高中人教A版 (2019)4.3 等比数列教案

这是一份高中人教A版 (2019)4.3 等比数列教案，共13页。教案主要包含了重点总结，基础自测，方法归纳，跟踪训练1，变式探究，解题关键，跟踪训练2等内容，欢迎下载使用。
4.3.1.2等比数列的性质及应用

要点一　等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)
(2)若p＋q＝s＋t(p、q、s、t∈N*)，则ap·aq＝
【重点总结】
(1)在已知等比数列{an}中任一项am及公比q的前提下，可以利用an＝amqn－m求等比数列中任意项an；
(2)已知等比数列{an}中的am和an两项，就可以使用＝qn－m求公比，其中m可大于n，也可小于n.
要点二　等比数列的单调性
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则
(1)当或时，等比数列{an}为递增数列；
(2)当或时，等比数列{an}为递减数列；
(3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)；
(4)当10时，等比数列各项的符号相同；q0且c≠1)为公比的等比数列．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．(　　)
(2)当q>1时，{an}为递增数列．(　　)
(3)当q＝1时，{an}为常数列．(　　)
(4)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．(　　)
【答案】（1）√（2）×（3）√（4）×
2．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
【答案】D
【解析】∵q0，∴所有奇数项为正、偶数项为负，故成摆动数列，选D.
3．(多选题)若数列{an}为等比数列，则下列式子一定成立的是(　　)
A．a2＋a5＝a1＋a6 B．a1a9＝a
C．a1a9＝a3a7 D．a1a2a7＝a4a6
【答案】BC
【解析】根据等比数列的性质知BC正确．
4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为________．
【答案】25
【解析】∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，∴a8a9a10a11＝25.

题型一　等比数列性质的应用
【例1】已知{an}为等比数列．
(1)等比数列{an}满足a2a4＝，求a1aa5；
(2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
【解析】(1)等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝.
(2)由等比中项，化简条件得
a＋2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5＝5.
(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
＝log395＝10.
【方法归纳】
有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项“下标”的指导作用．
【跟踪训练1】
(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7.
(2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.
【解析】(1)法一：相除得q8＝9.
所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9.
法二：因为a＝a3a11＝81，所以a7＝±9，
又a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9.
(2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，
所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3.
所以q4＝＝4或，所以q＝±或q＝±.
题型二　灵活设项求解等比数列
【例2】已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，则此4个数为________________．
【解析】设此4个数为a，aq，aq2，aq3.则a4q6＝1，aq(1＋q)＝－，① 所以a2q3＝±1，当a2q3＝1时，q>0，代入①式化简可得q2－q＋1＝0，此方程无解；
当a2q3＝－1时，q