2021-2022学年甘肃省天水市第一中学高二下学期学业水平模拟考试（二）数学试题含解析

这是一份2021-2022学年甘肃省天水市第一中学高二下学期学业水平模拟考试（二）数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年甘肃省天水市第一中学高二下学期学业水平模拟考试（二）数学试题一、单选题1．已知集合，则A∩B=（       ）A．{0，1，2，3} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{2，3}【答案】D【分析】应用集合的交运算求即可.【详解】由题设，.故选：D2．下列既是奇函数，在上又是单调递增函数的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先分析函数的奇偶性，满足奇函数再分析函数在上是否为增函数，由此判断出选项.【详解】A．是奇函数，且在上有增有减，故不满足.B．定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，故不满足.C．是奇函数，且在上只有单调增区间，但不是一直单调递增，故不满足.D．是奇函数，且在上单调递增，故满足.故选：D.3．若，满足约束条件，则的最大值为（       ）A． B．1 C．3 D．【答案】D【分析】根据题意，作出满足条件的可行域，根据目标函数几何意义求解.【详解】作出满足条件不等式组的线性可行域，如下图所示：因为，所以，当目标函数经过点时，取得最大值，所以联立，解得，所以，所以.故选：D4．已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（       ）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根据扇形面积公式，求出扇形的半径，再由弧长公式，即可求出结论.【详解】因为扇形的弧长为4，面积为2，设扇形的半径为，则，解得，则扇形的圆心角的弧度数为.故选:C.【点睛】本题考查扇形面积和弧长公式应用，属于基础题.5．已知向量，若，则（       ）A． B．20 C． D．【答案】A【分析】先根据向量的平行求得的值，再求模即可.【详解】，.故选：A．6．某程序框图如图所示，运行后输出S的值为A．10 B．11 C．14 D．16【答案】D【解析】分析程序框图，依次写出每次循环得到的、的值，当时，满足条件，输出的值即可.【详解】执行程序框图，由，第一次循环：，不满足条件；第二次循环：，不满足条件；第三次循环：，不满足条件；第四次循环：，不满足条件；第五次循环：，满足条件；故选：D【点睛】本题考查了程序框图中的循环结构、写出每次循环运行的结果是解决此类问题的基本方法，属于基础题.7．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（       ）A．45° B．60° C．90° D．120°【答案】B【分析】利用异面直线夹角的定义，将平移至为中点），通过为正三角形求解．【详解】取中点连接，，则，与所成的角等于与所成的角．容易知道为正三角形，与所成的角等于.故选：B8．已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】设圆心，由圆的对称性可知过点与垂直的直线被圆所截的弦长最短【详解】由题意可知，当过圆心且过点时所得弦为直径，当与这条直径垂直时所得弦长最短，圆心为，，则由两点间斜率公式可得，所以与垂直的直线斜率为，则由点斜式可得过点的直线方程为，化简可得，故选：B9．将函数向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据左加右减原则，即可得到答案；【详解】函数向右平移个单位长度，，故选：A10．如图，阴影部分是等边三角形内切圆所围成的区域，若在此三角形内部随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意求出三角形的面积以及三角形内切圆的面积，然后求出内切圆的面积与三角形的面积比即可.【详解】设三角形的边长为，内切圆的半径为，则三角形的面积，根据等面积法可列式得，得，所以内切圆的面积，所以该点取自阴影部分的概率是.故选：D.【点睛】本题主要考查了的几何概型的计算，一般的求解步骤为：（1）首先判断该事件是一维问题还是二维、三维问题；（2）接着，如果是一维问题，利用事件A构成的区域长度（角度、弧长）与试验的全部结果相比，可得概率；如果是二维、三维问题，先设出二维或者三维变量，一般二维与面积相关，三维与体积相关，再列出事件A满足的面积或者体积与试验的全部结果，计算出两个区域的面积或体积相比即可.二、填空题11．已知函数，则函数的零点个数为______________.【答案】3【解析】根据函数零点定义，在分段函数的每一段求得零点，加起来就是零点的个数.【详解】解：当时，，令得或（舍掉），当时，，令得或，所以函数的零点个数为3个.故答案为：3.【点睛】函数零点个数的判定有下列几种方法：（1）直接求零点：令，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点；（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在上是连续的曲线，且，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点；（3）画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.12．若，则________________.【答案】【分析】由诱导公式求得，再由二倍角公式计算．【详解】由，得，所以．故答案为：．13．函数y=2x+log2x在区间[1，4]上的最大值是______．【答案】18【详解】解：∵y=2x和y=log2x在区间[1，4]上都是增函数，∴y=2x+log2x在区间[1，4]上为增函数，即当x=4时，函数y=2x+log2x在区间[1，4]上取得最大值y=y=24+log24=16+2=18，故答案为18【点评】本题主要考查函数最值的计算，利用指数函数和对数的函数的单调性是解决本题的关键．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 _______（结果用含π的式子表示）.【答案】【分析】根据题意，还原几何体，将几何体放置与长方体求解即可.【详解】根据三视图得该几何体的直观图为如图所示的三棱锥，其中，，所以该几何体的外接球是以为长宽高的长方体的外接球，所以该几何体的外接球的半径为所以该几何体的外接球的表面积为.故答案为：15．已知，，，则的最小值为__________．【答案】【解析】由，得，则，展开后利用基本不等式可求得结果【详解】解：由，得，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故答案为：三、解答题16．如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3（1）求△CBD的面积；（2）求边AC的长.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由余弦定理求得，即可得出，再由面积公式即可求解；（2）由正弦定理即可求解.【详解】（1）在中，由余弦定理可得，则，；（2）在中，由正弦定理得，即，解得.17．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，E，F分别是PB，AC的中点．(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用中位线定理即可证明，从而得出平面；（2）计算到平面的距离和三角形的面积，代入棱锥的体积公式计算．【详解】(1)证明： 四边形是正方形，是的中点，，，三点共线，且是的中点，又是的中点， ，又平面，平面，平面．(2)解：平面，是的中点，到平面的距离为，四边形是正方形，，，三棱锥的体积为：．18．等比数列中，已知．（1）求数列的通项．（2）若等差数列，求数列前项和的最大值【答案】（1）;（2）.【解析】（1）根据等比数列的通项公式可得，，即可得答案；（2）等差数列前项和，再利用二次函数的性质，即可得答案；【详解】（1）由，得，解得，从而；（2）由已知得等差数列，，，设公差为，则有，即 ，解得.故数列前项和，由于二次函数的对称轴为，且对应的图象开口向下，当或时，有最大值为.【点睛】本题考查等比数列通项公式及等差数列前项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用二次函数的性质进行求解.19．由于往届高三年级数学学科的学习方式大都是“别题-讲题-再刷题”的模式效果不理想，某中学的数学课堂教改采用了“记题型-刷题-检测效果”的模式，并记录了学生的记题型时间（单位：h）与检测效果y的数据如表所示：记题型时间1234567检测效果y2.93.33.64.44.85.25.9 （1）据统计表明，y与t之间具有线性相关关系，请用相关系数r加以说明（若，则认为y与t有很强的线性相关关系，否则认为没有很强的线性相关关系）；（2）建立y关于t的回归方程，并预测该学生记题型的检测效果；参考公式：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为，；相关系数；参考数据：，，，.【答案】（1）与之间具有较强的线性相关关系；（2），学生记题型时间为的检测效果为.【分析】（1）先计算出，然后根据相关系数的公式求解出的值，根据的值进行判断即可；（2）根据条件先计算出回归直线方程中的，利用求解出的值，由此可求回归直线方程，将代入回归直线方程可求检测效果.【详解】（1）因为，所以，所以，所以与之间具有较强的线性相关关系；（2）由题意可设，所以，又因为，所以回归直线方程为，当时，，即学生记题型时间为的检测效果为.20．已知圆C经过三点，，.（1）求圆C的标准方程；（2）过点作直线交圆C于P、Q两点，点为圆C内一点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）假设圆的一般方程，代值计算，可得结果.（2）假设直线方程，利用弦长公式，计算，然后计算到直线的距离，根据面积公式，可得，最后根据直线斜率的范围，结合换元法，可得结果.【详解】（1）设圆由圆C经过三点，，所以所以圆的方程为：（2）设直线方程圆心到直线的距离为且，解得所以点到直线的距离为所以令所以则，当时，有【点睛】本题考查圆的方程以及直线与圆的几何关系，难点在于的表示以及计算，重点在于对点到直线的距离，圆中弦长公式的记忆，属中档题.