2023届河北省九师联盟高三上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023届河北省九师联盟高三上学期10月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河北省九师联盟高三上学期10月月考数学试题 一、单选题1．已知命题，则为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意，根据全称命题的否定定义，可得答案.【详解】因为，所以为．故选：D．2．如图所示的时钟显示的时刻为4：30，设半个小时后时针与分针的夹角为，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，根据时钟的特性，结合弧度制的写法，可得答案.【详解】半小时后是5：00整，时针指向5，分针指向12，．故选：B．3．设全集为U，A，B是U的子集，有以下四个关系式：甲：；乙：；丙：；丁：．若甲、乙、丙、丁中有且只有一个不成立，则不成立的是（    ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】四个关系式分别研究集合A，B的关系，找了符合题意的结论。【详解】由题意，甲：；乙：；丙：；丁：对任意的集合A，B均成立．若有且只有一个不成立，则必为乙．故选：B．4．函数的最小正周期为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，再结合平方关系及倍角公式和余弦函数的周期性即可得解.【详解】解：，所以的最小正周期．故选：C．5．如图是一个装满水的圆台形容器，若在底部开一个孔，并且任意相等时间间隔内所流出的水体积相等，记容器内水面的高度h随时间t变化的函数为，定义域为D，设分别表示在区间上的平均变化率，则（    ）A． B． C． D．无法确定的大小关系【答案】A【分析】根据容器形状，任意相等时间间隔内所流出的水体积相等，水面高度减小越来越快，还要注意变化量和变化率是负数，可判断出结果.【详解】由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的减小量越来越大，且高度h的变化率小于0，所以在区间上的平均变化率由大变小，即．故选：A．6．已知，且，则的最小值为（    ）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】D【分析】利用指数函数、对数函数的性质和运算法则，结合基本不等式直接求解.【详解】因为，所以，即，所以．因为，则，所以，，，则，，当且仅当时，等号均成立．故选：D．7．设，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数和，利用导数求解单调性，即可判断.【详解】当时，记，则 ，故在单调递增，故，因此得当时， ，故，即；，设，则，因为，当时，．所以在上单调递增，所以，即，所以．故选：A8．设函数的值域为A，若，则的零点个数最多是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】分别求出各段函数的单调性，结合函数图象分类讨论，分别求出函数的零点个数，即可判断；【详解】解：令，则在上单调递减；令，则．由，得或；由，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，于是，的极大值为，极小值为．在同一坐标系中作出函数和的图象，如下图：显然；由，得；由的解析式，得．（1）若，当时，，不符合题意；（2）若，当时，，不符合题意；（3）若，①当时，；②当时，，即．由①②，时符合题意．此时，结合图象可知，当时，在上没有零点，在上有2个零点；当时，在上有1个零点，在上有1个或2个零点，综上，最多有3个零点．故选：C． 二、多选题9．已知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用不等式的性质及特殊值法判断即可．【详解】解：对于非零实数，满足，则，即，故A一定成立；因为，故B一定成立；又，即，所以，故C一定成立；对于D：令，，满足，此时，故D不一定成立．故选：ABC10．下列式子正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】对A：根据辅助角公式即可求解；对B：根据二倍角余弦公式即可求解；对C：利用两角和的正切公式即可求解；对D：根据两角差的正切公式求出即可求解.【详解】解：对A：；对B：；对C：因为，所以；对D：因为，所以.故选：AC.11．已知函数，则（    ）A．的最小正周期为B．的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称C．当时，的单调递增区间为D．若函数在上存在零点，则a的取值范围是【答案】BD【分析】根据函数周期的定义，结合三角函数图象变换的性质、换元法、复合函数单调性的性质逐一判断即可.【详解】因为，所以时，，则A错误；对于B，因为，所以函数的图象关于直线对称，将的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称，则B正确；对于C，当时，，设，又函数在上单调递增，在上单调递减，由复合函数的单调性可知，当，且单调递增时单调递增，此时；当，且单调递减时，单调递增，此时，故函数的单调递增区间为和，则C错误；对于D，设，则，当时，，又在上存在零点，于是方程在上有解，即在上有解．易知在上单调递增，即，所以，则D正确．故选：BD．12．已知直线与曲线，则（    ）A．当时，l与C没有交点 B．当时，l与C有两个交点C．当时，l与C没有交点 D．当时，l与C有一个交点【答案】CD【分析】联立方程得，进而构造函数，求导得的单调性，进而可得的图象，根据图象与直线 交点情况即可逐一判断.【详解】由 得，即．设，则．当时，；当时，，故在上为减函数；在上为增函数．从而．当时，；当时，．如图，当，即时，l与C只有一个交点，则A错误；当，即时，l与C有两个交点，则B错误；当，即，即时，l与C没有交点，则C正确；当，即时，l与C有一个交点，则D正确．故选：CD． 三、填空题13．设，用表示不超过的最大整数，则“”是“”的______条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）【答案】必要不充分【分析】分析命题真假性，根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，即可得到答案.【详解】，即或，当时，可推出；但当时，如，，此时，所以“”不能推出“”，即充分性不成立.，即或，当时，必有；当时，可推出或，所以“”能推出“”，即必要性成立.所以“”是“”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.14．已知函数的值域为R，且在上单调递增，请写出一个满足题意的的解析式_____________．【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意，列出不等式，得到之间的关系，即可得到结果.【详解】由题意，得，可取，得（答案不唯一）．故答案为: （答案不唯一）15．如图，某商家欲在广场播放露天电影，幕布最高点A处离地面，最低点B处离地面．胡大爷的眼睛到地面的距离为，他带着高的小板凳去观影，由于观影人数众多，胡大爷决定站在板凳上观影，为了获得最佳观影效果（视角最大），胡大爷离幕布的水平距离应为_____________．【答案】【分析】根据直角三角形锐角三角函数可得，进而根据两角差的正切公式表达，利用基本不等式即可求解最值.【详解】过点C作于D，设，则，胡大爷站在板凳上眼睛到地面的距离为．在和中，，则（当且仅当时等号成立），又，则当时，视角最大．即胡大爷离幕布的水平距离为时，观影效果最佳．故答案为：16．如图是函数的部分图象，A是图象的一个最高点，D是图象与y轴的交点，B，C是图象与x轴的交点，且，的面积等于．若时，关于x的方程恰有3个不同的实数根，则m的取值范围是_____________．【答案】【分析】根据三角函数的图象特征可求解析式为，根据以及 有一共3个交点即可求解.【详解】由题意可得，设的最小正周期为T，则，即．所以，又图象过点，则，又因为，所以，所以，当时，，在上先增后减再增，且，由，解得在上有2个不同的实数根，所以需要有1个实数根，此时，或，故m的取值范围为．故答案为： 四、解答题17．已知集合．(1)若，求实数a的取值范围；(2)若命题p：“”是假命题，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据集合表示函数的定义域，故问题转化为对恒成立，利用判别式即可求解.（2）将问题转化为，进一步转化为在恒成立，结合二次函数的性质即可求解.【详解】(1)因为，所以对恒成立．所以，即，解得，故实数a的取值范围为．(2)由于 ，因为p：“”是假命题，所以．因此问题等价于在恒成立，得即可 解得．故实数a的取值范围．18．已知．(1)求的值；(2)若，且，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由诱导公式化简后得，再由同角三角函数基本关系化简求解，（2）由两角差的正余弦公式求解【详解】(1)，解得，所以．(2)由（1）知，又因为，所以；因为，所以，又，所以，于是，又，所以．19．设为函数的导函数，已知，且的图像经过点．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在上的单调区间．【答案】(1)(2)单调递增区间为和；单调递减区间为 【分析】(1)求导，计算得到切线斜率，点斜式求切线方程.(2)求出函数解析式，求导函数，由导函数的正负解得原函数的单调区间.【详解】(1)，则，得．由题意，可得曲线在点处的切线方程为，即．(2)由已知得．又由（1）知，所以．故．，由，得，或；由，得．故在上的单调递增区间为和；单调递减区间为．20．已知函数的定义域为R，且．(1)判断的奇偶性及在上的单调性，并分别用定义进行证明；(2)若对恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)为偶函数，在上单调递增，证明见解析(2) 【分析】（1）令，则，可得，然后用定义法证明其奇偶性与单调性即可.（2）令，整理可得，先讨论的情况，然后分离参数，转化为最值，即可得到结果.【详解】(1)令，则．由题意，即．为偶函数，证明如下：函数的定义域为R．因为，都有，且，所以函数为偶函数．在上单调递增，证明如下：，且，有，由，且，得．于是，即．所以函数在上单调递增．(2)令，由（1）得．由，得，即，整理，得对恒成立，当时，，此时；当时，．因为（当且仅当时等号成立），所以．综上，实数a的取值范围为．21．已知函数．(1)当时，求的单调递增区间；(2)设函数，若是的零点，直线是图象的对称轴，且在区间上无最值，求的最大值．【答案】(1)；(2)7. 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数解析式，由正弦型函数的单调区间求解即可；（2）化简函数解析式求出，由所给零点、对称轴列出方程，化简求出为正奇数，再由条件得出函数周期范围，根据周期与关系求出范围，分别从大到小讨论取值时，在上有无最值即可得解.【详解】(1)，令，解得，故的单调递增区间为．(2)，由题意，得，因为为的零点，直线为图象的对称轴，所以①，②，，②-①，得，所以，因为，所以，从而为正奇数，因为在上无最值，则，这里T为的最小正周期，即，解得．当时，，因为，所以，此时，当时，，所以当，即时，取得最小值，不满足题意；当时，，因为，所以，此时，当时，，此时在上无最值，符合题意．故的最大值为7．22．已知函数．(1)当时，求函数的极值；(2)若恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)极大值为；极小值为(2) 【分析】（1）求定义域，求导，根据导函数的正负求出函数的极值情况；（2）不等式变形为，构造，求导后得到，对分类讨论，分，，三种情况，求出每种情况下的实数a的取值范围，最终求出答案.【详解】(1)当时，，定义域为，令，得，或．当x变化时，的变化情况如下：x+0-0+单调递增单调递减单调递减 因此当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为．(2)等价于．令，则，（ⅰ）若，对于函数，有，所以恒成立，故当时，不等式恒成立．（ⅱ）若，当时，，所以，故不等式恒成立；现探究当时的情况：当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点．要使不等式成立，只需，解得：．故当时，不等式恒成立．（ⅲ）若，当时，，所以，故不等式恒成立；现探究当时的情况：当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点．要使不等式成立，只需，即．设，则化为．因为，所以在上为增函数，于是，由及，得．故当时，不等式恒成立．综上，实数a的取值范围为．【点睛】本题为导函数求解参数取值范围问题，结合题目特征，进行分类讨论，本题难点在于的处理方法，采用同构的思想，构造函数，得到其单调性求出参数的取值范围.