2022届浙江省杭州学军中学高三下学期5月适应性考试数学试题含解析

这是一份2022届浙江省杭州学军中学高三下学期5月适应性考试数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届浙江省杭州学军中学高三下学期5月适应性考试数学试题一、单选题1．已知集合A=，B=，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】化简集合，再根据并集的定义求解即可.【详解】不等式的解集为，不等式的解集为，所以，．故．故选：B.2．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的渐近线方程可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】由已知可得，双曲线的渐近线方程为，则，解得.故选：D.3．复数满足（为虚数单位），则复数的模长为（       ）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】用复数四则运算法则，根据模的定义即可.【详解】， ；故选：C.4．已知向量，，则“”是“与共线”的（       ）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据给定条件，求出与共线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】向量，，则，解得或，所以“”是“与共线”的充分不必要条件.故选：A5．古代勤劳而聪明的中国人，发明了非常多的计时器，其中计时沙漏制作最为简洁方便、实用，该几何体是由简单几何体组合而成的封闭容器（内装一定量的细沙），其三视图如图所示（沙漏尖端忽略不计），则该几何体的体积为（       ） A． B． C． D．【答案】A【分析】由三视图还原几何体为双锥体，利用圆锥的体积公式求体积即可.【详解】由三视图知：几何体是底面直径为2的双锥体，且两个锥体的高为2，如下图：所以几何体体积为.故选：A6．函数的图象大致为（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】令，该函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，排除AB选项，当时，，则，排除C选项.故选：D.7．已知直三棱柱，若，，是棱中点，则直线与直线所成角的余弦值为（       ） A． B．C． D．【答案】C【分析】为中点，连接易得为平行四边形，则，进而确定直线与直线所成角的平面角，应用余弦定理求其余弦值.【详解】若为中点，连接，又是棱中点，所以，在直三棱柱中且，即为平行四边形，所以，则直线与直线所成角即为，若，则，，所以.故选：C8．已知圆的方程为，P是圆O上的一个动点，若OP的垂直平分线总是被平面区域覆盖，则实数的取值范围是（     ）A． B．  C．  D．【答案】B【分析】先作出不等式|x|+|y|≥a表示的平面区域，及OP的垂直平分线形成的区域，再结合题意分析这两个区域的相互覆盖情况即可．【详解】如图，随着点P在圆上运动，OP的垂直平分线形成的区域是圆：x2+y2=1的外部，…①平面区域|x|+|y|≥a表示正方形EFGH的外部，…②若OP的垂直平分线总是被平面区域|x|+|y|≥a覆盖，则①区域要包含于②区域，故；故选：B．9．正实数，满足，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据题干中等式变形，得到，对变形后使用基本不等式求解最小值.【详解】变形为，则，即，令，（），则恒成立，则，（）单调递增，又，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2故选：A10．设数列满足，其中c为实数，数列的前n项和是，下列说法不正确的是（       ）A．c∈[0,1]是的充分必要条件 B．当c>1时，一定是递减数列C．当c<0时，不存在c使是周期数列 D．当时，【答案】C【分析】利用条件以及数学归纳法说明A成立；结合类推思想说明B成立；利用零点存在定理说明存在c使是周期数列，即C错误；利用放缩法说明D成立.【详解】若，则，即必要性成立；若c∈[0,1]，则假设时，则时，因此c∈[0,1] 时，，即充分性成立；故A成立；单调递增，同理，依次类推可得，即一定是递减数列，故B成立；当c<0时，由，令存在零点，即存在c使是周期数列，即C错误；当时，由A得，所以因为时，，所以，即D成立；故选：C【点睛】本题考查数列周期、数列单调性、等比数列求和、零点存在定理、数学归纳法，考查综合分析论证与判断能力，属难题.二、填空题11．若函数在区间内有极小值，则的取值范围为________．【答案】【分析】求，讨论和时的单调性与极小值点，使得极小值点位于区间即可求解.【详解】由可得，当时，恒成立，所以在上单调递增，无极值；当时，令可得或；令可得：，所以时，在处取得极小值，若函数在区间内有极小值，则，解得，综上所述：的取值范围为故答案为：.12．袋子中有6个大小相同的黑球，5个同样大小的白球，现从中任取4个球，取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的得分之和，求的数学期望______（数字作答）【答案】【分析】由题意，服从超几何分布，求出的所有可能取值对应的概率，利用期望公式即可求解.【详解】解：由题意，的所有可能取值为0,1,2,3,4，，，，，，所以的数学期望，故答案为：.13．已知，则向量的范围是____________．【答案】【分析】设出，利用向量数量积运算法则得到，利用求出取值范围.【详解】设，所以①,一方面，，当且仅当与同向，与同向时取得最大值，另一方面，，其中，当且仅当与反向时取得最小值．故．故答案为：三、双空题14．_______，=_______【答案】     3     4【分析】①由对数恒等式即可得到结果②，由幂的乘方，底数不边，指数相乘即可求解【详解】①因为，所以②15．已知，则______.______.【答案】     60     728【分析】对变形为，写出展开式的通项公式，从而求出的值；赋值法求解系数和，从而求出答案.【详解】，所以通项公式为，故；令得：，其中，所以故答案为：60，72816．已知函数，那么___________若存在实数，使得，则的个数是___________.【答案】          【分析】求出的值，再计算的值；设，则，可求得或，再解方程或，可求得的值即可求解.【详解】因为，所以，所以，设，则，当时，，可得，当时，，可得，所以或，当时，由或可得或；当时，或，可得或（舍）或或，综上所述：，，，，，有个符合题意，故答案为：；.17．如图，在中，，，的面积等于，则____，角平分线的长等于_____．【答案】          【分析】由三角形面积得，由余弦定理得，结合解得，由正弦定理可得，求得，在直角三角形中求得．【详解】,，又由得，由解得所以．因为，所以，在中，．故答案为：；．【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形．掌握正弦定理和余弦定理是解题关键．四、解答题18．已知函数（其中，，，均为常数，且，，）的部分图像如图所示． (1)求的解析式；(2)若，，求的值域．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据函数图像可得、、，再由五点法求，进而写出解析式；（2）应用诱导公式、辅助角公式可得，根据正弦型函数的性质求值域.【详解】(1)由题图且，则，，，则且，又，故，综上，.(2)由题设，，而，所以，则，故19．如图，在直三棱柱中，平面侧面，且. (1)求证：；(2)若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点E为线段中点【分析】(1)通过作辅助线结合面面垂直的性质证明侧面，从而证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标,再求相关的向量坐标，求平面的法向量，利用向量的夹角公式求得答案.【详解】(1)证明：连接交于点，因，则由平面侧面，且平面侧面，得平面，又平面，所以.三棱柱是直三棱柱，则底面ABC，所以.又，从而侧面，又侧面，故.(2)由(1).平面，则直线与平面所成的角,所以，又，所以假设在线段上是否存在一点E，使得二面角的大小为,由是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC､所在直线分别为x，z轴,以过A点和AC垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，且设， ，得所以，设平面的一个法向量，由，得： ，取,由(1)知平面，所以平面的一个法向量,所以，解得,∴点E为线段中点时，二面角的大小为.20．在数列中，已知．(1)求证：数列为等比数列；(2)记，且数列的前项和为．若为数列中的最小项，求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由，整理得：．由，，可知是以为首项，公比为的等比数列；（2）由（1）求得数列通项公式及前项和为，由为数列中的最小项，则对有恒成立，分类分别求得当时和当的取值范围，当时，，利用做差法，根据函数的单调性，即可求得的取值范围．【详解】(1)证明：∵，∴．又，∴，故，∴是以为首项，公比为的等比数列．(2)解：由（1）知，∴．∴ ．若为数列中的最小项，则对有恒成立，即对恒成立．1° 当时，有；2° 当时，有；3° 当时，恒成立，∴ 对恒成立．令，则对恒成立，∴在时为单调递增数列．∴，即．综上，，即的取值范围为．21．如图，设椭圆：()，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率是.（1）求椭圆的标准方程；（2）过作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点，求面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知求得，再由椭圆的离心率求得c，进而求得b ，即得椭圆的标准方程；（2）先设直线l的方程，设，再联立方程得到，利用韦达定理求得，同理求得，计算的面积为：，换元，所以，利用导函数可求得最值.【详解】解：（1）椭圆长轴的右端点与抛物线的焦点F重合，，又椭圆C1的离心率是，，故，所以椭圆C1的标准方程为；（2）过点F(2, 0)的直线l的方程设为:，设,联立，整理得，所以，，过F且与直线l垂直的直线设为：，联立，整理得：，设点 ，，，所以的面积为：，令，所以，则，令，得，当时，， 单调递减，当时，， 单调递增，所以当时，有最小值，此时，的面积最小，即解得时，的面积最小值为9，此时直线l的方程为：.【点睛】关键点点睛：本题研究直线与椭圆的位置关系中三角形面积的最值问题，关键在于设出直线方程，用一个变化的量表示三角形的面积，再利用导数求最值突破难点.22．已知函数，，其中a>1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.【答案】(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.【详解】分析：（I）由题意可得.令，解得x=0.据此可得函数的单调递减区间，单调递增区间为.（II）曲线在点处的切线斜率为.曲线在点处的切线斜率为.原问题等价于.两边取对数可得.（III）由题意可得两条切线方程分别为l1：.l2：.则原问题等价于当时，存在，，使得l1和l2重合.转化为当时，关于x1的方程存在实数解，构造函数，令，结合函数的性质可知存在唯一的x0，且x0>0，使得，据此可证得存在实数t，使得，则题中的结论成立.详解：（I）由已知，，有.令，解得x=0.由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：x00+极小值 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.由，可得曲线在点处的切线斜率为.因为这两条切线平行，故有，即.两边取以a为底的对数，得，所以.（III）曲线在点处的切线l1：.曲线在点处的切线l2：.要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合.即只需证明当时，方程组有解，由①得，代入②，得.     ③因此，只需证明当时，关于x1的方程③存在实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，又，，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减. 在处取得极大值.因为，故，所以.下面证明存在实数t，使得.由（I）可得，当时，有，所以存在实数t，使得因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度   从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．