2022届黑龙江省哈尔滨市南岗区实验中学高三上学期第三次月考（开学考）数学（理）试题含解析

2022届黑龙江省哈尔滨市南岗区实验中学高三上学期第三次月考（开学考）数学（理）试题

一、单选题

1．已知全集集合，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先计算出集合，再进行交补运算即可.

【详解】或，

则

故选：C

2．下列函数既是奇函数又在上是增函数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据三角函数的诱导公式、正弦函数、反比例函数、指数函数的单调性，根据定义判断函数的单调性，复合函数单调性的判断，函数奇偶性等知识和方法逐一对每个选项进行判断即可得解.

【详解】对于A，因为是上的减函数，所以A不符合题目条件；

对于B，因为函数在没有定义，所以B不符合题目条件；

对于C，因为是其定义域内的减函数，所以C不符合题目条件；对于D，因为函数是奇函数，且在上是增函数，所以D符合题目条件.故选：D．

3．若的展开式中所有项系数和为81，则该展开式的常数项为（       ）

A．10 B．8 C．6 D．4

【答案】B

【分析】由给定条件求出幂指数n值，再求出展开式的通项即可作答.

【详解】在的二项展开式中，令得所有项的系数和为，解得，

于是得展开式的通项为，

令，得，常数项为.

故选：B

4．下列四个结论：

①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；

②“”是“”的必要不充分条件；

③在区间上有零点，则实数的取值范围是；

④对于命题：存在，使得，则为：对任意，均有．

其中，错误的结论的个数是（       ）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

【答案】B

【分析】利用逆否命题的定义判断①；利用一元二次不等式的解法判断②；转化为方程有解判断③；利用特称命题的否定是全称命题判断④

【详解】对于①，“若，则”的逆否命题为“若，则”，正确；

对于②，解不等式，可得或，所以“”是“”的充分不必要条件，错误；

对于③，在区间上有零点，在区间上有则解，因为在区间上，所以实数的取值范围是，正确；

④对于命题：存在，使得，因为特称命题的否定是全称命题，所以为：对任意，均有，正确．

综上，错误的结论的个数是1，

故选：B.

5．函数的图象在处的切线方程为，则的极小值为（       ）

A． B． C．-1 D．1

【答案】B

【分析】先求出的导函数，根据导数的几何意义求出参数，然后由得出函数的单调区间，得出极值.

【详解】函数的图象在处的切线的斜率为

由，

则，则

所以，由，得，由得

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以当时，有极小值

故选：B

6．已知，，，，则、、的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】研究函数的奇偶性、单调性，将变形到函数的单调区间上且比较大小，然后运用函数单调性可得结论.

【详解】因为，是偶函数，

且时，是增函数，

，，，

，

而，所以，

即．

故选：A．

7．我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为62个.已知1个超导量子比特共有“，”2种叠加态，2个超导量子比特共有“，，，”4种叠加态，3个超导量子比特共有“，，，，，，，”8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长.设62个超导量子比特共有种叠加态，则是一个（       ）位的数.(参考数据：)

A．18 B．19 C．62 D．63

【答案】B

【分析】根据题意个超导量子比特共有种叠加态，进而两边取以为底的对数化简整理即可得答案.

【详解】根据题意，设个超导量子比特共有种叠加态，

所以当有62个超导量子比特共有种叠加态。

两边取以为底的对数得，

所以，由于，

故是一个19位的数.

故选：B

【点睛】本题考查数学文化，对数运算，考查知识的迁移与应，是中档题.本题解题的关键在于根据材料得个超导量子比特共有种叠加态，进而根据对数运算求解.

8．函数的图象大致是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据奇偶性和的符号，使用排除法可得.

【详解】的定义域为R，

因为

，所以为偶函数，故CD错误；

又因为，，所以，故B错误.

故选：A

9．设是偶函数的导数，，当时，，则使成立的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，利用导数得到，在是减函数，再根据为偶函数，根据，解得的解集．

【详解】令，

，

时，,在上是减函数，

为偶函数，

为奇函数,在上单调递减,

，所以

,

因此，

,

因此使得成立的的取值范围是,

故选：B.

10．现将包含甲乙在内的5名干部全部安排到3个村进行蹲点乡村振兴工作，每个村必须有1名干部，且甲乙必须去同一个村，则不同的选派方案共有（       ）

A．36种 B．18种 C．144种 D．72种

【答案】A

【分析】首先根据条件分类，然后每一类再求解分配方法种数.

【详解】第一种情况，甲乙去同一个村，剩下3人去了另外的2个村，有种方法，第二种情况，甲乙和剩下3人中的1人一起去了一个村，剩下的2人去了另外2个村，有种方法，

所以共有种方法.

故选：A

11．已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用导数求在上的值域记作集合，利用二次函数的单调性求在上的值域记作集合，根据题意可得，可得关于的不等式组，解不等式即可.

【详解】由可得，

当时，；当时，；

所以在单调递减，在单调递增，

所以，，，

所以在上的值域为，记

的对称轴为，，，

且在上单调递减，所以，

记，

若对任意的，存在唯一的，使得，

则，所以，解得：，

所以实数的取值范围是，

故选：B

12．已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围是（       ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，作出函数的图象，分析可知函数在区间上有两个不等的实根，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】令，则，作的图象如图所示，

设的零点为、，

由图可知，要满足题意，则需在上有两不等的零点，

则，解得．

因此，实数的取值范围是.

故选：D.

【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：

（1）确定内层函数和外层函数；

（2）确定外层函数的零点；

（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.

二、填空题

13．函数的单调递增区间是________

【答案】

【分析】先求函数定义域，再根据复合函数单调性确定单调增区间.

【详解】

当时，单调递减，而也单调递减，所以单调递增，

故答案为：

【点睛】本题考查复合函数单调性、对数函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为、，获得二等奖的概率分别为、，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有人获奖的概率为___________.

【答案】

【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为，乙不中奖的概率为，

因此，甲、乙两人至少有人获奖的概率为.

故答案为：.

15．定义在实数集上的奇函数恒满足，且时，，则_________________．

【答案】

【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，可得出，结合已知条件可求得结果.

【详解】由题意可得，所以，，

所以，函数是以为周期的周期函数，

，则，

所以，.

故答案为：.

16．已知函数，若函数有唯一极值点，则实数的取值范围是______．

【答案】.

【分析】先判断函数的定义域，然后求导得出是函数有唯一极值点，即在无变号零点，进而令，利用导数研究其函数的性质即可得出结论.

【详解】由题意知，函数的定义域为，

，

因为函数有唯一极值点，所以是函数的唯一极值点，所以在无变号零点，令，则，

当时，恒成立，所以在内单调递增，且，所以在上无解，

当时，有解，且，

又因为时，，所以在上单调递减；时，，所以在上单调递增，所以，解得，当时，作出函数和的图象，如图：

由函数和的图象可知，它们相切于点，所以符合条件，

综上所述：，

故答案为：.

【点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．

（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．

三、解答题

17．已知函数，.

（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；

（2）函数，若对于任意的，都存在使得不等式成立，求实数k的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题意可得，恒成立，讨论或，列出即可求解.

（2）由题意可得在恒成立，只需在有解，进而化为即可求解.

【详解】（1）由题可知：对任意的，恒成立.

当时，不合题意；

当时，由 ，可得

解得，

综上，；

由题意可得在恒成立，

则在有解，

令，

由，则，

则，

所以，

所以在有解，

即在有解，

，综上，实数k的取值范围.

18．已知定义域为的函数是奇函数，其中为指数函数且的图象过点．

（1）求的表达式；

（2）若对任意的．不等式恒成立，求实数的取值范围；

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设（且），因为的图象过点，求得a的值，再根据函数f(x)是奇函数，利用f(0)=0即可求得n的值，得到f(x)的解析式，检验是奇函数即可；

（2）将分式分离常数后，利用指数函数的性质可以判定f(x)在R上单调递减，进而结合奇函数的性质将不等式转化为二次不等式，根据二次函数的图象和性质，求得对于对任意的恒成立时a的取值范围即可.

【详解】解：（1）由题意，设（且），

因为的图象过点，可得，解得，即，

所以，

又因为为上的奇函数，

可得，即，解得，

经检验，符合，所以．

（2）由函数，可得在上单调递减，

又因为为奇函数，所以，

所以，即，

又因为对任意的，不等式恒成立，

令，即对任意的恒成立，

可得，即，解得，

所以实数的取值范围为．

【点睛】本题考查函数的奇偶性，指数函数及其性质和函数不等式恒成立问题，关键是利用函数的单调性和奇偶性将不等式转化为二次不等式在闭区间上恒成立问题，然后利用二次函数的图象转化为二次函数的端点值满足的条件.另外注意，第一问中，利用特值f(0)=0求得解析式后，要注意检验对于任意的实数x，f(x)=-f(-x)恒成立.

19．已知函数．

（1）讨论函数单调性；

（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【分析】（1）求出，分和讨论的单调性；

（2）不等式恒成立，等价于，令，求的最大值即可.

【详解】（1）函数的定义域为，，

当时，，所以函数在上单调递增；

当时，由，得，函数在上单调递增．

由，得，函数在上单调递减，

故有：当时，所以函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减．

（2）不等式恒成立，

即，等价于，

由题意知，不等式，恒成立，

令，

则，

令，

则，

所以，

所以，

∴在上是减函数，

∴，

即实数的取值范围是．