数学第四章 数列4.3 等比数列教案

这是一份数学第四章 数列4.3 等比数列教案，共16页。教案主要包含了重点总结，方法归纳，跟踪训练1，跟踪训练2，跟踪训练3等内容，欢迎下载使用。
4.3.2.2等比数列的前n项和公式

要点　等比数列前n项和公式与函数的关系
等比数列前n项和公式Sn＝，
变形为：Sn＝ qn－.
【重点总结】
Sn是关于n的一个指数式与一个常数的差构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数；求解时，常设Sn ＝Aqn －A(A≠0)，用待定系数法．
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对于公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数．(　　)
(2)数列{an}的前n项和为Sn＝an＋b(a≠0，a≠1)，则数列{an}一定是等比数列．(　　)
(3)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　　)
(4)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．(　　)
【答案】（1）√（2）×（3）×（4）√
2．若等比数列{an}中，前n项和Sn＝3n＋a，则a等于(　　)
A．－4 B．－2
C．0 D．－1
【答案】D
【解析】∵a1＝S1＝3＋a，a2＝S2－S1＝6，
a3＝S3－S2＝18.
由a1·a3＝a得(3＋a)·18＝62
∴a＝－1.故选D.
3．已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则＋＝(　　)
A．1 B．2
C. D.
【答案】B
【解析】(特值法)：设a，b，c分别为2,4,8.
则x＝＝3，y＝＝6∴＋＝＋＝2.故选B.
4．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是________．
【答案】192
【解析】设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192.

题型一　等比数列前n项和公式的函数特征的应用
【例1】已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列{an}(　　)
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．是等差数列或等比数列
D．既非等差数列，也非等比数列
【答案】B
【解析】当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1；
当n＝1时，a1＝a－1，满足上式．
∴an＝(a－1)an－1，n∈N*
∴＝a，
∴数列{an}是等比数列．
【方法归纳】
(1)已知Sn通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}为等比数列．
【跟踪训练1】若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.
【答案】－
【解析】显然q≠1
此时应有Sn＝A(qn－1)
又Sn＝·3n＋t∴t＝－
题型二　等差数列、等比数列的综合问题
【例2】已知Sn是等比数列{an}的前n项和且公比q≠1,1是S2和 S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项．
(1)求S2和S3；
(2)求数列{an}的前n项和公式；
(3)求数列{Sn}的前n项和．
【解析】(1)根据已知条件，
整理得解得
(2) 因为q≠1，所以解得
所以Sn＝＝－n.
(3)由(2)得S1＋S2＋…＋Sn
＝n－·
＝n＋
【方法归纳】
等差数列与等比数列综合应用的问题，一般通过基本量和通项公式，前n项和公式，等差、等比中项及相关性质列方程求解．
【跟踪训练2】已知数列{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列．
求数列{an}的通项公式．
【解析】方法一：设等比数列{an}的公比为q，由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6，从而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，a6＝a1q5＝q－1.
因为a4，a5＋1，a6成等差数列，所以q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，
即q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)，所以q＝.
故an＝a1qn－1＝q－6·qn－1＝n－7.
方法二：设等比数列{an}的公比为q，由已知a7＝1，得an＝a7qn－7＝qn－7，则a4＝q－3，a5＝q－2，a6＝q－1.
又a4，a5＋1，a6成等差数列，则q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，
即q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)，从而q＝.
故an＝qn－7＝n－7.
方法三：设等比数列{an}的公比为q，由已知a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列，知a4，a5＋a7，a6成等差数列，则a4＋a6＝2(a5＋a7)，即a4＋a6＝2q(a4＋a6)．注意到a4＋a6≠0，所以q＝，故an＝a7qn－7＝n－7.
方法四：设等比数列{an}的公比为q，由已知a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列，知a4，a5＋a7，a6成等差数列，则q＝＝＝＝，故an＝a7qn－7＝n－7.
题型三　等比数列前n项和公式的实际应用
【例3】水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．已知西部某地区有耕地3 000万亩需要退耕还林，国家确定2000年在该地区退耕还林的土地面积为300万亩，以后每年退耕还林的土地面积比上一年递增20%，那么从2000年起，到哪一年该地区基本解决退耕还林问题？(log1.23＝6)。
【解析】设该地区从2000年起每年退耕还林的面积组成一个数列{an}，
由题意得：an＋1＝an(1＋20%)
∴{an}是首项为a1＝300，公比为1.2的等比数列．
设{an}的前n项和为Sn，则Sn＝3 000.
∴＝3 000，即1.2n＝3.
解得n＝log1.23＝6.
∴到2005年该地区基本解决退耕还林问题．
【方法归纳】
解数列应用题的具体方法步骤：
(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意准确弄清参数是多少．
②弄清题目中主要的已知事项．
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．
【跟踪训练3】一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
【解析】用an表示热气球在第n分钟上升的高度．
由题意，得an＋1＝an.
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×