2023届内蒙古包头市高三上学期开学调研考试数学（理）试题含解析

这是一份2023届内蒙古包头市高三上学期开学调研考试数学（理）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届内蒙古包头市高三上学期开学调研考试数学（理）试题 一、单选题1．设，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先用复数的四则运算求出复数，再写出其共轭复数即可.【详解】因为，所以.故选：B.2．已知集合，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先用列举法把集合表示出来，再求集合与的并集.【详解】因为，，所以.故选:D.3．函数的图象大致为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】判断函数为奇函数，排除CD；根据特殊值的大小，排除A选项.【详解】定义域为，又，故为奇函数，排除CD；又，，显然，故A错误，B正确.故选：B4．已知向量满足，它们的夹角为，则（       ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根据向量的数量积的坐标公式，准确运算，即可求解.【详解】由题意，向量满足，它们的夹角为，则.故选：C.5．从2名女同学和3名男同学中任选2人参加志愿者服务，则选中的2人恰好是男女同学各1名的概率为（       ）A．0.4 B．0.3 C．0.6 D．0.5【答案】C【分析】选中的2人恰好是男女同学各1名的数量为，则所求概率为【详解】由题，选中的2人恰好是男女同学各1名的概率为.故选：C6．双曲线的一条近线方程为，则其离心率为（       ）A．3 B． C． D．5【答案】A【分析】由渐近线方程得，再由计算即可【详解】∵渐近线方程为，即，故.故选：A7．在中，，则（       ）A． B．5 C． D．6【答案】B【分析】由二倍角公式求得，再用余弦定理即可求得AC.【详解】，，而，，在中，由余弦定理得：，代入数据得：，解得：或（舍）故选：B.8．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（       ） A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】模拟执行程序，依次计算可得.【详解】当输入的时，S=0，K=1，K6；S=1，，K=2，K6；S=，，K=3，K6；S=2，，K=4，K6；S=，，K=5，K6；S=3，，K=6，K6；S=，，K=7，K6，输出S=.故选：D9．在正方体中，E、F分别为棱和的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】取的中点，连接，根据，得到异面直线与所成的角，即为与所成的角，直角中，即可求解.【详解】如图所示，取的中点，连接，在正方体中，因为是的中点，可得，所以异面直线与所成的角，即为与所成的角，设，设正方体的棱长为，可得，由平面，且平面，可得，所以，在直角中，可得.故选：A.10．若在是增函数，则a的最大值是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数性质，可得的单调区间，是单增区间的子集.【详解】，根据函数图象和性质，在上单调递增，在上单调递减.而，所以a的最大值为.故选：A.11．已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆定义得到，由得到，由勾股定理得到，两式结合求出，结合得到，求出离心率.【详解】由题意得：，则，由椭圆定义可知：，所以，即，所以，又，所以，即故E的离心率为.故选：C.12．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（       ）A．13 B．0 C． D．1【答案】D【分析】根据奇函数的性质得到，，再由，即可得到是以为周期的周期函数，再求出、、的值，即可得解.【详解】解：因为是定义域为的奇函数，所以，，又，所以，即，所以，即是以为周期的周期函数，又，所以，，，所以，所以.故选：D 二、填空题13．曲线在点处的切线方程为_____________．【答案】【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程.【详解】，曲线在点处的切线斜率，所求切线方程为：，即.故答案为：.14．若满足约束条件，则的最小值为_____________．【答案】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，结合图形，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，目标函数取得最小值，由，解得，所以目标函数的最小值为.故答案为：.15．已知，且是第一象限角，则_____________．【答案】【分析】利用两角差的正切公式求出，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】解：因为，所以，即，解得，又，解得或，因为是第一象限角，所以；故答案为：16．已知圆锥的顶点为P，母线的夹角为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_____________．【答案】【分析】由题得，为正三角形，由的面积求得PA，再由与圆锥底面所成角求得底面半径，即可根据公式求得侧面积【详解】由题，，则为正三角形，，∴母线，又与圆锥底面所成角为，∴底面半径，∴圆锥的侧面积为.故答案为： 三、解答题17．记为等差数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求，并求的最大值．【答案】(1)(2)，21【分析】（1）根据等差数列的前项和公式可求出公差，从而利用等差数列的通项公式即可求出答案；（2）根据等差数列的前项和公式和二次函数的性质，即可直接求出答案.【详解】(1)设数列的公差为，由得，即，由，得．所以的通项公式为．(2)由（1）得．因为，所以当或时，取得最大值，最大值为21．18．根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录数据绘制了如下茎叶图： (1)根据茎叶图判断哪位运动员的成绩更好？并说明理由；(2)求24个得分的中位数m，并将所得分超过m和不超过m的得分数填入下面的列联表： 超过m不超过m甲  乙   (3)根据（2）中的列联表，能否有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛得分有差异？附：0.150.100.052.0722.7063.841  【答案】(1)乙运动员的成绩更好，理由见解析(2)；填表见解析(3)没有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛得分有差异【分析】（1）根据茎叶图分析数据的分布情况判断即可；（2）根据中位数的定义求解，再完善表格即可；（3）计算卡方并对比表格中的数据判断即可.【详解】(1)乙运动员的成绩更好，理由如下：（ⅰ）由茎叶图可知：乙运动员的得分基本上是对称的，叶的分布是“单峰”的，有的叶集中在茎3，4上；甲运动员的得分基本上也是对称的，只有的叶集中在茎3，4上．所以乙运动员的成绩更好．（ⅱ）由茎叶图可知：乙运动员得分的中位数是36；甲运动员得分的中位数是27．所以乙运动员的成绩更好．（ⅲ）从叶在茎上的分布看，乙运动员的得分更集中于单峰值附近，这说明乙运动员的发挥更稳定．以上给出3种理由，学生答出其中一种或其他合理理由均可得分．(2)由茎叶图可知，列联表如下： 超过m不超过m甲57乙75 (3)由于，所以没有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛得分有差异．19．如图，在三棱锥中，，D为的中点．(1)证明：平面；(2)若E是棱上的动点，当的面积最小时，求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直的性质与判定，结合等腰三角形的性质分别证明即可；（2）当的面积最小时，根据三角形的面积公式可得当的面积最小时，取最小值，此时得，再根据为与平面所成的角求解即可；或以D为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线面夹角的向量求法求解即可.【详解】(1)因为，又D为的中点，所以，且，连接，所以为等腰直角三角形，且，，由，可知，由，平面,可知平面．(2)解法1：因为，所以，当的面积最小时，取最小值，此时得，这时为的中位线，且．因为，且，平面，所以平面，故为与平面所成的角．因为E是的中点，所以．在中，，所以与平面所成角的正弦值为．解法2：同解法1，且.因为两两互相垂直，故以D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则．，设平面的法向量为，则，即，所以可取，又，设与平面所成角为，则．20．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在y轴上，且C经过点，过F且斜率为的直线l与C交于M，N两点，．(1)求C和的方程；(2)求过点M，N且与C的准线相切的圆的方程．【答案】(1)；(2)或【分析】（1）设的方程为，代入点的坐标得的值，得到的方程，设的方程为，联立方程组，求得，结合，求得的值，即可得到直线的方程；（2）由（1）得线段中点坐标，得到线段的垂直平分线方程，设所求圆的圆心坐标为，联立方程组求得圆心坐标和半径，即可求解圆的方程.【详解】(1)解：设的方程为，代入点的坐标得，所以的方程为．所以焦点的坐标为，设的方程为且，联立方程组，整理得，所以，所以．由题设知，解得或（舍去），所以的方程为．(2)解：由（1）得线段中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为，即，设所求圆的圆心坐标为，则，解得，或，即圆心坐标为或，又由抛物线的准线方程为，可得点或到准线的距离分别为或，即圆的半径分别为或，所以圆的方程为或．21．已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)讨论的零点情况．【答案】(1)递增区间为，递减区间为(2)答案见解析【分析】（1）求得，结合导数的符号，即可求解函数的单调区间；（2）根据题意转化为，令，利用导数求得函数的单调性和极值，结合图象，即可求解.【详解】(1)解：当时，则，可得，令，解得，当时，，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减．(2)解：当时，；当时，等价于，令，则，当时，；当时，；当时，；所以在单调递增；在单调递减，且当时，，当时，；当时，，如图所示，可得为的极大值，当，即时，与只有1个交点，即只有1个零点；当时，与有2个交点，即有2个零点；当时，与有3个交点，即有3个零点．综上，时，只有1个零点；当时，有2个零点；当时，有3个零点． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化函数的零点个数为方程的根的根数，进而利用分离参数法，转化为函数的交点个数.22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的极坐标方程为．(1)若，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a．【答案】(1)(2)或【分析】（1）求出曲线C的普通方程和直线l的普通方程，联立即可求出交点坐标.（2）设C上的点坐标为，根据点到直线的距离公式即可求得a.【详解】(1)曲线C的普通方程为，当时，l的普通方程为，由解得或所以C与l的交点坐标为．(2)l的普通方程为，故C上的点到l的距离．当时，d的最大值为，由题设得，所以；当时，d的最大值为，由题设得，所以．23．已知．证明：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用整式的乘法化简，再利用乘法公式及完全平方数的非负性证明即可；（2）利用基本不等式计算可得.【详解】(1)证明：因为，，，所以，当且仅当时取等号．(2)证明：因为所以，所以，所以，当且仅当时取等号．