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    2023届山西省高三上学期第一次摸底数学试题含解析

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    2023届山西省高三上学期第一次摸底数学试题含解析

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    这是一份2023届山西省高三上学期第一次摸底数学试题含解析,共20页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2023届山西省高三上学期第一次摸底数学试题 一、单选题1,则       A B C D【答案】A【分析】由根式的性质求定义域得集合,由二次函数性质求值域得集合,应用集合交运算求结果.【详解】由题设所以.故选:A2.已知复数在复平面上对应的点分别为,若四边形为平行四边形(为复平面的坐标原点),则复数的模为(       A B17 C D15【答案】A【分析】,结合已知有,列方程求参数ab,进而求复数的模.【详解】,则,而由四边形为平行四边形(为复平面的坐标原点),所以,即,则所以.故选:A3.已知平面向量,满足的夹角为方向上的投影向量为(       A B C D1【答案】C【分析】根据向量数量积、投影向量的定义求方向上的投影向量.【详解】方向上的投影向量为.故选:C4.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为75°30°,若河流的宽度60,则此时气球的高度等于(        A B C D【答案】B【分析】中,利用正弦定理求出,再根据气球的高度等于即可得解.【详解】解:在中,,,因为所以所以气球的高度为.故选:B.5.从属于区间的整数中任取两个数,则至少有一个数是合数的概率为(       A B C D【答案】B【分析】根据至少一个合数分两类考虑:只有一个合数和两个都是合数,即可根据组合进行求解.【详解】区间内的整数共有9个,则合数有468910,故至少有一个是合数的概率为故选:B6.函数R上不单调,则的取值范围是(       A B C D【答案】D【分析】求导,根据定义域上有正有负及三角函数的性质确定参数范围.【详解】,而要使R上不单调,则 .故选:D7.水平放置的等边三角形边长为,动点位于该平面上方,三棱锥的体积为,且三棱锥的外接球球心到底面的距离为2,则动点的轨迹周长为(       A B C D【答案】C【分析】根据三棱锥的外接球球心到底面的距离为2的外接圆的半径,求得外接球的半径,再根据三棱锥的体积为,得到点到面的距离,从而得到动点的轨迹是一个截面圆的圆周,求解截面圆的半径及周长即可.【详解】解:设三棱锥的高为因为三棱锥的体积为所以解得的外接圆的半径为因为三棱锥的外接球球心到底面的距离为2所以外接球的半径为因为点到面的距离为4所以动点的轨迹是一个截面圆的圆周,且球心到该截面的距离为所以截面圆的半径为所以动点的轨迹长度为.故选:C.8.在平面直角坐标系中,已知为圆上两动点,点,且,则的最大值为(       A B C D【答案】D【分析】中点,根据直角三角形性质,圆中弦长、弦心距、半径的几何关系求得轨迹为圆,求定点到所得圆上点距离的最大值,结合即可求结果.【详解】,要使最大只需中点距离最大,,则,整理得所以轨迹是以为圆心,为半径的圆,又,即在圆内,,而,故.故选:D【点睛】关键点点睛:利用圆、直角三角形的性质求中点的轨迹,再求定点到圆上点距离最值即可. 二、多选题9.已知变量之间的经验回归方程为,且变量之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法正确的是(       23452.534.5 AB.由表格数据知,该经验回归直线必过C.变量呈正相关D.可预测当时,约为9.05【答案】ABC【分析】由平均值求法及样本中心在回归直线上可得,即可判断AB;根据回归直线系数判断C;应用回归直线估计对应,判断D.【详解】由题设,,则,故,则A正确;由上知:样本中心为,回归直线必过该点,B正确;由回归方程知:呈正相关,C正确;D错误.故选:ABC10.如图,在所有棱长均为2的正三棱柱中,点是棱的中点,,过点作平面与平面平行,则(       A.当时,截正三棱柱的截面面积为B.当时,截正三棱柱的截面面积为C截正三棱柱的截面为三角形,则的取值范围为D.若,则截正三棱柱的截面为四边形【答案】ABD【分析】利用平面的基本性质画出不同对应的截面图形,结合已知求它们的面积判断各选项正误.【详解】A时,过作与面平行的平面,如下图面为中点,所以上的高为,此时截面面积为,正确;B时,过作与面平行的平面,如下图面为中点,所以,则,故,此时截面面积为,正确;C:由B知:时,平面的截面也为三角形,错误;D:若中点,当上(不含端点)时,即利用平面的基本性质画出平面的截面如下图示:结合上述分析:过程中,截面为四边形,正确;故选:ABD11.已知函数,则(       A.存在,使得为奇函数B.任意,使得直线是曲线的对称轴C最小正周期与有关D最小值为【答案】ABC【分析】举例,如,即可判断A;判断是否相等,即可判断B;距离如,即可判断C;令,则,利用换元法结合二次函数的性质即可判断D.【详解】解:对于A,当时,因为,所以函数为奇函数,所以存在,使得为奇函数,故A正确;对于B因为所以函数关于对称,即任意,使得直线是曲线的对称轴,故B正确;对于C,当时,最小正周期时,因为,所以不是函数的周期,所以最小正周期与有关,故C正确;对于D,令,则则有,即时,,即时,,即时,所以,故D错误.故选:ABC.12.已知函数,则(       A.当时,有且仅有一个零点B.当时,有且仅有一个极值点C.若为单调递减函数,则D.若轴相切,则【答案】AD【分析】根据零点的定义可得的零点即方程的根,利用导数研究函数的性质,结合图像判断A,由导数的几何意义判断D,根据导数与函数的单调性的关系求的范围,由此判断C,结合单调性与极值的定义判断B.【详解】可得,化简可得,则,函数单调递减,,函数单调递增,,由此可得函数图像如下:所以当时,有且仅有一个零点所以当时,有且仅有一个零点,A对,函数的定义域为轴相切,设轴相切相切与点所以所以,故D正确;为单调递减函数,则上恒成立,所以上恒成立,,则时,,函数单调递减,时,,函数单调递增,,当时,由此可得函数的图像如下:所以若为单调递减函数,则C错,所以当时,函数上没有极值点,B错,故选:AD.【点睛】本题为函数综合性问题,涉及函数的零点,导数的几何意义,根据函数的单调性求参数,函数的极值,考查的知识点较多,要求具有扎实的基础知识,较强的解题能力. 三、填空题13.二项式的展开式中含项的系数为24,则______【答案】【分析】写出二项式展开式的通项公式,根据已知项系数求参数a即可.【详解】由二项式展开式通项为,且项的系数为24所以,可得.故答案为:14三个数中最小的是______【答案】【分析】将问题转化为比较的大小关系,应用作差法、对数的运算及对数函数性质比较大小即可.【详解】所以只需比较的大小关系即可,,又综上,最小数为,即最小.故答案为:15.已知抛物线,过点和点做两条斜率为2的平行线,分别与抛物线相交于点和点,得到一个梯形.若存在实数,使得,则实数的取值范围为______【答案】【分析】写出直线的方程,联立抛物线方程,利用弦长公式求出,由点到直线的距离公式求出点到直线的距离,求出梯形的面积,得到的关系式,结合的范围计算即可.【详解】,代入可得:所以所以到直线的距离为同理可求得:故答案为: 四、双空题16.等差数列的前项和,则数列的通项公式为______的最小值为______【答案】          【分析】根据的关系求出数列的通项,再根据数列是等差数列,求出,即可求得数列的通项,再利用二次函数的性质即可求出的最小值.【详解】解:由时,时,又因为数列是等差数列,所以,所以所以所以当时,取得最小值.故答案为:. 五、解答题17.已知数列中,是公差为2的等差数列.(1)的通项公式;(2),求数列的前项和【答案】(1)(2)【分析】1)根据等差数列的定义求出,从而可求出的通项,再利用累加法即可求出答案;2)利用裂项相消法求解即可.【详解】(1)解:因为是公差为2的等差数列,所以,所以所以累加得所以(2)解:.18.在中,内角所对的边分别为上一点,(1),求(2),当面积取最小值时,求的值.【答案】(1)(2).【分析】1)利用正余弦定理及三角形内角性质求2求得关于参数的表达式,再应用三角形面积公式及二次函数性质确定面积最小对应的参数值,最后应用余弦定理求的值.【详解】(1),又所以,即,即,则,故.(2)由题设,所以,而所以时,有最小值,此时所以.19.四棱锥中,四边形为梯形,其中,平面平面(1)证明:(2),且与平面所成角的正弦值为,点在线段上且满足,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【分析】1)由题设可得,利用面面垂直的性质可得,再由线面垂直的性质证2)若中点,连接,首先求证两两垂直,构建空间直角坐标系,确定相关点坐标并令,根据线面角及向量夹角的坐标表示求参数m,进而可得,再求面、面的法向量,应用向量夹角的坐标运算求二面角余弦值.【详解】(1)由题设,为等边三角形,则又四边形为梯形,,则中,,即,面,则,故.(2)中点,,则,面,则连接,则,且,故综上,两两垂直,构建以为原点,xyz轴正方向的空间直角坐标系,所以,若,则而面的一个法向量为所以,可得,故所以是面的一个法向量,则是面的一个法向量,则,取所以由图知:锐二面角的余弦值.20.高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关.为了解高中生的数学阅读现状,调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷,在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下:时间(小时/周)0人数20403010 (1)为了解学生数学阅读时间偏少的原因,采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随机抽取10名学生,再从这10人中随机抽取2名进行详细调查,求这2名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率;(2)用频率估计概率,从该校所有学生中随机抽取10名学生,用表示这10名学生中恰有名学生数学阅读时间在小时的概率,求取最大值时对应的的值.【答案】(1)(2)4【分析】(1)根据表中数据,即可知10人有4人阅读时间大于0.5,由组合即可求解概率,(2)将频率视为概率则,利用二项分布概率公式及不等式法求取得最大时对应的值.【详解】(1)抽取的10人中,周阅读时间大于0.5小时的有4人,小于等于0.5小时的有6人, 故恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率为(2)周阅读时间在小时的频率为故概率为,所以得:,化简得解得,又,故21.已知椭圆的左、右焦点分别是,点,若的内切圆的半径与外接圆的半径的比是(1)求椭圆的方程;(2)的左焦点作弦,这两条弦的中点分别为,若,证明:直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析.【分析】1)由内切圆半径与三角形面积关系、外接圆半径与弦长和弦心距关系列方程组求椭圆参数,即可得椭圆方程;2)讨论直线斜率都存在或一条斜率不存在,设直线方程并联立椭圆,应用韦达定理用表示出坐标,进而写出直线方程,即可证是否过定点.【详解】(1)由题设,又若内切圆半径为,则外接圆半径为所以,即,而,即综上,,即,可得所以,则.(2)当直线斜率都存在时,令,联立整理得:,且所以,则,故,即,故,联立所以,有,则,故所以,则,整理得所以过定点当一条直线斜率不存在时对应,故即为x轴,也过定点综上,直线过定点.22.已知函数(1)的单调区间;(2)证明:有且仅有两个实根,且两个实根互为相反数;(3)证明:存在两条直线,使既是曲线的切线,也是曲线的切线,且斜率之积为1【答案】(1)递增区间为(2)证明见解析;(3)证明见解析.【分析】1)利用导数研究的区间单调性即可,注意定义域范围;2)将问题转化为上有两个零点且互为相反数,利用导数研究其零点分布,并判断零点的数量关系即可;3)设与都相切的直线为,切点分别为,利用导数几何意义及斜率公式可得,进一步整理得,构造,利用导数研究其零点个数及其数量关系即可.【详解】(1)由题设时,,故递增,时,,故递增,综上,递增区间为.(2)要证有且仅有两实根,即证上有两个零点,而所以,故递减;递增;所以存在使综上,所以上递减,上递增,所以上各有一个零点,为所以,即,故所以也是的零点,即综上,有且仅有两个实根,且两个实根互为相反数;(3)设与都相切的直线为,切点分别为,则,且所以,将代入得:代入得:,整理得:,则所以上递增,而故存在,则所以上递减,上递增,趋向于0趋向于正无穷,故趋向于正无穷,而所以存在两个零点,即,故所以,即也是的一个零点,则所以综上,存在两条直线,且斜率之积为1,得证.【点睛】关键点点睛:第二问,转化为求证上有两个零点,并判断零点的数量关系;第三问,设切线,利用导数几何意义、斜率公式求得,构造函数研究其零点个数和数量关系即可. 

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