高中数学5.3 导数在研究函数中的应用第2课时教案及反思

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问题：求函数极值的一般方法是？

提示：

解方程，当 时：

（1）如果在附近的左侧 ，右侧，那么是极大值；

（2）如果在附近的左侧 ，右侧 ，那么是极小值.

问题引入

温故而知新

讲授新课

2 函数的最大（小）值

我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说，如果是函数 y=f(x)的极大（小）值点，那么在附近找不到比更大（小）的值.但是在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小.如果在某个区间上函数 y=f(x) 的最大（小）值点，那么不小（大）于函数 y=f(x)在此区间上的所有函数值

图5.3-13是函数 y=f(x)，的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？

观察图象，我们发现， 是函数 y=f(x)的极小值， 是函数 y=f(x)的极大值.

探究

进一步地，你能找出函数 y=f(x)在区间[a, b]上的最小值，最大值吗？

从图5.3-13可以看出 ，函数 y=f(x)在区间[a, b]上的最小值是 ，最大值是 f(a).

在图5.3-14、图5.3-15中，

观察[a, b]上的函数 y=f(x)和 g=f(x)的图象，它们在[a, b]上有最小值，最大值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？

一般地，如果在区间[a, b]上的函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

结合图5.3-14、图5.3-15，以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.

例6 求函数在区间[0,3]上的最大值与最小值.

解：由例5可知，在[0,3]上，

当x=2时，函数有极小值，并且极小值为 .

又由于f(0)=4， f(3)=1，

所有，函数在区间[0,3]上的最大值是4，最小值是.

上述结论可以从函数在区间[0,3]上的图象（图5.3-16）得到直观验证.

规律方法

一般地，求函数 y=f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求函数 y=f(x)在区间（a, b）上的极值；

（2）将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

证明：当x>0时，

 证明：

将不等式①转化为

设 ，那么

令，解得x=1.

当x变化时，的变化情况如下表所示.

所以，当 x=1时，s(x)取得最小值.所以

即

所以，当x>0时，

下面我们通过实例说明如何利用导数解决与函数相关的问题.

例7 给定函数 .

（1）判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；

（2）画出函数f(x)的大致图象；

（3）求出方程f(x)=a 的解的个数.

解：（1）函数的定义域为 .

令 ，解得x=-2 .

， f(x) 的变化情况如下表所示.

所以， f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增.

当x=-2时， f(x)有极小值 .

（2）令 f(x)=0，解得 x=-1 .

当x<-1时， f(x)<0；当x>-1时， f(x)>0.

所以， f(x)的图象经过特殊点

.

当时，与一次函数相比，

指数函数呈爆炸性增长，

从而；

当时， , .

根据以上信息，我们画出 f(x)的大致图象如图5.3-17所示.

（3）方程f(x)=a 的解的个数为函数 y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数.

由（1）及图5.3-17可得，当 x=-2时， f(x)有最小值 .

所以，关于方程f(x)=a 的解的个数有如下结论：

当时，解为0个；

当 或 时，解为1个；

当时，解为2个.

由例7可见，函数 f(x)的图象直观地反映了函数 f(x)的性质.

通常，可以按如下步骤画出函数 f(x)的大致图象：

（1）求出函数 f(x)的定义域；

（2）求导数 及函数的零点；

（3）用 的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；  

（4）确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；

（5）画出f(x)的大致图象.

下面我们通过实例介绍导数在解决实际问题中的应用.

问题 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.

（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？

解：由题意可知，每瓶饮料的利润是

所以，

令 ，解得r=2.

当，；

当， .

因此，

当半径r>2时，，f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；

当半径r<2时，，f(r)单调递减，即半径越大，利润越低.

（1）半径为6 cm时，利润最大.

（2）半径为2 cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值.

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数 f(r)的图象（图5.3-18）上观察，你有什么发现？

从图象上容易看出，当 r=3时，f(3)=0，即瓶子的半径是3 cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当 r>3时，利润才为正值.

当 时， f(r)是减函数，你能解释它的实际意义吗？

通过此问题的解决，我们很容易回答开始时的问题.请同学们自己作出回答.

课堂练习：

1判断正误

（1）所有的单调函数都有最值.

（2）函数f(x)在区间[a, b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得.

（3）开区间上的单调连续函数无最值.

（4）在定义域内，若函数有最值与极值，则极大（小）值就是最大（小）值.

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×  

解(1)根据题意，函数,在区间上单调，但没有最值，则结论错误.

(2)函数在闭区间[a, b]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得.

(3)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确.

(4)函数的最值在函数的极值点或区间端点处取得，故该说法错误.

2已知二次函数 在x=1处的导数值为1，则该函数的最大值是多少？

解：∵

令 x=1 得

解得 a=-2或 a=0（舍）

  ∴

  对称轴为

  ∴   时，有最大值

3 已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为

A．13万件 B．11万件 C．9万件  D．7万件

答案：C　

解：

y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．

当x∈(0,9)时，y′＞0，当x∈(9，＋∞)时，y′＜0，

则当x＝9时，y有最大值．

即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件． 　

4 已知函数f(x)＝(x－k)ex.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．

解:

(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，

令f′(x)＝0，得x＝k－1  

f(x)与f′(x)的变化情况如下：

所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞).

(2)

当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，

所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k，

当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，

由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，

所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1.

当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，

所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.

综上可知，

当k≤1时，f(x)min＝－k；

当1＜k＜2时，f(x)min＝－ek－1；

当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.

提出问题，引导学生运用导数研究函数的最值。发展学生数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养。

通过特例，让学生体会函数极值与最值之间的关系。

例题巩固

求函数在某区间上最值的一般步骤

运用导数及最值知识解决实际问题。

练习巩固

课堂小结

函数的最值与导数的关系

(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

板书

1 函数的最大（小）值

2 例6、例7、例8

3 课堂练习

教学反思