2021-2022学年广东省珠海市高二上学期期末考试数学含答案

广东省珠海市2021-2022学年高二上学期期末考试数学

一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 直线的倾斜角是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

2. 已知空间向量，，则（）

A.  B. 19 C. 17 D.

【答案】D

3. 已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（）

A. 54 B. 71 C. 81 D. 80

【答案】C

4. 已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

5. 已知长方体中，，，则直线与所成角的余弦值是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

6. 已知点在抛物线：上，点为抛物线的焦点，，点P到y轴的距离为4，则抛物线C的方程为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

7. 我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著.该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”.其意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”.若改为 “求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有（）盏.

A. 192 B. 128 C. 3 D. 1

【答案】A

8. 已知直线：恒过点，过点作直线与圆：相交于A，B两点，则的最小值为（）

A.  B. 2 C. 4 D.

【答案】A

9. 如图，已知多面体，其中是边长为4的等边三角形，四边形是矩形，，平面平面，则点到平面的距离是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

10. 已知数列的通项公式是，则（）

A10100 B. -10100 C. 5052 D. -5052

【答案】D

二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

11. 已知圆：，则下列说法正确的是（）

A. 点在圆M内 B. 圆M关于对称

C. 半径为 D. 直线与圆M相切

【答案】BD

12. 如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（）

A.  B.

C. ， D.

【答案】BCD

三、填空题：本题共44小题，每小题55分，共020分.

13. 已知直线在两坐标轴上的截距分别为，，则__________.

【答案】##

14. 已知数列是公差不为零的等差数列，，，成等比数列，第1，2项与第10，11项的和为68，则数列的通项公式是________.

【答案】

15. 已知四面体中，，分别在，上，且，，若，则________.

【答案】

16. 已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是________.

【答案】##

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中.

问题：等差数列的公差为，满足，________?

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和得到最小值时的值.

【答案】（1）选择条件见解析，

（2）

【小问1详解】

解：设等差数列的公差为，

得，

选①，

得，

故，

∴.

选②，

得，得，

故，

∴.

选③，

，得，

故，

∴；

【小问2详解】

由（1）知，，，

∴数列是递增等差数列.

由，得，

∴时，，

时，，

∴时，得到最小值.

18. 如图，矩形ABCD，点E，F分别是线段AB，CD的中点，，，以EF为轴，将正方形AEFD翻折至与平面EBCF垂直的位置处.请按图中所给的方法建立空间直角坐标系，然后用空间向量坐标法完成下列问题

（1）求证：直线平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

（2）.

【解析】

【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出对应向量的坐标，根据向量垂直，即可证明线面垂直；

（2）根据（1）中所求平面的法向量，利用向量法，即可容易求得结果.

【小问1详解】

矩形ABCD中，点E，F分别是线段AB，CD的中点，∴，∴翻折后

∵平面平面，且面，面，

故可得面，又面，∴，故两两垂直，

∴分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系：

∵，则，，，，

，，

∵，，∴，

∴，，又面，

∴平面.

【小问2详解】

由（1）知，平面的法向量为，又向量，

则向量与法向量为所成角的余角即是直线与平面所成角，

设直线与平面所成角为，向量与法向量为所成角为，

则.

故直线与平面所成角正弦值为.

19. 已知圆过点，，且圆心在直线：上.

（1）求圆的方程；

（2）若从点发出的光线经过轴反射，反射光线刚好经过圆心，求反射光线的方程.

【答案】（1）；

（2）

20. 如图，三棱锥中，，，，，，点是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上，且.

（1）证明：平面CMN；

（2）求平面MNC与平面ABC所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点和相关向量的坐标,

（1）求出平面的法向量，利用证明即可；

（2）由（1）知平面的法向量，再求平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.

【小问1详解】

证明：三棱锥中，，，

∴分别以，，，，轴建立如图所示空间直角坐标系

∵，，点M是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上且

∴，，，，，

设平面的法向量，

，，，

由得

令

得

∴

∵

∴又平面

∴平面；

【小问2详解】

，，

∴平面

∴为平面的法向量

则与的夹角的补角是平面与平面所成二面角的平面角

.

∴平面与平面所成角的余弦值为.

21. 已知数列是正项数列，，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）

（2）

22. 已知椭圆：，的左右焦点，是双曲线的左右顶点，的离心率为，的离心率为，点在上，过点E和，分别作直线交椭圆于，和，点，如图.

（1）求，的方程；

（2）求证：直线和的斜率之积为定值；

（3）求证：为定值.

【答案】（1）：；：

（2）证明见解析（3）证明见解析

【小问1详解】

由题设知，椭圆离心率为

解得

∴，

∵椭圆的左右焦点，是双曲线的左右顶点，

∴设双曲线：

∴的离心率为解得.

∴：

：；

【小问2详解】

证明：∵点在上

∴设

则，

∴.

∴直线和的斜率之积为定值1；

【小问3详解】

证明：设直线和的斜率分别为，，则

设，

：与方程联立消得

“*”

则，是“*”的二根

则

则

同理

∴.