一点，则这个点到该正方体各个面的距离均超过1的概率为（ ）
A B. C. D.
8. 已知命题：若且，则；命题：，使，则下列命题中为真命题的是
A. B.
C. D.
9. 已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
10. 已知函数，给出下列四个结论
①函数的最小正周期是；
②函数在区间上是减函数；
③函数的图象关于直线对称；
④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到.
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 设双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，若双曲线上存在点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A. 6 B. 3 C. D.
12. 对于给定的正整数，设集合，且.记为集合A中的最大元素，当A取遍的所有非空子集时，对应的所有的和记为，则（ ）
A. B.
C. D.
二､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13. 已知，则______．
14. 如图，在中，，是线段上一点，若，则实数值为__．

15. 《易经》是中国传统文化的精髓，易经八卦分别为乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑，现将乾、坤、巽三卦按任意次序排成一排，则乾不在中间的概率为_________.
16. 已知点P为曲线上的动点，O为坐标原点．当最小时，直线OP恰好与曲线相切，则实数a＝___．
三､解答题（本大题共6大题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，且A为锐角.
（1）求A；
（2）求c及△ABC的面积.
18. 在四棱锥中，底面为直角梯形，分别为的中点，

（1）证明：；
（2）若与所成角为，求平面和平面所成角的余弦值.
19. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
样本号ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量
0.25
040
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
39
并计算得．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数．
20. 已知椭圆一个焦点与抛物线的焦点重合，且直线与圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）设斜率为且不过原点的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，直线的斜率分别为，若成等比数列，推断是否为定值﹖若是，求出此定值；若不是，说明理由.
21. 已知函数，为自然对数的底数.
（1）若存在，使，求实数的取值范围；
（2）若有两个不同零点，证明：.
22. 已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为ρ= 4cosθ，直线l的参数方程为(t为参数).
（1）求曲线的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）若曲线的参数方程为(α为参数)，曲线上点P的极角为Q为曲线上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值.
23.

已知函数，其中为实常数．
（1）若函数的最小值为3，求的值；
（2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围．

安康中学2020级高三第一次检测性考试
（理科数学）
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数，其中是实数，是虚数单位，若，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由复数的相等求出值，由共轭复数定义得共轭复数，然后由复数的几何意义得其对应点的坐标，从而其所在象限．
【详解】由已知，，则，且，即.
所以，所对应的点位于第四象限，
故选：D．
2. 已知向量与的夹角是，且，，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据，由求解.
【详解】因为向量与的夹角是，且，，
所以，
，
解得 .
故选：B
3. “”是“直线与直线垂直”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由直线与直线垂直求出的值，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】直线与直线垂直,
则，解得：或，
所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.
故选：B.
4. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若样本数据，，…，的平均数为5，则样本数据，，…，的平均数为10
B. 用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27，38，49，则该班学生人数可能为60
C. 某种圆环形零件的外径服从正态分布（单位：），质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为，则这批零件不合格
D. 对某样本通过独立性检验，得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群中有的人可能患肺病
【答案】C
【解析】
【分析】由样本平均数的定义和性质可判断A；由系统抽样的特点可判断B；运用正态分布的特征可判断C；由独立性检验的意义和可能性，即可判断D.
【详解】对于A，若样本数据，，…，的平均数为5，
则样本数据，，…，的平均数为，所以说法错误；
对于B，由抽取的号码可知样本间隔为，则对应的人数为人，
若该班学生人数为60，则样本间隔为，所以说法错误；
对于C，因为，则，
因为，则这批零件不合格，所以说法正确；
对于D，有的把握认为吸烟与患肺病有关系，
是指对样本所得结论“吸烟与患肺癌有关系”有的可能性，所以说法错误；
故选：C
【点睛】本题考查了平均数的定义和性质、系统抽样的特点、正态分布的特征、独立性检验的基本思想，属于基础题.
5. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是（ ）
A. B. 84 C. D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】由于的展开式中各项的二项式系数之和为，可解出n,写出通项公式，可得，代入通项公式，即得解.
【详解】由于的展开式中各项的二项式系数之和为128

的通项为：
令
故：
故选：A
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
6. 已知函数是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增，若成等差数列，且，则下列结论正确的是（ ）
A. ，且
B. ，且
C. ，且
D. ，且
【答案】A
【解析】
【分析】由奇函数性质得，由函数的单调性得，再根据等差数列的性质得，再由函数的单调性与奇偶性得不等关系．
【详解】由已知，．因为，则，从而，即，
故选：A.
7. 在棱长为3的正方体内任取一点，则这个点到该正方体各个面的距离均超过1的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找到距离各面距离超过1的点构成集合为与原正方体共中心棱长为1的正方体内部，由古典概型求解即可.
【详解】因为棱长为3的正方体的体积为27，到该正方体各个面的距离均超过1的部分在棱长为1的正方体内，其体积为1，
所以这个点到该正方体各个面的距离均超过1的概率.
故选：A
8. 已知命题：若且，则；命题：，使，则下列命题中为真命题是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可以判断都是正数，可以运用商比的方法判断，是否正确，利用数形结合可以判断，使是否正确，注意“且”命题的真假判断方法：是见假就假，要真全真.
【详解】命题：,
,故命题是真命题，所以是假命题；
命题：，在同一直角坐标系，画出，可以看出它们之间有交点，故命题是真命题，是假命题，根据“且”命题的真假判断方法：是见假就假，要真全真，可以判断选项A是真命题，故本题选A.
【点睛】本题依托不等式和方程数学背景，考查了“且”命题的真假判断，解题的关键是理解掌握“且”命题的真假判断方法.本题考查了商比法、数形结合思想、转化思想.
9. 已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
换元，转化为线性规划求最值问题，做出可行域，即可求解.
【详解】令，，则，且.
作可行域如图所示，平移直线：，
当直线过点时，直线的纵截距最小，
从而为最大，且.
故选：D.

【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及求线性目标函数的最值，解题的关键是换元转化，属于中档题.
10. 已知函数，给出下列四个结论
①函数的最小正周期是；
②函数在区间上是减函数；
③函数的图象关于直线对称；
④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到.
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，，由此即可判断出答案.
【详解】，
①因为，则最小正周期，结论错误.
②当时，，则在区间上是减函数，结论正确.
③因为为的最大值，则的图象关于直线对称，结论正确.
④设，则，结论错误，
故选：B.
11. 设双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，若双曲线上存在点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A. 6 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断M点位置，过点作轴的垂线，垂足为A，可得，，设，利用勾股定理表示出，可得，结合双曲线定义可得，即可求得a,c的关系，进而求得离心率.
【详解】因为,则， M在双曲线右支上，
过点作轴的垂线，垂足为A，则A为的中点，


所以，，
设，则，故在中，.
在Rt中，，则，即.
因为，则，所以，即，
所以，
故选：C.
12. 对于给定的正整数，设集合，且.记为集合A中的最大元素，当A取遍的所有非空子集时，对应的所有的和记为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定中的子集的个数，表示出，用错位相减法求和．
【详解】对于集合，满足的集合A只有1个，即；满足的集合A有2个，即；满足的集合A有4个，即；
满足的集合A有个，所以.
，
相减得，所以，所以，
故选：D
二､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，分析待求角与已知角的关系，利用诱导公式和二倍角公式直接求解即可.
【详解】，
．
故答案为：.
14. 如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为__．

【答案】
【解析】
【分析】设,由,根据向量加法的几何意义可得:
,结合已知,可求出实数的值.
【详解】设,,
,
已知,所以有.
【点睛】本题考查了平面向量加法的几何意义及平面向量的基本定理.重点是向量加法三角表法则的应用.
15. 《易经》是中国传统文化的精髓，易经八卦分别为乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑，现将乾、坤、巽三卦按任意次序排成一排，则乾不在中间的概率为_________.
【答案】
【解析】
【分析】求出乾、坤、巽三卦按任意次序排成一排的排法种数，再求出乾不在中间的排法种数，借助古典概型计算作答.
【详解】将乾、坤、巽三卦按任意次序排成一排，不同排法有：乾坤巽，乾巽坤，坤乾巽，坤巽乾，巽乾坤，巽坤乾，共有6种，
其中乾不在中间的排法有：乾坤巽，乾巽坤，坤巽乾，巽坤乾，共4种，
所以乾不在中间的概率为.
故答案为：
16. 已知点P为曲线上的动点，O为坐标原点．当最小时，直线OP恰好与曲线相切，则实数a＝___．
【答案】
【解析】
【分析】根据两点间距离公式，结合导数的性质和导数的几何意义进行求解即可.
【详解】设，所以，
设，，
当时，，，所以单调递增，
当时，，，
所以单调递减，
当时，函数有最小值，即有最小值，所以，
此时直线OP方程为，设直线与曲线相切于点，
由，显然在直线上，
则，因此有，
故答案为：
【点睛】关键点睛：构造函数，利用导数判断所构造函数的单调性是解题的关键.
三､解答题（本大题共6大题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，且A为锐角.
（1）求A；
（2）求c及△ABC的面积.
【答案】（1）
（2），面积为
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化为角，根据两角和正弦公式化简即可求解；
（2）由余弦定理求出c，再由三角形面积公式求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
即.
因为，所以.
因为A为锐角，所以.
【小问2详解】
因为，，，
所以，
所以，解得或（舍去），
故△ABC的面积为.
18. 在四棱锥中，底面为直角梯形，分别为的中点，

（1）证明：；
（2）若与所成角为，求平面和平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由和证明平面即可得出；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面和面法向量，利用向量关系即可求出.
【小问1详解】
证明：因为为的中点，所以.
又，且，所以平面，
又因为面，所以；
【小问2详解】
因为底面为直角梯形，，所以四边形为矩形，
所以，
又，平面，
所以四边形是平行四边形，则，
所以，则，
以为原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系：

则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
平面的一个法向量为，
则，
所以平面和平面所成角的余弦值.
19. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
样本号ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
并计算得．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；
（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值．
【小问1详解】
样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值
样本中10棵这种树木的材积量的平均值
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，
平均一棵的材积量为
【小问2详解】


则
【小问3详解】
设该林区这种树木的总材积量的估计值为，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
可得，解之得．
则该林区这种树木的总材积量估计为

20. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且直线与圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）设斜率为且不过原点的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，直线的斜率分别为，若成等比数列，推断是否为定值﹖若是，求出此定值；若不是，说明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，5.
【解析】
【分析】（1）首先根据已知条件得到，，再解方程组即可得到椭圆的标准方程.
（2）首先设直线的方程为，点，代入椭圆得到，结合已知条件和韦达定理得到，再计算，即可得到定值.
【详解】（1）因为抛物线的焦点为，则，
所以，
因为直线与圆相切，
则，即.
解得，
所以椭圆的方程
（2）设直线的方程为，点，
将直线的方程代入椭圆方程，得，
即，
则
由已知，
则，即
所以，即
因为，则，即，
从而当时，，
当时，.
所以


为定值.
【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆题目时，通常把直线与椭圆联立，得到一元二次方程，借助根系关系，并结合已知条件求解.
21. 已知函数，为自然对数的底数.
（1）若存在，使，求实数的取值范围；
（2）若有两个不同零点，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）参变分离可得，设，，依题意，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，即可得解；
（2）依题意只要证，即证，即证，不妨设，根据函数的单调性只需证明，令，利用导数说明函数的单调性，即可证明.
【小问1详解】
解：当时，由，得，即.
设，，据题意，当时，能成立，则.
因为，
则当时，单调递增；当时，单调递减.
所以，故的取值范围是.
【小问2详解】
解：由题设，，即，则，
即.
要证，只要证，即证，即证.
不妨设，由（1）可知，，且，从而.
因为在上单调递减，所以只要证，即证.
设，
则，
所以在上单调递增.因为，则，
即，即，所以原不等式成立.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
22. 已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为ρ= 4cosθ，直线l的参数方程为(t为参数).
（1）求曲线的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）若曲线的参数方程为(α为参数)，曲线上点P的极角为Q为曲线上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用极坐标和直角坐标的转换公式，求得的直角坐标方程；消去直线参数方程中的参数，求得直线的普通方程.
（2）求得点的直角坐标，由此求得点坐标，利用点到直线距离公式列式，结合三角函数最值的求法，求得到直线距离的最大值.
【详解】（1）由得，即.
由消去得.
（2）令，则，所以，对应的直角坐标为，即.依题意，所以，点到直线的距离为
，从而最大值为.
【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数方程化为普通方程，考查点到直线距离的最值的求法，属于中档题.
23.

已知函数，其中为实常数．
（1）若函数的最小值为3，求的值；
（2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）的值为1或-5；（2）的取值范围是．
【解析】
【详解】试题分析：（1）因为，则；令，即可求得的值；（2）当时，由，得，即．
据题意，，解不等式组得的取值范围是．
试题解析：（1）因为，
当且仅当时取等号，则．
令，则或．
（2）当时，，．
由，得，即，即．
据题意，，则，即．
所以的取值范围是．
考点：1、绝对值不等式；2、最值问题