高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教案

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   4.1.2数列的递推公式教学设计课题     4.1.2数列的递推公式单元第一单元学科数学年级高二教材分析 本节课是2019版高中数学(人教版)选择性必修第二册，第四章《数列》里的内容,这一节课主要学习数列的递推公式。主要知识点有数列的递推公式、通项公式与递推公式的区别和联系、数列前n项和的定义及前n项和公式等。 教学目标与核心素养1数学抽象： 递推公式的概念、数列前n项和的概念；2逻辑推理： 用递推公式解决有关问题、前n项和与通项的关系；3数学运算： 用递推公式求数列的项及通项、前n项和公式 ；4数学建模： 递推公式的概念. 重点数列的递推公式、前n项和与通项的关系.难点用递推公式解决有关问题、用数列的前n项和与通项的关系求通项公式. 教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课复习：1数列的概念是？一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2数列的表示主要有？①通项公式法  ②列表法 ③图象法   ④一般表示法3数列的通项公式是？如果数列{}的第n项 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 问题： 1什么叫数列的递推公式？2由数列的递推公式能否求出数列的项？    复习导入        复习上一节所学的内容，为本节课的继续学习奠定基础       提出本节课的主要内容，让学生带着问题听课讲授新课例3 如果数列{}的通项公式为 ,那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？    分析：要判断120是不是数列{}中的项，就是要回答是否存在正整数n，使得.也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解.解：令 ，解这个关于n的方程，得 n=-12(舍去)，或n=10 .所以，120是数列{}中的项，是第10项. 新知探究例4 图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形. 在图形4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式. 解：在图4.1-3（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为 1，3，9，27，即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.因此，这个数列的一个通项公式是 . 换个角度观察图4.1-3中的4个图形.可以发现，，且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形. 于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍. 这样，例4中的数列的前4项满足，，， .由此猜测这个数列满足公式 像 这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了. 数列的递推公式1概念：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式2概念解析：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.(4)用递推公式给出数列，不易了解数列的全貌，计算也不方便，所以，经常用它推导出数列的通项公式或得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列.（若存在一个正整数t，使得 ,则数列）为周期数列，其周期为t）通项公式与递推公式的区别和联系 区别联系通项公式1直接反映了与n之间的关系，即是n的函数， ；2知道任意一个具体的n值的，就可以求出该项的值 1都可以一个确定数列2也都可以求出数列的任意一项  递推公式1间接反映了与n之间的关系，它是数列任意两项（或多项）相邻项之间的关系式，不能由n直接得出；2 可根据第1项（或前几项）的值，通过一次（或多次）赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的 例5 已知数列{}的首项为，递推公式为, 写出这个数列的前5项.解：由题意可知，，，，. 数列前n项和的定义、前n项和公式  1  把数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，  记作 ,  即   .  2 如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.  数列的通项与前n项和显然 ，而,于是我们有  注：（1）已知数列{}的前n项和，求 ，一般用公式 ，但必须注意它成立的条件是 （2）由 求 时，若当n=1， 的值不等于的值，则数列的通项公式应采用分段表示，即：
  思考已知数列{}的前n项和公式为 ,你能求出{}的通项公式吗？解答：因为   ， 并且当n=1时， 依然成立.所以{}的通项公式是. 课堂练习1填空  （1）数列中， ，，则（2）数列中， ，且 ,则  （3）数列中， ， 则 答案： （1）-17   （2）2  （3）2020  2（由递推公式求数列的项）（多选题）已知数列满足 ， ,则下列各数是的项的有（）   A．-2   B.    C.     D.  3 答案：BD   分析：根据递推关系找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而得出结论.解：因为数列满足 ， ,所以  , 所以，数列是周期为3的数列，且前3项为 ， ，3 故选：BD 3 如图，在三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前三项，则这个数列的一个递推公式为（ ）        B. C．    D. 答案：D解：由图可知： ， ，  … 可得  故选： D 4（由递推公式求通项公式）（1）累加法求通项公式 已知数列满足 ,求数列的通项公式 . 解：∵                         …… 以上各式累加得，  又∵n＝1时，，符合上式，  （2） 累乘法求通项公式设数列中， ，求数列的通项公式 .解：∵ ,  ∴  ,  又∵n＝1时，  符合上式，∴      拓展(1) 累加法：当 时， 常用 , 求通项公式. (2)累乘法：当 时， 常用 求通项公式． 5  已知数列{}的前n项和 ,则分析：利用 来求解.   解： 由已知得：        故                                                                       通过例题，进一步深化学生对数列概念的理解和运用。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养                     通过具体问题的思考、分析，引导学生认识数列中的递推公式。发展学生数学抽象、数学建模的核心素养                                                           通过数列的通项与前n项和的认识，帮助学生理解数列求和的概念      课堂小结1数列的递推公式 2通项公式与递推公式的区别和联系 3数列前n项和的定义及前n项和公式4数列的通项与前n项和    板书1数列的递推公式 2通项公式与递推公式的区别和联系 3数列前n项和的定义及前n项和公式4数列的通项与前n项和5课堂练习   教学反思