高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教案设计

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5.3.2.2 函数的最大（小）值

要点一　函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不读的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
【笔记小结】
(1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部区间上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值．
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值．
要点二　求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值
求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【笔记小结】
(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．
①求出导数为零的点．
②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．
(2)若函数在闭区间[a，b]上连续单调，则最大、最小值在端点处取得．
(3)若连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点时，这个点的函数值必然是最值．例如在(－∞，＋∞)上函数只有一个极值，那么这个极值也就是最值．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．(　　)
(2)开区间上的单调连续函数无最值．(　　)
(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值．(　　)
(4)若函数在给定区间上有最值，则最大(小)值最多有一个；若有极值，则可有多个．(　　)
【答案】（1）×（2）√（3）×（4）√
2．函数f(x)＝4x－x4在x∈[－1,2]上的最大值、最小值分别是(　　)
A．f(1)与f(－1) B．f(1)与f(2)
C．f(－1)与f(2) D．f(2)与f(－1)
【答案】B
【解析】f′(x)＝4－4x3，f′(x)>0，
即4－4x3>0⇒x0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．
4．已知函数f(x)＝sin x－2x－a，若f(x)在[0，π]上的最大值为－1，则实数a的值是________.
【答案】1
【解析】f′(x)＝cos x－20，解得：x>，令y′