2023届河南省高三上学期阶段性测试（四）数学（理）试题含答案

这是一份2023届河南省高三上学期阶段性测试（四）数学（理）试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河南省高三上学期阶段性测试（四）数学（理）试题 一、单选题1．设集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数函数的性质解得集合B，然后根据集合运算得解.【详解】因为，所以.故选：B.2．的内角的对边分别是，若，且的面积为，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据三角形面积公式，即可求解.【详解】因为，所以，解得.故选：C3．已知点在函数的图象上，且在第二象限内，若的图象在点处的切线斜率为1，则点的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出导函数，设，由求得（注意点在第二象限）即可得．【详解】设点，因为，所以，由，得，又，所以点的坐标为.故选：A．4．已知分别为的内角的对边，命题：若，则为钝角三角形，命题：若，则.下列命题为真命题的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别判断两个命题的真假，再根据选项判断复合命题的真假.【详解】因为，所以，则为真命题.因为，所以，又在上是减函数，所以，则为假命题，只有为真命题.故选：B5．由三角形的三边求出该三角形的面积，在古代很长一段时间都是个困难的问题.古希腊数学家海伦在他的著作《测地术》中证明了公式，其中，这个公式叫海伦公式.现有一个周长为24的等腰三角形，其最长边比最短边大6，则这个三角形的面积为（    ）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】首先设等腰三角形底边长为，讨论是否为最短边，利用周长求出，再代入面积公式，即可求解.【详解】设等腰三角形的底边为，当是最短边时，，由，得，所以，则.当是最长边时，，由，得，所以，因为，所以不能构成三角形.故选：D6．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（    ）A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在【答案】C【分析】根据三角形面积公式，得到的关系，赋值得到的值，再根据余弦定理判断三角形的形状.【详解】设的内角的对边分别是，且边上的高分别为，则，令，则，所以，所以为钝角，又，所以该三角形是钝角三角形.故选：C7．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】通过函数解析式分析每个分段的值域，因为，值域为，所以，的值域应包含，所以判断出函数的单调性和的正负，从而求出实数的取值范围【详解】当时，，其值域为，当时，的值域应包含，所以为减函数，所以，且，解得.故选：A8．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶过程中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的解析式可以表示为.若甲、乙两地相距千米，当从甲地到乙地耗油最少时，汽车匀速行驶的速度是（    ）A．70千米/小时 B．80千米/小时 C．90千米/小时 D．100千米/小时【答案】C【分析】写出耗油量与行驶速度的函数解析式，利用导数求解函数单调性，从而可得函数的最小值.【详解】当速度为千米/小时，汽车从甲地到乙地需行驶小时，设耗油量为升，依题意得，则.令，得，当时，，是减函数，当时，，是增函数.所以当时，函数取最小值，即汽车匀速行驶的速度是90千米/小时时，从甲地到乙地耗油最少.故选：C【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．9．某干燥塔的底面是半径为1的圆面，圆面有一个内接正方形框架，在圆的劣弧上有一点，现在从点出发，安装三根热管，则三根热管的长度和的最大值为（    ）A．4 B． C． D．【答案】B【分析】设，利用辅助角公式表达出，从而求出三根热管的长度和的最大值.【详解】如图，连接，设，则，可得:，其中，所以，由的范围可以取到最大值.故选：B10．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点、、是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的解析式，作出函数、的图象，设、、为连续相邻的三个交点，（不妨设在轴下方），为的中点，求出、，分析可知，可得出关于的不等式，解之即可.【详解】由题意可得，作出函数、的图象如下图所示：设、、为连续相邻的三个交点，（不妨设在轴下方），为的中点，由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，所以，由，整理得，所以，则，所以，，则，所以，要使为锐角三角形，，所以，，，解得.故选：D.11．已知函数若方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先画出函数的图象，再通过换元，得，结合函数的图象，利用根的个数，确定方程根的分布，即可求解的取值范围.【详解】函数的大致图象如图所示，令，则可化为，因为方程有5个不同的实数解，所以在上各有一个实数解或的一个解为，另一个解在内或的一个解为，另一个解在内.当在上各有一个实数解时，设，则解得；当的一个解为时，，此时方程的另一个解为，不在内，不满足题意；当的一个解为时，，此时方程有两个相等的根，不满足题意.综上可知，实数的取值范围为.故选：A12．已知函数，若，则（    ）A．为奇函数 B．在上为增函数C． D．【答案】C【分析】根据奇偶函数的定义，结合导数的性质、奇偶函数的单调性的性质逐一判断即可.【详解】因为，所以为偶函数，故A错误；，当时，，所以，当时，，所以，所以在上单调递增，因为为偶函数，所以在上为减函数，故B错误；因为，所以，又因为在上递增，所以，即，故C正确；显然不一定成立，则不成立，故错误.故选：C【点睛】关键点睛：根据偶函数单调性的性质进行求解是解题的关键. 二、填空题13．集合且的所有非空真子集的个数为___________.【答案】6【分析】首先求集合的元素个数，再根据公式求解.【详解】因为且，所以该集合的所有非空真子集的个数为.故答案为：614．已知，则是的条件___________.（在充分不必要､必要不充分､充要､既不充分也不必要中选一个正确的填入）【答案】必要不充分【分析】首先根据题意得到，从而得到，即可得到答案.【详解】，当时，，解集不是，舍去，当时，，解得.综上：.因为，所以是的必要不充分条件.故答案为：必要不充分15．在平面直角坐标系中，将向量绕原点按顺时针方向旋转后得到向量，则___________.【答案】【分析】求出的模及对应的角，即可得旋转后的角，进而算出坐标.【详解】设以轴正半轴为始边，为终边对应的角为，根据题意得，，，则，向量绕原点按顺时针方向旋转后，，从而.故答案为：416．当时，函数和有意义，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】函数有意义，则有，分离参数得，分别讨论不含参数部分最值，即可确定的取值范围【详解】由题意知，当时，不等式组成立.对于，整理得，令，则，当时，单调递增;时，单调递减，所以，则，解得；对于，整理得，由于在上的最小值为2，所以，解得.综上可得.故答案为：. 三、解答题17．已知集合为全体实数集，或，.(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用补集和交集的定义可求得结果；（2）分析可知，分、两种情况讨论，结合题意可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.【详解】(1)解：当时，，且，因此，.(2)解：因为，所以.当时，即时，，此时满足，合乎题意；当时，即时，，则有或，即或，此时.所以实数的取值范围为.18．的内角的对边分别是，且.(1)求的值；(2)当时，求的长.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据二倍角公式计算可得.（2）根据正弦定理得，所以.由二倍角公式得，分两种情况根据余弦定理得解.【详解】(1)因为，所以，因为，所以.(2)因为，所以，又，所以.由及，得.当时，由，得，化简得，解得.当时，由，化简得，解得.所以或19．时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生课外学习的一种趋势，假设某网校套题的每日销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足关系式，其中为常数.已知当销售价格为5元/套时，每日可售出53千套.(1)求的值；(2)假设该网校的员工工资､办公损耗等所有开销折合为每套题3元（只考虑售出的套数），试确定销售价格，使得该网校每日销售套题所获得的利润最大.【答案】(1)(2)当时，该网校每日销售套题所获得的利润最大 【分析】（1）根据题意得到，再解方程即可；（2）根据题意得到每日获得的利润，再利用导数求解最大值即可.【详解】(1)因为当时，，所以，解得.(2)由（1）可知套题每日的销售量，所以每日获得的利润，从而.令，得.在区间上，单调递增；在区间上，单调递减.当时，该网校每日销售套题所获得的利润最大.20．函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式，并求出图象的对称轴方程.(2)是否存在实数，使得函数在上恰有2023个零点？若存在，求出和对应的的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)，(2)存在，当或时，；当时， 【分析】（1）由图可得，由周期公式可得由图可得，的图象过点可得，求出的解析式可得对称轴方程；（2）由（1）可得的图象与直线在上恰有2023个交点，分或、或、或、讨论可得答案.【详解】(1)由图可得，所以，因为的图象过点，所以，又，所以，则，所求对称轴方程为，即；(2)由（1）可得的图象与直线在上恰有2023个交点，且函数的周期是，当时，.①当或时，的图象与直线在上无交点.②当或时，的图象与直线在上仅有一个交点，且在区间内部，根据周期性，在区间上各有一个交点.此时的图象与直线在上恰有2023个交点，则.③当或时，的图象与直线在上恰有2个交点，且在区间内部，根据周期性，在区间上各有2个交点.故的图象与直线在上有偶数个交点，不可能有2023个交点.④当时，的图象与直线在上恰有3个交点，且三个交点的横坐标为，根据周期性，在区间上各有2个交点.由，解得，要使的图象与直线在上有2023个交点，此时.综上，当或时，；当时，.21．已知是定义在上的偶函数，且.(1)求的解析式；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)设，若存在，对任意的，都有，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用偶函数定义可得参数值，从而的解析式；（2）易知在上单调递增，逆用单调性化为具体不等式问题，参变分离求最值即可；（3）原问题等价于在上的最小值不大于在上的最小值.【详解】(1)由题意知，即，所以，故.(2)由（1）知，，易知在上单调递增，所以不等式恒成立，等价于，即恒成立.又，当且仅当时，等号成立，所以，即实数的取值范围是.(3)因为存在，对任意的，都有，所以在上的最小值不大于在上的最小值.因为在上单调递增，所以当时，.图象的对称轴方程为，当时，在上单调递增，，解得，所以；当时，在上单调递减，在上单调递增，，解得；当时，在上单调递减，，解得，所以.综上，实数的取值范围是.22．设函数，其中.(1)当时，求的极大值；(2)若不等式在区间上恒成立，证明：.【答案】(1)极大值为(2)证明见解析 【分析】（1）两次求导，分析导函数的单调性，即可得到的极大值；（2）不等式在区间上恒成立，即不等式在区间上恒成立，设，研究函数的单调性，求出函数的最值，即可做出判断.【详解】(1)当时，，则，令，得，令，得，所以在上为增函数，在上为减函数，，所以在上有一个零点，设为，在上的零点为0.令，得，令，得或，所以在上为减函数，在上为增函数，故的极大值为.(2)证明：不等式在区间上恒成立，即不等式在区间上恒成立，设，要使有意义，则，所以，.当时，，则在上为减函数，，所以，则，令在上为增函数，，所以，故命题成立.当时，令，得，令，得，所以在上为增函数，在上为减函数，则的最大值为，因为，所以，且.①当时，，则，所以，故命题成立；②当时，，则，所以，要证，即证，需证.设，即需证.，令，易知在上单调递增，因为，故在上有唯一零点，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故命题成立.综上，命题成立.【点睛】方法点睛：证明不等式往往转化为新函数的最值问题，本题的关键是研究函数的单调性，合理的分类讨论.