2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测数学试题含解析

这是一份2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了09等内容，欢迎下载使用。
2023届高三第一次大质量监测
数 学 2022.09
本试卷共6页，22小题，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M＝{x|≤0}，N＝{x|()x≤3}，则M∩N＝
A．[－4，－1] B．[－4，3) C．[－1，3) D．[－1，3]
2．已知b＞0，则“a＞b＋1”是“＞＋1”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数f(x)＝的部分图象大致为

4．在△ABC中，内角A，B，c所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定三角形有两解的是
A．a＝5，b＝4，A＝ B．a＝4，b＝5，A＝
C．a＝5，b＝4，A＝ D．a＝4，b＝5，A＝
5．通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18°表示，即＝2sin18°．记m＝2sin18°，则＝
A．－ B．－2 C． D．
6．已知过点A(a，0)作曲线y＝(1－x)ex的切线有且仅有1条，则a＝
A．－3 B．3 C．－3或1 D．3或1
7．设a＝，b＝ln，c＝sin，则
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
8．如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l(l＜r)．为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB．若当0＜x＜时，sinx≈x－，扇形OAB的面积记为S，则的值约为
A．－ B．－
C．－ D．－
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．设a＞0，b＞0，a＋b＝1，则下列不等式中一定成立的是
A．ab≤ B．＋≥
C．2a＋2b≥2 D．≥8
10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，则
A．ω＝2
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)＝2cos(2x－)
D．f(x)在[－，－]上的值域为[－2，1]





11．对于定义域为[0，＋∞)的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①∀x∈[0，＋∞)，f(x)≥0；②∀x≥0，y≥0，f(x＋y)≥f(x)＋f(y)，则称函数f(x)为“H函数”．下列结论正确的是
A．若f(x)为“H函数”，则其图象恒过定点(0，0)
B．函数在[0，＋∞)上是“H函数”
C．函数f(x)＝[x]在[0，＋∞)上是“H函数”([x]表示不大于x的最大整数)
D．若f(x)为“H函数”，则f(x)一定是[0，＋∞)上的增函数
12．已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2和g(x)＝lnx＋x－2的零点，则
A．x1＋x2＝2 B．e＋lnx2＝2
C．x1x2＞ D．x12＋x22＜3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若sin(α＋)＝，则tanα＋＝ ．
14．已知△ABC的面积为2，AB＝2，AC＝4，则△ABC的中线AD长的一个值为 ．
15．某容量为V万立方米的小型湖，由于周边商业过度开发，长期大量排放污染物，水质变差，今年政府准备治理，用没有污染的水进行冲洗．假设每天流进和流出的水均为r万立方米，下雨和蒸发正好平衡．用函数g(t)表示经过t天后的湖水污染质量分数，已知g(t)＝g(0)×e，其中g(0)表示初始湖水污染质量分数．如果V＝200，r＝4，要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的10%以下，至少需要经过 天．
(参考数据：ln10≈2.303)
16．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f′(－x)＞2f(x)，且f(3)＝0，则不等式f(x)＞0的解集为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(10分)
已知数列{an}满足a1＝，a2＝1，2an＋2－an＝an＋1．
(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．










18．(12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
(1)若C＝2A，a＝2，b＝3，求c；
(2)若a2＋b2＝c2，求证：3tanA＝2tanC．











19．(12分)
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC＝60°，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2．
(1)若D为A1C的中点，求证：AD⊥A1B；
(2)求二面角A－A1C－B1的正弦值．






20．(12分)
某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制(一方先胜三局即获胜，比赛结束)，比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分．已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为．
(1)在一场比赛中，甲的积分为X，求X的概率分布列；
(2)求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率．








21．(12分)
已知A′，A分别是椭圆C：(a＞b＞0)的左、右顶点，B，F分别是C的上顶点和左焦点．点P在C上，满足PF⊥A′A，AB∥OP，|FA′|＝2－．
(1)求C的方程；
(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．






22．(12分)
设函数f(x)＝xlnx，g(x)＝．
(1)若直线y＝x＋b是曲线f(x)的一条切线，求b的值；
(2)证明：①当0＜x＜1时，g(x)×f(x)＞x(x－1)；
②∀x＞0，g(x)－f(x)＜．(e是自然对数的底数，e≈2.718)




参考答案：
1．C
【分析】首先通过求解分式不等式化简集合，然后利用指数函数的单调性化简集合，最后利用集合间的交运算即可求解.
【详解】∵
∴
由指数函数的单调性可知，，
从而，
故.
故选：C.
2．B
【解析】从充分性和必要性两方面进行讨论即可.
【详解】充分性：当，时充分性不成立；
必要性：由可得，即，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本题主要考查充要条件的判定，涉及到不等式的性质，属于基础题.
3．C
【分析】结合已知条件，利用函数奇偶性可判断B；通过判断在上的符号可判断D；通过判断在上的零点个数可判断AC.
【详解】由题意可知，的定义域为，
因为，所以，
故为奇函数，从而的图像关于原点对称，故B错误；
当时，且，此时，故D错误；
因为在上有无数个零点，
所以在上也有无数个零点，故A错误，C正确.
故选：C.
4．B
【分析】结合已知条件和正弦定理即可求解.
【详解】对于A：由正弦定理可知，
∵，∴，故三角形有一解；
对于B：由正弦定理可知，，
∵，∴，故三角形有两解；
对于C：由正弦定理可知，
∵为钝角，∴B一定为锐角，故三角形有一解；
对于D：由正弦定理可知，，故故三角形无解.
故选：B.
5．C
【分析】将代入，根据恒等变换公式化简，即可求得结果.
【详解】，




故选:C.
6．C
【分析】设出切点，对函数求导得出切线的斜率，利用点斜式方程写出切线，将点代入，并将切线有且仅有条，转化为方程只有一个根，列方程求解即可．
【详解】设切点为，
由已知得，则切线斜率，切线方程为
直线过点，则，化简得
切线有且仅有条，即，化简得，即，解得或
故选：C
7．C
【分析】根据，判断的大小，由，构造函数，利用导数判断单调性，即可得到.
【详解】由不等式可得，即；，
设，
因为，所以在上单调递增，
所以当，所以，即.
所以.
故选：C
8．B
【分析】由题可得，再根据扇形面积公式可得，结合条件即得.
【详解】设扇形的圆心角为，则，
在中，，
又，
∴，又，
∴.
故选：B.
9．ACD
【分析】利用基本不等式及其变形求最值即可判断.
【详解】A选项：，当且仅当时，等号成立，故A正确；
B选项：，所以，当且仅当时，等号成立，故B错；
C选项：，当且仅当时，等号成立，故C正确；
D选项：，当且仅当，即，时，等号成立，故D正确.
故选：ACD.
10．AC
【分析】结合函数图像求出的解析式，进而判断AC；利用代入检验法可判断B；利用换元法和三角函数性质求出在上的值域可判断D.
【详解】由图像可知，，，故A正确；
从而，
又由，，
因为，所以，
从而，故C正确；
因为，
所以不是的对称轴，故B错误；
当时，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，，所以，
故，即，
从而，
即在上的值域为，故D错误.
故选：AC.
11．AC
【分析】结合函数新定义的概念利用赋值法即可求解.
【详解】对于A：不妨令，则，
因为，，所以，
故，故A正确；
对于B：不妨令，，
则，，，即，
这与，，矛盾，故B错误；
对于C：由题意可知，，，
不妨令，其中为整数部分，为小数部分，则；
再令，其中为整数部分，为小数部分，则；
若，则；
若，则，
从而，，成立，故C正确；
对于D：由题意可知，常函数为“H函数”，但不是增函数，故D错误.
故选：AC.
12．ABD
【分析】把函数的零点转化两个函数图像交点的横坐标，再结合反函数图像的特点得到点和关于点对称，根据可判断A、B选项；结合基本不等式可以判断C选项；利用特殊值的思路得到的范围即可判断D选项.
【详解】因为，分别是函数，的零点，所以，，那么，可以看做函数和与函数图像交点的横坐标，

如图所示，点，，分别为函数，，的图像与函数图像的交点，所以，因为函数和互为反函数，所以函数图像关于的图像对称，的图像也关于的图像对称，所以点和关于点对称，，，故AB正确；
因为，，所以，而，故C错；
当时，函数对应的函数值为，函数对应的函数值为，因为
，所以，
所以的范围为，那么，而，所以，故D正确.
故选：ABD.
13．4
【分析】根据展开可得，从而求得，再由，即可得到结果.
【详解】因为，即
所以，平方可得，所以，
所以
故答案为：
14．或
【分析】结合已知条件和三角形面积公式求，然后利用余弦定理即可求解.
【详解】因为的面积为，
所以，
故或；
①当时，，
故，
因为，所以，
故；
②当时，，
故，
在中，由余弦定理可知，
在中，由余弦定理可知，，
故.
综上所述，的中线长为或.
故答案为：或.
15．116
【分析】根据题意列不等式，再结合对数计算公式解不等式即可.
【详解】设至少需要经过天，因为要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的10%以下，所以，又因为，所以，由题意知，，，所以，整理得，，解得，所以至少需要经过116天.
故答案为：116.
16．
【分析】利用奇函数的性质得到，再根据不等式构造函数，分析函数在时的单调性，根据单调性、奇偶性和解不等式即可.
【详解】因为为奇函数，定义域为，所以，，
又因为时，，所以，
构造函数，所以，
所以当时，，在上单调递增，
又因为，所以，在上大于零，在上小于零，
又因为，所以当时，在上大于零，在上小于零，因为为奇函数，所以当时，在上小于零，在上大于零，
综上所述：的解集为.
故答案为：.
【点睛】常见的函数构造形式：
①，；
②，.
17．(1)见解析
(2)

【分析】(1)结合递推公式利用等比数列的定义证明即可；(2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式即可求解.
（1）
因为，所以，
从而，
因为，，所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）
由(1)可知，，
故当时，，，，，，
由各式相加可知，，
故，
当时，也满足，
故数列的通项公式为：.
18．(1)
(2)见解析

【分析】（1）由三角形内角和，可表示出角，根据三角恒等式，结合正弦定理，可得的值，根据二倍角式，进而可得，由余弦定理，可得答案；
（2）由题意，结合余弦定理与正弦定理，根据同角三角函数的关系式，可得答案.
（1）
，，则
，，，
，
由正弦定理，可得：，则，
可得，解得，则，
由余弦定理，，故.
（2）
，，，
由余弦定理，①，
②，
①与②相除可得：，
，两边同除以，可得.
19．(1)见解析
(2)

【分析】(1)结合已知条件和平面几何关系知，然后利用面面垂直性质和线面垂直性质可知，最后利用线面垂直判定和性质即可证明；(2)取的中点，然后利用面面垂直性质证明底面，再建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，最后利用二面角的向量公式即可求解.
（1）
∵侧面是菱形，∴，
∵为的中点，∴，
∵侧面底面，侧面底面，，底面，
∴侧面，
∵侧面，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴.
（2）
取中点，连接，从而，
又由，则，
∵侧面底面，侧面底面，
∴底面，
以为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图：

由已知条件和上图可知，，，，，
由题意可知，为平面的一个法向量，
不妨设平面的一个法向量，
因为，，
从而，
令，则，，即，
设二面角为，由图可知为钝角，
从而，即，
故二面角的正弦值为.
20．(1)见解析
(2)

【分析】(1)结合已知条件，可能取值为，，，，然后分析每种积分对应的输赢情况，然后利用二项分布和独立事件的概率乘法求解即可；(2)结合(1)中结论，分析积分之和为5时三场比赛的积分情况，然后利用独立事件的概率乘法求解即可.
（1）
由题意可知，可能取值为，，， ，
当时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输，
则，
当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输，
则；
当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢，
则，
当时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢，
则，
故的概率分布列如下：

0
1
2
3






（2）
设甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为事件，
则甲的三场比赛积分分别为1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，
故，
故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为.
21．(1)
(2)证明见解析，定值为

【分析】（1）根据可设，根据，利用斜率相等且在椭圆上列式可得椭圆基本量的关系，再根据求解基本量即可；
（2）由题意设：，联立直线与椭圆的方程，得出韦达定理，再表达出，结合韦达定理求解即可.
（1）
因为，故可设，因为，故，即，解得.
又在椭圆上，故，解得，故.
又，故，故，.
故的方程为.
（2）
因为椭圆方程为，故，当斜率为0时或重合，不满足题意，故可设：.
联立可得，设，则.
故


故定值为
【点睛】本题主要考查了椭圆中基本量的求解，同时也考查了联立直线与椭圆的方程，得出韦达定理表达目标表达式，再化简求解的问题，为方便计算，当直线过的定点在轴时可设直线的横截距式，同时注意韦达定理中的关系进行化简.属于难题.
22．(1)
(2)①证明见解析②证明见解析

【分析】(1)首先利用导函数的几何意义求出切点，再将切点代入切线即可求出；
(2)①将原不等式化简为，然后利用导函数求在上的最大值大于0即可；②结合①中条件，利用放缩法只需证明，然后利用隐零点证明不等式在上恒成立即可，最后结合和的单调性即可证明原不等式在上恒成立.
（1）
由，则，
设在上的切点为，
从而，
故在上的切点为，
将代入得，，
故的值为.
（2）
①当时，，
不妨令，则，
故在上单调递减，
从而对，都有，
故当时，.
②(i)由①知，当时，，
从而，
故，
欲证，只需证，
则，
令，则，
从而在上单调递减，
因为，，
由零点存在的基本定理可知，，使得，
从而，
结合在上单调递减可知，；，
故在上单调递增，在上单调递减，
从而，
故，
即当时，；
(ii) 由，从而在上单调递增，
故当时，，
又因为在上单调递增，
故当时，，
当时，，此时，
综上所述，，.
【点睛】利用隐零点证明不等式需要注意的地方：
一、在利用隐零点求函数最值的时候，一定要精确隐零点所在区间的端点值，否则在证明的时候放缩过大或过小都很难求证；
二、二分法是一种精确隐零点所在区间的一种较好的方法.