人教版 八上 数学期中测试卷（11--13章）A卷（原卷+解析）

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一．选择题（30分）
1.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cm
C．13cm，12cm，20cmD．5cm，5cm，11cm
【答案】C
【解析】A、3+4＜8，不能组成三角形；
B、8+7＝15，不能组成三角形；
C、13+12＞20，能够组成三角形；
D、5+5＜11，不能组成三角形．
故选：C．
2.在研究多边形的几何性质时．我们常常把它分割成三角形进行研究．从八边形的一个顶点引对角线，最多把它分割成三角形的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】过八边形的一个顶点可以引（8﹣1﹣2）＝5条对角线，
所以可组成6个三角形．
故选：B．
3.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果P也是图中的格点，且使得△ABP为等腰三角形，则点P的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【解析】如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：D．
4.如图，P是△ABC的三条角平分线的交点，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则S1（ ）S2+S3．
A．＞B．＝C．＜D．无法确定
【答案】C
【解析】过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，
∵P是△ABC的三条角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF，
∵S1＝•AB•PD，S2＝•BC•PF，S3＝•AC•PE，
∴S2+S3＝•（AC+BC）•PD，
∵AB＜AC+BC，
∴S1＜S2+S3．
故选：C．
5.适合条件∠A＝∠B＝∠C的△ABC是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
【答案】B
【解析】∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，即6∠A＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
故选：B．
6.如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（ ）厘米．
A．16B．18C．26D．28
【答案】B
【解析】∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+CE＝BC+AB＝10+8＝18（厘米），
故选：B．
7，如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
【答案】C
【解析】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
∴∠A+∠P＝90°，
故选：C．
8.小明发现有两个结论：在△A1B1C1与△A2B2C2中，
①若A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，B1C1＝B2C2，且它们的周长相等，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1＝∠A2，A1C1＝A2C2，B1C1＝B2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2．
对于上述的两个结论，下列说法正确的是（ ）
A．①，②都错误B．①，②都正确
C．①正确，②错误D．①错误，②正确
【答案】C
【解析】在△A1B1C1与△A2B2C2中，
，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS）；
∴①正确．
若∠A1＝∠A2，A1C1＝A2C2，B1C1＝B2C2，SSA不可以判定△A1B1C1≌△A2B2C2．
∴②错误．
故选：C．
9.如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．32°B．45°C．60°D．64°
【答案】D
【解析】如图所示：
由折叠的性质得：∠D＝∠B＝32°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，
∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+64°，
∴∠1﹣∠2＝64°．
故选：D．
10．如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．若＝，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，连接BD．
∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD＝∠ACB＝90°，∠E＝∠ADC＝∠CAB＝45°，EC＝DC，AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，
∴2AC2＝AB2，∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△AEC和△BDC中，
AC＝BC，∠ACE＝∠BCD，EC＝DC，
∴△AEC≌△BDC（SAS）．
∴AE＝BD，∠E＝∠BDC．
∴∠BDC＝45°，
∴∠BDC+∠ADC＝90°，
即∠ADB＝90°，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴AD2+AE2＝2AC2．
又∵，
∴AD＝2AE，
∴5AE2＝2AC2．
∴
故选：A．
填空题：（共24分）
11.如果从多边形的一个顶点出发，共可画出两条对角线，那么这个多边形的内角和是________度．
【答案】540．
【解析】多边形的边数是2+3＝5，
则内角和是（5﹣2）×180＝540°．
12.BD是△ABC边AC上的中线，AB＝16，BD＝12，则BC的取值范围是________．
【答案】8＜BC＜40．
【解析】延长BD到E，使BD＝DE，连接DE，如图所示：
∵BD是△ABC边AC上的中线，
∴AD＝DC，
在△EDC和△BDA中，，
∴△EDC≌△BDA（SAS），
∴CE＝AB＝16，
在△CBE中，CE＝16，BE＝2BD＝24，
∴24﹣16＜BC＜24+16，
∴8＜BC＜40，
13.一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝________．
【答案】11．
【解析】∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2
∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6．同理可得y＝5
∴x+y＝11．
14.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是________．
【答案】110°或80°．
【解析】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是110°或80°，
15.如图，已知点I是△ABC的角平分线的交点．若AB+BI＝AC，设∠BAC＝α，则∠AIB＝________（用含α的式子表示）．
【答案】120°﹣α．
【解析】作ID⊥AB于D，IE⊥AC于E，IF⊥BC于F，如图所示：
则∠ADI＝∠AEI＝90°，
∵I是△ABC的角平分线的交点，
∴ID＝IE，
在Rt△ADI和Rt△AEI中，，
∴Rt△ADI≌Rt△AEI（HL），
∴AD＝AE，
同理：CF＝CE，BD＝BF，
∴AB+BI＝BD+AD+BI＝BF+AE+BI＝AC＝CE+AE，
∴BF+BI＝CE＝CF，
在线段CF上取点G，使FG＝BF，连接IG，
∵IF⊥BC，
∴BI＝GI，
∴∠IBG＝∠IGB，
又∵CF＝FG+CG，
∴BI＝CG，
∴IG＝CG，
∴∠GCI＝∠GIC＝∠IBG＝∠ABC，
∴∠ACB＝2∠GCI＝∠ABC，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∴∠ABC＝180°﹣α，
∴∠ABC＝120°﹣α，
∴∠ABI＝∠ABC＝60°﹣α，
∴∠AIB＝180°﹣∠BAI﹣∠ABI＝180°﹣α﹣（60°﹣α）＝120°﹣α；
16.如图，等边△ABC中，E，D在AB，AC上，且EB＝AD，BD与EC交于点F，则∠DFC＝________度，
【答案】60°．
【解析】∵△ABC为等边三角形
∴∠ABC＝∠A，AB＝BC，
∵EB＝AD
∴△ABD≌△BCE（SAS）
∴∠ABD＝∠BCE，∠ADB＝∠BEC
∵∠DFC＝∠ECB+∠CBF＝∠ABD+∠CBF＝60°．
解答题（共66分）
17.（6分）现有三个村庄A、B、C，位置如图所示，线段AB、BC、AC分别是连通两个村庄之间的公路．先要修一个水站P，使水站不仅到村庄A、C的距离相等，并且到公路AB、AC的距离也相等，请在图中作出水站P的位置．
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
【答案】见解析
【解析】
如图所示：点P即为所求．
18.（8分）（8分）已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，求证：∠CEF＝∠CFE．
【答案】见解析
【解析】
证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠ACD+∠CAB＝90°，∠B+∠CAB＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
∵AE是角平分线，
∴∠CAE＝∠BAE；
∵∠CFE＝∠CAE+∠ACD，∠CEF＝∠BAE+∠B，
∴∠CFE＝∠CEF．
19.（8分）（8分）用两种方法证明“四边形的外角和等于360°”．
如图，∠DAE、∠ABF、∠BCG、∠CDH是四边形ABCD的四个外角．
求证：∠DAE+∠ABF+∠BCG+∠CDH＝360°．
【答案】见解析
【解析】
解法一：连接AC，BD，
∵∠EAD＝∠ABD+∠ADB，
∠ABF＝∠CAB+∠ACB，
∠BCG＝∠CDB+∠CBD，
∠CDH＝∠DAC+∠DCA，
∴∠DAE+∠ABF+∠BCG+∠CDH＝∠ACB+∠ABC+∠CAB+∠ACB+∠CDB+∠CBD+∠DAC+∠DCA＝（∠ACD+∠DCA+∠ADC）+（∠ABC+∠DAB+∠ACB）＝180°+180°＝360°．
解法二：∵∠DAE+∠ABF+∠BCG+∠CDH＝180°﹣∠DAB+180°﹣∠ABC+180°﹣∠BCD+180°﹣∠ADC，
又∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC＝360°，
∴∠DAE+∠ABF+∠BCG+∠CDH＝360°．
20.（10分）（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E为BC边上一点，以E为顶点作∠AEF，∠AEF的一边交AC于点F，使∠AEF＝∠B．
（1）如果∠ABC＝40°，则∠BAC＝________；
（2）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；
（3）当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．
【答案】见解析
【解析】
（1）∵在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案为：100°．
（2）∠BAE＝∠FEC；
理由如下：
∵∠B+∠BAE＝∠AEC，∠AEF＝∠B，
∴∠BAE＝∠FEC；
（3）如图1，当∠AFE＝90°时，
∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，
∠B＝∠AEF＝∠C，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵∠C+∠CEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEF＝90°，
即∠AEF与∠BAE的数量关系是互余；
如图2，当∠EAF＝90°时，
∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠1，
∠B＝∠AEF＝∠C，
∴∠BAE＝∠1，
∵∠C+∠1+∠AEF＝90°，
∴2∠AEF+∠1＝90°，
即2∠AEF与∠BAE的数量关系是互余．
21，（10分）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，点E、F分别在边AB，BC上，连接EO、FO，使∠EOF＝60°，连接EF．
（1）求∠BOC的度数．
（2）求证：CF＝BE+EF．
【答案】见解析
【解析】
（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝120°；
（2）以点O为顶点，OF为一边，作∠FOG＝60°，交BC于点G，
∵∠BOC＝120°，
∴∠BOF+∠COG＝60°，
∵∠EOF＝60°，
∴∠EOB+∠BOF＝60°，
∴∠COG＝∠EOB，
∵∠ABO＝∠ABC＝30°，
∴∠EBO＝∠OCG，
在△BOE与△COG中，
，
∴△BOE≌△COG（ASA），
∴OG＝OE，BE＝CG，
在△OEF与△OGF中，
，
∴△OEF≌△OGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵CF＝FG+CG，
∴CF＝EF+BE．
22.（12分）（1）如图1，等腰△ABC和等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，B，E，D三点在同一直线上，求证：∠BDC＝90°；
（2）如图2，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且∠BDC＝90°，求证：∠ADB＝45°；
（3）如图3，等边△ABC中，D是△ABC外一点，且∠BDC＝60°，
①∠ADB的度数；
②DA，DB，DC之间的关系．
【答案】见解析
【解析】
（1）证明：如图1，设BD与AC交于点F，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠ABE+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFD，
∴∠ACD+∠CFD＝90°，
∴∠BDC＝90°；
（2）如图2，过A作AE⊥AD交BD于E，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AFB＝∠CFD，
∴∠ABE＝∠ACD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED＝45°；
（3）①如图3，在形内作∠DAE＝60°，AE交BD于E点，
与（2）同理△ABE≌△ACD，
∴AE＝DA，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°；
②∵BE＝DC，
∴DB＝BE+DE＝DA+DC．
23．（12分）在平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，且AB＝BC，∠ABC＝90°，点A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a+3）2+|b﹣2|＝0．
（1）如图1，则a＝________，b＝________，点C的坐标为________；
（2）如图2，若E点在x轴的正半轴上，且满足∠OBC﹣∠ABO＝2∠OBE，CG⊥OB于点G，交BE于点H，求证：CH＝BG+OE；
（3）在（2）条件下，请同学们探究线段OG、OE、GH之间的数量关系，并加以证明．
【答案】见解析
【解析】
（1）∵（a+3）2+|b﹣2|＝0．
∴a+3＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣3，b＝2，
∴A（﹣3，0），B（0，2），
∴AO＝3，OB＝2，
过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．
∵∠ABC＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠DBC＝90°，
∴∠OAB＝∠DBC．
在△OAB和△DBC中，
，
∴△OAB≌△DBC（AAS），
∴BD＝AO＝3，DC＝OB＝2，OD＝BD﹣OB＝3﹣2＝1，
∴点C的坐标为（2，﹣1）．
故答案为：﹣3，2；（2，﹣1）；
（2）证明：连接CE，
∵∠OBC＝∠CBE+∠OBE，∠ABO＝90°﹣∠OBE﹣∠CBE，
∴∠OBC﹣∠ABO＝2∠OBE+2∠CBE﹣90°，
又∵∠OBC﹣∠ABO＝2∠OBE，
∴2∠CBE＝90°，
∴∠CBE＝45°，
∴∠CBE＝∠ABE＝45°，
∴△BEA≌△BEC（SAS），
∴CE＝AE，∠BEC＝∠BEA，
又∵CG∥x轴，
∴∠CHE＝∠BEA，
∴∠BEC＝∠CHE，
∴CH＝CE＝AE，
又∵AE＝AO+OE，
∴CH＝AO+OE，
∵∠ABO+∠GBC＝∠GBC+∠BCG＝90°，
∴∠ABO＝∠BCG，
∵AB＝ABC，∠AOB＝∠BGC＝90°，
∴△BOA≌△CGB（AAS），
∴OA＝BG，
∴CH＝BG+OE．
（3）解：线段OG、OE、GH之间的数量关系为OG＝OE+GH．
证明如下：由（2）可知，△BOA≌△CGB，
∴OB＝CG，BG＝OA，
∴BG+OG＝GH+CH，
∴由（2）可知：CH＝CE＝OE+OA，
∴BG+OG＝GH+CH＝GH+OE+OA，
又∵BG＝OA，
∴OG＝OE+GH．