2023届陕西省安康中学高三上学期第一次检测性考试文科数学试题含解析

这是一份2023届陕西省安康中学高三上学期第一次检测性考试文科数学试题含解析，共29页。试卷主要包含了 “”是“直线与直线垂直”的， 已知命题， 已知实数，满足，则的最大值为， 已知函数，给出下列四个结论等内容，欢迎下载使用。
 2020级高三第一次检测性考试
（文科数学）
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数，其中是实数，是虚数单位，若，则复数共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知向量与的夹角是，且，，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“直线与直线垂直”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
5. 若曲线在点外的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数是定义在R上奇函数，且在R上单调递增，若成等差数列，且，则下列结论正确的是（ ）
A. ，且
B. ，且
C. ，且
D. ，且
7. 在棱长为3的正方体内任取一点，则这个点到该正方体各个面的距离均超过1的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知命题：若且，则；命题：，使，则下列命题中为真命题的是
A. B.
C. D.
9. 已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
10. 已知函数，给出下列四个结论
①函数的最小正周期是；
②函数在区间上是减函数；
③函数的图象关于直线对称；
④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到.
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 设双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，若双曲线上存在点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A. 6 B. 3 C. D.
12. 对于给定正整数，设集合，且.记为集合A中的最大元素，当A取遍的所有非空子集时，对应的所有的和记为，则（ ）
A. B.
C. D.
二､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13. 已知，则______．
14. 如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为__．

15. 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
16. 已知函数，若存在实数、（），使得，则实数的取值范围为________.
三､解答题（本大题共6大题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，且A为锐角.
（1）求A；
（2）求c及△ABC的面积.
18. 如图，四面体中，，E为AC的中点．


（1）证明：平面平面ACD；
（2）设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
19. 第130届中国进出口商品交易会(广交会)于2021年10月15日至11月3日举办.其中10月15日～18日的第二期展示中，有两家礼品参展商为了交流感情，进行了如下游戏，在甲参展商的箱子和乙参展商的箱子中分别装有标号为1，2，3的3个形状材质均相同的小礼品盒，现从甲、乙参展商的两个箱子中各取出1个小礼品盒，每个小礼品盒被取出的可能性相等.
（1）求取出的两个小礼品盒标号相同的概率；
（2）若将乙参展商箱子中的小礼品盒全部倒入甲参展商的箱子中，然后从甲参展商的箱子中不放回的随机取出两个小礼品盒，求取出的两个小礼品盒标号相同的概率.
20. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且直线与圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）设斜率为且不过原点的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，直线的斜率分别为，若成等比数列，推断是否为定值﹖若是，求出此定值；若不是，说明理由.
21 已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
22. 已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为ρ= 4cosθ，直线l的参数方程为(t为参数).
（1）求曲线的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）若曲线参数方程为(α为参数)，曲线上点P的极角为Q为曲线上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值.
23.

已知函数，其中为实常数．
（1）若函数的最小值为3，求的值；
（2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围．

2020级高三第一次检测性考试
（文科数学）
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数，其中是实数，是虚数单位，若，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由复数的相等求出值，由共轭复数定义得共轭复数，然后由复数的几何意义得其对应点的坐标，从而其所在象限．
【详解】由已知，，则，且，即.
所以，所对应的点位于第四象限，
故选：D．
2. 已知向量与的夹角是，且，，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据，由求解.
【详解】因为向量与的夹角是，且，，
所以，
，
解得 .
故选：B
3. “”是“直线与直线垂直”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由直线与直线垂直求出的值，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】直线与直线垂直,
则，解得：或，
所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.
故选：B.
4. 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，，利用抛物线的定义直接求出的值，进而得到的值，即可求解
【详解】如图所示，设，，
因为，所以点到准线的距离为3，
所以，得，
因为，
所以，
所以，得，
所以的值为，
故选：C

5. 若曲线在点外的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导得到切线的斜率为，解方程即得解.
【详解】解：由题得，所以切线的斜率为，
因为切线与直线垂直，所以
故选：B
6. 已知函数是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增，若成等差数列，且，则下列结论正确的是（ ）
A. ，且
B. ，且
C. ，且
D. ，且
【答案】A
【解析】
【分析】由奇函数性质得，由函数的单调性得，再根据等差数列的性质得，再由函数的单调性与奇偶性得不等关系．
【详解】由已知，．因为，则，从而，即，
故选：A.
7. 在棱长为3的正方体内任取一点，则这个点到该正方体各个面的距离均超过1的概率为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找到距离各面距离超过1的点构成集合为与原正方体共中心棱长为1的正方体内部，由古典概型求解即可.
【详解】因为棱长为3的正方体的体积为27，到该正方体各个面的距离均超过1的部分在棱长为1的正方体内，其体积为1，
所以这个点到该正方体各个面的距离均超过1的概率.
故选：A
8. 已知命题：若且，则；命题：，使，则下列命题中为真命题的是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可以判断都是正数，可以运用商比的方法判断，是否正确，利用数形结合可以判断，使是否正确，注意“且”命题的真假判断方法：是见假就假，要真全真.
【详解】命题：,
,故命题是真命题，所以是假命题；
命题：，在同一直角坐标系，画出，可以看出它们之间有交点，故命题是真命题，是假命题，根据“且”命题的真假判断方法：是见假就假，要真全真，可以判断选项A是真命题，故本题选A.
【点睛】本题依托不等式和方程的数学背景，考查了“且”命题的真假判断，解题的关键是理解掌握“且”命题的真假判断方法.本题考查了商比法、数形结合思想、转化思想.
9. 已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
换元，转化为线性规划求最值问题，做出可行域，即可求解.
【详解】令，，则，且.
作可行域如图所示，平移直线：，
当直线过点时，直线的纵截距最小，
从而为最大，且.
故选：D.

【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及求线性目标函数的最值，解题的关键是换元转化，属于中档题.
10. 已知函数，给出下列四个结论
①函数的最小正周期是；
②函数在区间上是减函数；
③函数的图象关于直线对称；
④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到.
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，，由此即可判断出答案.
【详解】，
①因为，则的最小正周期，结论错误.
②当时，，则在区间上是减函数，结论正确.
③因为为的最大值，则的图象关于直线对称，结论正确.
④设，则，结论错误，
故选：B.
11. 设双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，若双曲线上存在点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A. 6 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断M点位置，过点作轴的垂线，垂足为A，可得，，设，利用勾股定理表示出，可得，结合双曲线定义可得，即可求得a,c的关系，进而求得离心率.
【详解】因为,则， M在双曲线右支上，
过点作轴的垂线，垂足为A，则A为的中点，


所以，，
设，则，故在中，.
在Rt中，，则，即.
因为，则，所以，即，
所以，
故选：C.
12. 对于给定的正整数，设集合，且.记为集合A中的最大元素，当A取遍的所有非空子集时，对应的所有的和记为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定中的子集的个数，表示出，用错位相减法求和．
【详解】对于集合，满足的集合A只有1个，即；满足的集合A有2个，即；满足的集合A有4个，即；
满足的集合A有个，所以.
，
相减得，所以，所以，
故选：D
二､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，分析待求角与已知角的关系，利用诱导公式和二倍角公式直接求解即可.
【详解】，
．
故答案为：.
14. 如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为__．

【答案】
【解析】
【分析】设,由,根据向量加法的几何意义可得:
,结合已知,可求出实数的值.
【详解】设,,
,
已知,所以有.
【点睛】本题考查了平面向量加法的几何意义及平面向量的基本定理.重点是向量加法三角表法则的应用.
15. 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【答案】2
【解析】
【分析】转化条件为，即可得解.
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.

16. 已知函数，若存在实数、（），使得，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】首先令，转化为，根据，可知转化为和的交点个数求参数的取值范围.
【详解】当，即
即 ，
转化为与有两个交点，
如图，

由图象可知当时图象有两个交点.
故答案为.
【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数取值范围，意在考查数形结合分析问题的能力，一般判断函数零点个数或是根据零点个数求参数取值范围，都可以转化成两个函数的交点个数.
三､解答题（本大题共6大题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，且A为锐角.
（1）求A；
（2）求c及△ABC的面积.
【答案】（1）
（2），面积为
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化为角，根据两角和正弦公式化简即可求解；
（2）由余弦定理求出c，再由三角形面积公式求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
即.
因，所以.
因为A为锐角，所以.
【小问2详解】
因为，，，
所以，
所以，解得或（舍去），
故△ABC的面积为.
18. 如图，四面体中，，E为AC的中点．


（1）证明：平面平面ACD；
（2）设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.
（2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从而求得三棱锥的体积.
【小问1详解】
由于，是的中点，所以.
由于，所以，
所以，故，
由于，平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
【小问2详解】
依题意，，三角形是等边三角形，
所以，
由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.
，所以，
由于，平面，所以平面.
由于，所以，
由于，所以，
所以，所以，
由于，所以当最短时，三角形的面积最小值.
过作，垂足为，
在中，，解得，
所以，
所以.
过作，垂足为，则，所以平面，且，
所以,
所以.


19. 第130届中国进出口商品交易会(广交会)于2021年10月15日至11月3日举办.其中10月15日～18日的第二期展示中，有两家礼品参展商为了交流感情，进行了如下游戏，在甲参展商的箱子和乙参展商的箱子中分别装有标号为1，2，3的3个形状材质均相同的小礼品盒，现从甲、乙参展商的两个箱子中各取出1个小礼品盒，每个小礼品盒被取出的可能性相等.
（1）求取出的两个小礼品盒标号相同的概率；
（2）若将乙参展商箱子中的小礼品盒全部倒入甲参展商的箱子中，然后从甲参展商的箱子中不放回的随机取出两个小礼品盒，求取出的两个小礼品盒标号相同的概率.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)列举出从两个箱子中各取一个小礼品盒的所有结果，小礼品盒标号相同的结果，再利用古典概型公式计算即得.
(2)将两个箱子中小礼品盒分别编号，再列举出取出两个小礼品盒的所有结果，小礼品盒标号相同的结果，利用古典概型公式计算即得.
【小问1详解】
依题意，从两个箱子中各取一个小礼品盒的基本事件有：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共9种，
设事件“取出的两个小礼品盒标号相同”，则事件A包含的基本事件有(1，1)，(2，2)，(3，3)，共3种，
于是得，
所以取出的两个小礼品盒标号相同的概率.
【小问2详解】
分别用，，和，，表示甲、乙两参展商箱子中的小礼品盒，
取出两个小礼品盒的基本事件有：，，，，，，
，，，，，，，，，共15种，
设事件“取出的两个小礼品盒标号相同”，则事件B包含的基本事件有，，，共3种，
于得，
所以取出的两个小礼品盒标号相同的概率.
20. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且直线与圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）设斜率为且不过原点的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，直线的斜率分别为，若成等比数列，推断是否为定值﹖若是，求出此定值；若不是，说明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，5.
【解析】
【分析】（1）首先根据已知条件得到，，再解方程组即可得到椭圆的标准方程.
（2）首先设直线的方程为，点，代入椭圆得到，结合已知条件和韦达定理得到，再计算，即可得到定值.
【详解】（1）因为抛物线的焦点为，则，
所以，
因为直线与圆相切，
则，即.
解得，
所以椭圆的方程
（2）设直线的方程为，点，
将直线的方程代入椭圆方程，得，
即，
则
由已知，
则，即
所以，即
因为，则，即，
从而当时，，
当时，.
所以


为定值.
【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆题目时，通常把直线与椭圆联立，得到一元二次方程，借助根系关系，并结合已知条件求解.
21. 已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，在上，是减函数,当时，在上，是减函数,在上，是增函数；（2）
【解析】
【分析】求出函数的定义域，函数的导数，通过a的范围讨论，判断函数的单调性即可．（2）
对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，转化为在（0，+∞）上f（x）min＞0，利用函数的导数求解函数的最值即可．
【详解】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）
又
当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数
当a＞0时，由f′（x）=0得：或（舍）
所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是减函数
在上，f′（x）＞0，f（x）是增函数
（2）对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0
由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数，
又f（1）=2a﹣2＜0，不合题意
当a＞0时，当时，f（x）取得极小值也是最小值，
所以：
令（a＞0）
所以：
在（0，+∞）上，u′（a）＞0，u（a）是增函数又u（1）=0
所以：要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1，
故：a的取值范围为[1，+∞）
【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
22. 已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为ρ= 4cosθ，直线l的参数方程为(t为参数).
（1）求曲线的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）若曲线的参数方程为(α为参数)，曲线上点P的极角为Q为曲线上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用极坐标和直角坐标的转换公式，求得的直角坐标方程；消去直线参数方程中的参数，求得直线的普通方程.
（2）求得点的直角坐标，由此求得点坐标，利用点到直线距离公式列式，结合三角函数最值的求法，求得到直线距离的最大值.
【详解】（1）由得，即.
由消去得.
（2）令，则，所以，对应的直角坐标为，即.依题意，所以，点到直线的距离为
，从而最大值为.
【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数方程化为普通方程，考查点到直线距离的最值的求法，属于中档题.
23.

已知函数，其中实常数．
（1）若函数的最小值为3，求的值；
（2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）的值为1或-5；（2）的取值范围是．
【解析】
【详解】试题分析：（1）因为，则；令，即可求得的值；（2）当时，由，得，即．
据题意，，解不等式组得的取值范围是．
试题解析：（1）因为，
当且仅当时取等号，则．
令，则或．
（2）当时，，．
由，得，即，即．
据题意，，则，即．
所以的取值范围是．
考点：1、绝对值不等式；2、最值问题