2023届重庆市高三上学期第一次质量检测数学试题含解析

2023届重庆市高三上学期第一次质量检测数学试题

一、单选题

1．已知数列为等差数列，，则（       ）

A．9 B．12 C．15 D．16

【答案】A

【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.

【详解】解：在等差数列中，所以，

所以；

故选：A

2．设集合，，且，则集合（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先解出集合A、B，再求集合C.

【详解】，

.

因为且，

所以.

故选：B

3．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】对于A.定义域不关于原点对称，据此判断A不对；

对于B.满足偶函数定义，当时，根据导函数符号判断单调性即可；

对于C.满足偶函数定义，且在区间上单调递增，所以此选项不对；

对于D.满足偶函数定义，且当时，在上单调递减，所以此选项正确.

【详解】对于A. ，定义域为，所以为非奇非偶函数，所以此选项不对；

对于B. ，定义域为R，，所以，所以是偶函数，，当时，，所以在区间上单调递增，所以此选项不对；

对于C. ，定义域为R，，所以，所以是偶函数，且在区间上单调递增，所以此选项不对；

对于D. ，定义域为，，所以，所以是偶函数，当时，在上单调递减，所以此选项正确.

故选：D.

4．已知，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知，将变为，根据指数函数的单调性，即可比较，的大小。然后将，与1进行比较，再将1变为，即可比较1与的大小，最终可以判断，，的大小.

【详解】由已知，，

所以.

故选：B.

5．用1，2，3…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有（       ）

A．600个 B．540个 C．480个 D．420个

【答案】A

【分析】依题意要使各位数字之和为奇数则可能是个奇数个偶数，或个偶数个奇数，分两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得.

【详解】解：依题意要使各位数字之和为奇数则可能是个奇数个偶数，或个偶数个奇数，

若为个奇数个偶数，则偶数一定排在个位，从个偶数中选一个排在个位有种，

再在个奇数中选出个排在其余三个数位，有种排法，故有个数字；

若为个偶数个奇数，则奇数不排在个位，从个奇数中选一个排在前三位有种，

再在个偶数中选出个排在其余三个数位，有种排法，故有个数字；

综上可得一共有个数字；

故选：A

6．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复合函数的单调性列不等式组求解的范围，再求解使其成立的一个充分不必要条件.

【详解】令，，

由函数在上单调递减，

得，

所以使成立的一个充分不必要条件为.

故选：C

7．已知，，且，则的最小值为（       ）

A．10 B．9 C． D．

【答案】C

【分析】由已知，可设，，利用换底公式表示出，带入中，得到m，n的等量关系，然后利用“1”的代换借助基本不等式即可求解最值.

【详解】由已知，令，，

所以，，代入得：，

因为，，

所以

.

当且仅当时，即时等号成立.

的最小值为.

故选：C.

8．定义在上的函数满足，则函数的零点个数为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】根据已知可求得，从而可求得函数的解析式，令，可得，即，构造函数并画出函数图象，结合图象即可得解.

【详解】解：因为，

所以，

所以，

所以，

由，

得，即，

即，

如图，画出函数和的图象，

当时，，

由图可知函数和的图象右4个交点，

即函数有4个零点.

故选：B.

【点睛】本题考查了函数解析式的求法，考查了利用数形结合思想求函数的零点的个数，考查了数形结合思想和转化思想，有一定的难度.

二、多选题

9．已知实数m，n满足，则下列结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】对于A，利用不等式的性质判断，对于B，举例判断，对于C，利用对数函数的性质判断，对于D，利用作差法判断.

【详解】对于A，因为，所以在上为增函数，所以，所以A正确，

对于B，若，则，，此时，所以B错误，

对于C，因为，所以，所以函数在上为增函数，因为，所以，所以C正确，

对于D，因为，所以，所以，所以，所以D正确，

故选：ACD

10．设函数，，，则下列函数中满足，与值域相同的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】分别求出选项中与的值域即可得到答案.

【详解】对选项A，，，，

故A错误.

对选项B，，，，

故B正确.

对选项C，，，，故C正确.

对选项D，，，

，

故D错误.

故选：BC

11．已知函数，且，则的大致图象可以是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】取特殊值判断A、B、D，根据C的图象得到且，即可退出矛盾，即可判断.

【详解】解：令、、此时，定义域为，且，即函数为偶函数，函数图象关于轴对称，

当时，当或时，故A满足题意；

令、此时，定义域为，且，即函数为奇函数，函数图象关于原点对称，

当或时，当或时，故B符合题意，

对于C：函数的定义域为，故，且，即，此时，则，

所以函数为奇函数，函数图象关于原点对称，故矛盾，即C错误；

令、、此时，当时，所以，

当时，所以，故D符合题意；

故选：ABD

12．设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（       ）

A． B．函数的图象关于对称

C． D．

【答案】AD

【分析】由为奇函数可得，由取导数可得，结合条件，判断B，再由条件判断函数，的周期，由此计算，，判断C，D.

【详解】因为为奇函数，所以，

取可得，A对，

因为，所以

所以，又

，故，

所以函数的图象关于点对称，B错，

因为，所以

所以，为常数，

因为，所以，

所以，取可得，

所以，又，

所以，所以，

所以，故函数为周期为4的函数，

因为，所以，，

所以，

所以

，

所以，

由已知无法确定的值，故的值不一定为0，C错；

因为，

所以，，

所以，故函数为周期为4的函数，

所以函数为周期为4的函数，

又，，，，

所以，

所以，D对，

故选：AD.

【点睛】本题解决的关键在于根据条件判断函数的周期性，对称性，并结合函数性质求函数值得和.

三、填空题

13．设函数的导函数为，且，则______.

【答案】

【分析】求出函数的导函数，再令代入计算可得.

【详解】解：因为，所以，

所以，所以.

故答案为：

14．已知函数，则______.

【答案】

【分析】根据分段函数解析式及对数的运算法则计算可得.

【详解】解：因为，所以，

所以；

故答案为：

15．已知双曲线的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P在双曲线上，若，，则此双曲线的渐近线方程为______.

【答案】

【分析】由条件可得，由条件结合定义可求，，由此可得的关系，由此可得的关系，再求双曲线渐近线方程.

【详解】因为，所以，

所以，，又，

所以，所以，

所以，

又，，

所以，，

所以，所以，

因为，所以，

所以，

所以双曲线的渐近线方程为，

故答案为：.

16．已知，是曲线的两条倾斜角互补的切线，且，分别交y轴于点A和点B，O为坐标原点，若，则实数a的最小值是______.

【答案】

【分析】由函数解析式，求导，写出切线方程，并求与纵轴的交点的坐标，结合基本不等式可得答案.

【详解】设切线，的切点坐标为，，

由函数，求导可得，

由题意可知，，即，

可得，，

令，，

故，同理可得，

则，由于，则等号不能取，

即，解得，即的最小值为.

故答案为.

四、解答题

17．已知数列满足：，，.

(1)设，求数列的通项公式；

(2)设，，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）依题意可得，即可得到，从而得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式；

（2）由（1）可得，即可得到，再利用等差数列前项和公式计算可得.

【详解】(1)解：因为，，所以，

又，所以，，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，

所以；

(2)解：由（1）可得，所以，

所以，

所以.

18．某大型企业组织全体员工参加体检，为了解员工的健康状况，企业相关工作人员从中随机抽取了40人的体检报告进行相关指标的分析，按体重“超标”和“不超标”制列联表如下：

附：，.

(1)完成题中的列联表，并判断能否在犯错的概率不超过0.001的前提下认为该企业员工“体重是否超标与性别有关”？

(2)若以样本估计总体，用频率作为相应事件的概率，现从该大型企业的男、女员工中各随机抽取一名员工的体检报告，求抽到的两人中恰有一人体重超标的概率.

【答案】(1)列联表见解析，能

(2)

【分析】（1）根据题干所给数据完善列联表，再计算出卡方，即可判断；

（2）首先求出男、女生体重超标与不超标的概率，再根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.

【详解】(1)解：依题意可得列联表如下：

所以，

所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为“体重是否超标与性别有关”．

(2)解：由题知，从男员工中随机抽取一人，体重超标的概率为，不超标的概率为；

从女员工中随机抽取一人，体重超标的概率为，不超标的概率为；

所以所求概率.

19．如图，平面ABCD，，，四边形ABCD为菱形.

(1)证明：平面EBD；

(2)若直线AB与平面EBD所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.

【答案】(1)见解析

(2)3

【分析】（1）设交于点，连接，根据线面垂直的性质可得，，证明，从而可得，进而可证，再根据线面垂直的判定定理即可得证；

（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法结合线AB与平面EBD所成角的正弦值求出，再利用向量法求出点到平面的距离，再根据棱锥的体积公式即可得解.

【详解】(1)证明：设交于点，连接，

因为，所以四点共面，

因为平面ABCD，所以平面ABCD，

因为平面ABCD，

所以，，

又四边形ABCD为菱形，

所以，，

因为，所以平面ACFE,所以，

又，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

又平面EBD，

所以平面EBD；

(2)解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，

设，

则，，

由（1）知是平面的一个法向量，

则，解得，

则，

则点到平面的距离，

又，则，

所以三棱锥的体积为.

20．甲、乙、丙三人进行围棋比赛，规则如下：甲、乙进行第一局比赛，丙旁观；每局比赛的胜者与旁观者进行下一局比赛，负者下一局旁观；直至有人累计胜两局，则比赛结束，且先累计胜两局者为本次比赛获胜者.已知甲乙对弈，每局双方获胜的概率均为0.5，甲丙对弈、乙丙对弈，每局丙获胜的概率均为0.4、对方获胜的概率均为0.6，各局比赛结果相互独立.

(1)设本次比赛共进行了X局，求X的分布列与数学期望；

(2)若比赛结束时共进行了4局对弈，求丙是本次比赛获胜者的概率.

【答案】(1)分布列见解析，

(2)0

【分析】（1）根据题意找到可能的取值及每个取值包含的情况，利用相互独立事件的概率公式分别求其概率，即可得分布列和计算数学期望；

（2）列出比赛结束时共进行了4局对弈包含的情况，可得出丙是本次比赛获胜者的概率.

【详解】(1)解：由题可知的可能取值为2，3，4.

设表示“甲胜乙”，表示“乙胜甲”，表示“甲胜丙”，表示“丙胜甲”，表示“乙胜丙”，表示“丙胜乙”.

包含“甲胜，乙胜”，,

包含“丙胜，丙胜”，,

，

的分布列为

的数学期望为；

(2)若比赛结束时共进行了4局对弈，由（1）知，可能的情况有：

甲胜，乙胜，甲胜，乙胜，

所以对弈4局比赛结束，丙是本次比赛获胜者的概率为0.

21．已知抛物线的焦点为F，斜率不为0的直线l与抛物线C相切，切点为A，当l的斜率为2时，.

(1)求p的值；

(2)平行于l的直线交抛物线C于B，D两点，且，点F到直线BD与到直线l的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由.

【答案】(1)

(2)是定值，为定值3

【分析】（1）由，得，根据导数的几何意义求得点的横坐标，即可得出其纵坐标，再根据焦半径公式即可得解；

（2）由（1）得，设直线的方程为，，由得，从而可得的关系，联立，利用韦达定理求得，从而可求得之间的关系，再根据点到直线得距离公式即可得出结论.

【详解】(1)解：由，得，

则，

令，则，

即点的横坐标为，所以其纵坐标也为，

故，所以；

(2)解：由（1）得，

设直线的方程为，，

由得，

即，

即，

由（1）知，

联立，消得，

则，

所以，所以，

，

设到直线和直线的距离分别为，

则由得，，

所以点F到直线BD与到直线l的距离之比是定值，为定值3.

【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了抛物线的焦半径公式，考查了直线与抛物线的位置关系，还考查了抛物线中的定值问题，计算量较大，有一定的难度.

22．已知函数，.

(1)若在区间上不单调，求a的取值范围；

(2)若不等式对恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，根据导函数的符号求出函数的单调区间，再根据题意即可得解；

（2）分和两种情况讨论，当时，根据函数的单调性求出函数在上的最小值，求得函数的符号，去绝对值符号，再分析即可求出此时的范围，当时，由（1）得出函数得单调区间，去绝对值符号，再分析即可求出此时的范围，综合即可得出答案.

【详解】(1)解：，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

因为在区间上不单调，

所以；

(2)解：①当时，在上递增，

所以，

即对恒成立，

令，

则，

令，

则，

令，

则，

所以函数在上递增，

所以，即，

所以函数在上递增，

所以，即，

若时，则，

所以函数在在上递增，

所以，符合题意，

若，则，

又当时，，

所以存在，使得，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，

所以，不合题意；

②当时，由（1）得，函数在上递减，在上递增，

由，当时，，

知存在，使得，

则当时，，当时，，

当时，

不等式对恒成立，

即不等式对恒成立，

即恒成立，

由，

可得，

令，则，

所以函数在上递增，

所以，即，

所以，

当时，

不等式对恒成立，

即不等式对恒成立，

即恒成立，

因为，

所以恒成立，

综上所述，.

【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及利用导数研究不等式恒成立问题，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论思想及放缩思想，考查了学生的数据分析能力及推理能力，难度很大.