2023届北京市第四中学高三上学期开学测试数学试题含答案

2023届北京市第四中学高三上学期开学测试

数学

一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）

1. 集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

2. 复数的虚部是（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】A

3. 已知命题 p：∀x∈R，cosx≤1，则（　　）

A. ￢p：∃x0∈R，cosx0≥1 B. ￢p：∀x∈R，cosx≥1

C. ￢p：∀x∈R，cosx＞1 D. ￢p：∃x0∈R，cosx0＞1

【答案】D

4. 设，，，则

A.  B.  C.  D.

【答案】D

5. 对于直线，和平面，，使成立的一个充分条件是

A. ，∥ B. ∥，

C. ，， D. ，，

【答案】C

6. 在下列关于四个条件中选择一个，能够使角被唯一确定的是：（    ）

①

②；

③；

④.

A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ②③④

【答案】B

7. 已知数列满足，，(，，)，则“”是“数列为等差数列”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

8. 某购物网站在2017年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为(　　)

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

【答案】C

9. 已知圆的方程，过作直线与圆交于点，且关于直线对称，则直线的斜率等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

10. 已知函数，在下列结论中：

①是的一个周期；

②在上单调递减；

③的图象关于直线对称；

④的图象关于点对称.

正确结论的个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）

11. 若双曲线的离心率为2，则___________，双曲线的渐近线方程为___________.

【答案】    ①.     ②.

12. 设多项式，则___________，___________.

【答案】    ①. -10    ②. 528

13. 数列满足，且对任意的，都有，则___________；的前项和___________.

【答案】    ①. 8    ②.

14. 已知函数，有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________．

【答案】

15. 已知函数，任取，定义集合：

，点，满足

设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记， 则

（1）函数的最大值是______；

（2）函数的单调递增区间为______．

【答案】    ①. 2    ②.

三､解答题（本大题共6小题，共85分.）

16. 已知函数的最小正周期为.

（1）求的值和函数的单调递减区间；

（2）求函数图像的对称轴方程和对称中心坐标.

【答案】（1）；单调递减区间为，.   

（2）对称轴方程为，；对称中心坐标为，.

【解析】

【分析】（1）先利用二倍角公式、辅助角公式将函数表达式化为，再利用周期公式求出值，再利用求其单调递减区间；

（2）分别令、进行求解即可.

【小问1详解】

因为

，

因为函数的最小正周期为，

所以，解得，

即，

令，，

解得，，

即的单调递减区间为，.

【小问2详解】

令，，

解得，，

所以函数图像的对称轴方程为，；

令，，

解得，，

所以函数图像的对称中心坐标为，.

17. 汽车租赁公司为了调查两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：

（1）从出租天数为3天的汽车（仅限两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；

（2）根据这个星期的统计数据（用频率估计概率），求该公司一辆型车，一辆型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；

（3）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.

【答案】（1）0.6    （2）   

（3）,理由见解析.

【解析】

【分析】（1）利用古典概型的概率计算公式即可得出；

（2）该公司一辆型车，一辆型车一周内合计出租天数恰好为4天分为以下三种情况：型车1天型车3天；型车型车都2天；型车3天型车1天，利用互斥事件和独立事件的概率计算公式即可得出；

（3）从数学期望和数据的集中程度分析即可得出结论．

【小问1详解】

出租天数为3天的汽车型车有30辆，型车20辆．从中随机抽取一辆，这辆汽车是型车的概率约为．

【小问2详解】

设“事件表示一辆型车在一周内出租天数恰好为天”，

“事件表示一辆型车在一周内出租天数恰好为天”，其中，，2，，7．

则该公司一辆型车，一辆型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为

．

该公司一辆型车，一辆型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为．

【小问3详解】

设为型车出租的天数，则的分布列为

设为型车出租的天数，则的分布列为

．

．

一辆类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天．

从出租天数的数据来看，型车出租天数为3，4，5占比0.8，型车出租天数为3，4，5占比0.51，根据数据的集中程度看，型车比型车出租天数更集中，综合分析，选择类型的出租车更加合理．

18. 如图，在直三棱柱中，，，是中点.

（1）求证：平面；

（2）若棱上存在一点，满足，求的长；

（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见详解.   

（2）1.    （3）.

【解析】

【分析】（1）利用中位线以及线面平行的判定定理；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解；

（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.

【小问1详解】

连接，交于点N，连接，如图

直三棱柱中，是的中点，又是中点，

所以，又平面，平面，

所以平面.

【小问2详解】

如图，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，则

，，，，，，

设，所以，，

因为，所以，解得，所以.

【小问3详解】

因为，，设平面的法向量为，

则有，得，

令，则，，所以取，

因为平面，取平面的法向量为，

所以，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值.

19. 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为，点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于、两点，直线、与直线分别交于点、.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设出椭圆的标准方程，利用点在椭圆上、离心率进行求解；

（2）设出直线方程为，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，写出直线，的方程并求出、的坐标，再利用数量积的坐标表示求出，利用分离常数法求其取值范围.

【小问1详解】

由题意设椭圆的标准方程为（），

由题意，得，解得，，

即椭圆的标准方程为.

【小问2详解】

由（1）得，

设，，，

联立，得，

即，则，，

直线，的方程分别为，，

令，则，，

则，

，

所以

因为，所以，，

即的取值范围为.

20. 已知函数，点为一定点，直线分别与函数的图象和轴交于点，，记的面积为．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间;

（Ⅱ）当时，若，使得，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）在，上单调递增，在上单调递减；（Ⅱ）

【解析】

【分析】（Ⅰ）由已知可得：，分别对和时的进行求导分析即可；

（Ⅱ）当，时，，由已知可得当时，，求导，得：，由此可得当时，，当，，问题得解.

【详解】（Ⅰ）由已知可得：当时，

当时，，则

显然此时，所以在上单调递增；

当时，，则

当时，；时，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

（Ⅱ）当，时，

因为，使得，所以当时，.

求导，得：

由可得，

①当，即时，对成立，

所以在上单调递增，故

由，解得

所以满足题意；

②当，即时，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

故

由，解得，

所以满足题意.

综上所述：实数的取值范围为.

【点睛】本题考查了导数求单调区间和最值，考查了分类讨论思想，属于难题.

21. 设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：①；②.

（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”（不必说明理由）；

（2）若等差数列是15阶“期待数列”，求的通项公式；

（3）记阶“期待数列”的前项和为，证明：

（i）；

（ii）.

【答案】（1）一个单调递增的3阶“期待数列”：，，；一个单调递增的4阶“期待数列”：，，，；   

（2）当时，；当时，；   

（3）（i）证明见解析；（ii）证明见解析

【解析】

【分析】（1）借助新定义，写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；

（2）利用等差数列是15阶“期待数列”，通过公差为0，大于0，小于0，分别求解该数列的通项公式；

（3）（i）利用反证法假设，分别对和进行讨论即可推出矛盾；（ii）通过数列求和，绝对值三角不等式，放缩法和裂项相消即可证明

【小问1详解】

通过题意可得到， 3阶“期待数列”满足：①；②，易得，，满足一个单调递增的3阶“期待数列”的定义；

4阶“期待数列”满足：①；②，易得，，，满足一个单调递增的4阶“期待数列”的定义；

【小问2详解】

设等差数列，，，，公差为，

∵，

∴，

∴，即，

∴

当时，则与②矛盾；

当时，由①②得：，

∴，即，

由得，即，

∴，

令，∴，

当时，同理得，即，

由得即，

∴，

∴令，所以；

【小问3详解】

（i）假设，

若则，

，，

，

与矛盾；

若则，

，，

，

与矛盾；

所以不成立，

所以得证；

（ii）

.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式基本量运算，考查的新定义问题以及转化思想的应用，属于难题.新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.