2023届四川省绵阳南山中学高三上学期9月月考数学（理）试题含答案

2023届四川省绵阳南山中学高三上学期9月月考数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用集合的交并补运算，先求，再求即可.

【详解】并集及其运算

集合，

.

故选：C.

2．已知命题﹔命题，则下列命题中为真命题的是（     ）

A．p真q真 B．p真q假 C．p假q真 D．p假q假

【答案】A

【分析】分别判断命题和命题的真假即可.

【详解】对于命题：因为，所以，故命题为真命题；

对于命题：，故命题为真命题.

故选：A.

3．在中，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义求解作答.

【详解】在中，，则，必有，

而，满足，此时是直角三角形，不是等腰三角形，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

4．若，则（    ）

A． B． C．7 D．

【答案】B

【分析】由三角恒等式求出以及的值，再根据两角和的正切公式即可得结果.

【详解】因为，

所以，，

所以，

故选：B.

5．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间(单位：天)的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出=3.07，=6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(参考数据：ln2≈0.69)（    ）

A．1.5天 B．2天 C．2.5天 D．3.5天

【答案】B

【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.

【详解】因为，，，所以，所以，

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，

则，所以，所以，

所以天.

故选：B.

【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.

6．函数在区间上的图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先判断函数的奇偶性，然后代入计算，从而得正确答案.

【详解】，

为奇函数，排除A；

又，排除B；

，即，排除C，

故选：D

7．已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】由函数的图像关于点对称得到，结合是偶函数得到，进一步得到的周期是4，再利用周期性计算即可得到答案.

【详解】因为是上的偶函数，所以，

又的图象关于点对称，则，

所以，则，得，

即，所以是周期函数，且周期，

由时，，则，，，，

则，

则.

故选：C

8．若要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】D

【分析】利用诱导公式化简两个函数的表达式为同名函数，然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位，即可得解．

【详解】因为，

故将已知转化为要得到函数的图象，

又，

所以将的图象向右平移个单位长度即可得到的图象.

故选：D

9．已知，且，则α=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二倍角公式和逆用余弦的差角公式化简得到，结合得到，求出.

【详解】因为

所以，

整理得：，

因为，

所以，

所以，

解得：

故选：B

10．已知函数的最小值为， 则 （    ）

A． B． C．e D．

【答案】D

【分析】求出导函数，求出函数的最小值，列方程即得.

【详解】由，得，

当时，则，函数在上为减函数，函数无最小值，不合题意，

当时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

时，函数有最小值，

解得.

故选：D.

11．若函数为偶函数，对任意的，且，都有，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得函数在上递减，且关于对称，则，利用作差法比较三者之间的大小关系，再根据函数的单调性即可得解.

【详解】解：由对，且，都有，

所以函数在上递减，

又函数为偶函数，

所以函数关于对称，

所以，

又，

因为，

所以，

因为，

所以，

所以，

所以，

即.

故选：A.

12．设，，，则，，的大小关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由于，，，所以只要比较的大小即可，然后分别构造函数，，判断出其单调性，利用其单调性比较大小即可

【详解】因为，，，

所以只要比较的大小即可，

令，则，所以在 上递增，

所以，所以，

所以，即，

令，则，

因为在上为减函数，且，

所以当时，，

所以在上为减函数，

因为，，

要比较与的大小，只要比较与的大小，

令，则，

所以在上递增，所以，

所以当时，，所以，

所以，所以，

所以当时，，

所以在上递增，

所以，所以，

所以，所以，所以，

所以，

故选：D

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数比较大小，解题的关键是对已知的数变形，然后合理构造函数，通过导数判断函数的单调性，利用函数单调性比较大小，考查数转化思想和计算能力，属于难题

二、填空题

13．如果，那么___________.

【答案】1

【分析】根据题意，分式分子分母同除以由已知化弦为切求解．

【详解】由，

得．

故答案为：1．

14．设函数，若函数的图象在点处的切线方程为，则函数的单调增区间为__________．

【答案】

【分析】根据导数的几何意义，求出的值，然后根据导数与单调性的关系，令，即可求解.

【详解】解：因为，所以，

又因为函数的图象在点处的切线方程为，

所以，即，所以，

所以，

由，可得，

所以函数的单调增区间为.

故答案为：.

15．设函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为______．

【答案】

【分析】作出函数的图象，令，结合图象可得，方程在内有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得；

【详解】作出函数的大致图象，

令，因为恰有6个不同的实数解，

所以在区间上有2个不同的实数解，

，

解得，

实数的取值范围为．

故答案为：．

16．设函数，已知在上有且仅有2023个极值点，则的取值范围是___________

【答案】

【分析】通过三角恒等变换公式及辅助角公式化简，得到，所以令，并求出，画出在的图像，又因为在上有且仅有2023个极值点，且每个周期有两个极值点，所以推出，从而求出的取值范围

【详解】

当时，，

令，则，

作出函数的图象如图所示：

由于函数在上有且仅有2023个极值点，

则，解得.

故答案为：

三、解答题

17．已知函数．

(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；

(2)若将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，求函数在区间上的值域．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，代入最小正周期运算求解，再以为整体结合正弦函数可得，运算求解的单调递减区间；（2）根据图像变换可得，以为整体结合正弦函数图像求值域．

【详解】(1)

∴的最小正周期为

∵，则

∴的单调递减区间为

(2)根据题意可得：将函数的图象向右平移个单位长度，得到

再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)，则

∵，则

∴，则

即函数在区间上的值域为．

18．已知函数，且在和处取得极值.

(1)求函数的解析式；

(2)设函数，若有且仅有一个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）求导，根据在和处取得极值，可得，解之即可得解；

（2）利用导数求出函数的单调区间及极值，由此结合题意列出不等式，从而可得出答案.

【详解】(1)解：，

因为在和处取得极值，

所以和是方程＝0的两个根，

则，解得，经检验符合已知条件，

所以；

(2)解：由题意知，

当或时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以，

又取足够大的正数时，，取足够小的负数时，，

因此，为使曲线与轴有一个交点，结合的单调性，

得：或，

∴或，

即当或时，使得曲线与轴有一个交点.

19．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米.

(1)求线段的长度；

(2)若，求两条观光线路与所围成的面积的最大值.

【答案】(1)3千米

(2)平方千米

【分析】（1）在中，利用余弦定理即可求解；

（2）设，则，在中，由正弦定理可得，，则由整理可得，结合的范围，即可求解.

【详解】(1)在中，由余弦定理得，

，

所以，

所以线段的长度为3千米.

(2)设，因为，所以，

在中，由正弦定理得，

，

所以，，

因此

，

因为，所以.

所以当，即时，所围成的面积的最大值为.

所以两条观光线路与所围成的面积的最大值为平方千米．

20．已知，，分别为锐角△三个内角，，的对边，记三角形的面积为，若.

(1)求角的大小；

(2)若，试求△周长的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）使用余弦定理和三角形面积公式化简即可；

（2）使用正弦定理将边化角，再利用三角形内角和为和辅助角公式，将周长转化为一个内角为变量的最值问题，由角的范围进行求解.

【详解】(1)由余弦定理得，

∴，

∵三角形面积，∴

∴，

∵，∴.

∴角的大小为.

(2)由正弦定理及（1）得，

∴，

.

∴

在锐角△中，，，

又∵，∴，∴

综上，

∴，

∴

∴△周长的取值范围为.

21．已知函数（为自然对数的底数），.

(1)若在单调递减，求实数的取值范围；

(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知可将问题转化为在上恒成立，进而参变分离转化求函数的最值可得结果；

（2）由已知得到问题的等价不等式对一切恒成立，进而参变分离得到对一切恒成立，构造新函数，求最值即可.

【详解】(1)解：在单调递减，

在上恒成立，即在上恒成立，

设，，需即可，

，，则，

在单调递增，

，

故；

(2)由题意，不等式对恒成立，则对一切恒成立，

，所以，

原命题等价于对一切恒成立，

对一切恒成立，

令，，

，

令，则对恒成立，

在上单增，

又，

使，即①，

当时，，即在递减，

当时，，即在递增，

，

由①，，

设，，则，

函数在单调递增，

即，

，

实数的取值范围为.

【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，可对不等式进行转化，然后利用构造函数法，结合导数求得所构造函数的单调性、极值、最值等，从而求得参数的取值范围.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求的普通方程和的直角坐标方程；

(2)若与交于相异两点A，B，且，求m的值.

【答案】(1)，

(2)或

【分析】（1）平方消参得到的普通方程，利用直角坐标和极坐标互化公式求出的直角坐标方程；

（2）由（1）中求出的直角坐标方程，结合垂径定理求解

【详解】(1)在的参数方程中消去参数，得的普通方程为；

由得，

又，所以的直角坐标方程为.

(2)由（1）知曲线是以为圆心，2为半径的圆，曲线为直线，

则圆心到曲线的距离，

因为，所以，

解得：，或.

23．已知函数．

(1)求不等式的解集M；

(2)设M中的最小的数为m，正数a，b满足，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用零点分段法求解绝对值不等式；

（2）在第一问的基础上求出，再对不等式变形，利用基本不等式求出其最小值.

【详解】(1)原不等式可化为或或

解得:或或．

综上所述，原不等式的解集为．

(2)由（1）可知，所以，

所以

，

当且仅当时等号成立．

所以的最小值为