高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列教案

专题4.2 等差数列

一、等差数列的概念及有关公式

1.等差数列的概念：一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。

an - an-1=d(n≥2,n∈N*)。

首项为a1，公差为d的等差数列{an}，通项公式为an= a1+（n-1）d

2.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列，A叫做数列的等差中项。

2A= a+b

3.等差数列前n项和 Sn =             =               

二、等差数列的有关性质

已知{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项和.

1.若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则有             . 

2.数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等差数列. 

一、     n a1 +d

二、am+an= ap+aq

1．等差数列的有关公式

等差数列通项公式为 an= a1+（n-1）d

等差数列前n项和 Sn = = n a1 +d

等差中项 2A= a+b

设为等差数列，，为其前项和，若，则公差（    ）.

A．2 B． C． D．3

【答案】C

【解析】由题意，设等差数列的公差为，

因为，即，即，

又由，可得，解得.

故选：C.

【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式，合理应用等差数列的性质是解答的关键，着重考查运算与求解能力．

已知等差数列满足，则该数列中一定为零的项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】,

,

,

故选：B

【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质.

2．等差数列的有关性质

1.若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则有am+an= ap+aq. 

2.数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等差数列. 

已知数列的通项公式，则前项和的最小值为(    )

A．－784 B．－368 C．－389 D．－392

【答案】D

【解析】令，求得，即数列从第项开始为正数，前项为负数，故数列的前项的和最小，，，

故选：D

【名师点睛】求等差数列前项和的最大值的方法通常有两种：①将前项和表示成关于的二次函数，，当时有最大值（若不是整数，等于离它较近的一个或两个整数时最大）；②可根据且确定最大时的值.

设为等差数列，，为其前项和，若，则公差（    ）.

A．2 B． C． D．3

【答案】C

【解析】由题意，设等差数列的公差为，

因为，即，即，

又由，可得，解得.

故选：C.

【解题技巧】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式，合理应用等差数列的性质是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

3．等差数列的有关计算应用

　设，若是与的等差中项，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．. 

【错解】因为，，得，即，故选C.

【错因分析】本题在求解的过程中，只是注意到了等差中项的运用，忽略了基本不等式的成立条件，导致出现错误。

【正解】由题意可知，即

.

当且仅当时等号成立，

所以的最大值是.故选：B

【名师点睛】等差数列的概念要充分理解，等差数列的性质应用，注意数列是特殊的函数，取值的特殊性.

1．已知在等差数列中，则项数为

A． B． C． D．

2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且an≠0，若a5=3a3，则（    ）

A． B． C． D．

3．在等差数列｛an｝中，，则此数列前30项和等于（     ）

A．810 B．840 C．870 D．900

4．数列的前项和，若，则（    ）

A． B． C． D．

5．等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于（    ）

A．  B．

C．  D．

6．下列命题正确的是（    ）

A．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式

B．若等差数列的公差，则是递增数列

C．若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列

D．若数列是等差数列，则数列也是等差数列

7．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，现有下列4个命题中正确的有（    ）

A．若，则；

B．若，则使的最大的n为15

C．若，，则中最大

D．若，则

8．设等差数列的前项和为，若，则 ________．

9．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问： 五人各得几何？”其意思为： 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是______.

10．已知等差数列的公差，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若等比数列满足，，求数列的前项的和.

11．设等差数列的前项和为，若成等差数列，且，则的值为（    ）

A．28 B．36 C．42 D．46

12．已知数列的前项和为，，当且时，，，成等比数列，则（    ）

A． B． C． D．

13．已知公比不为1的等比数列的前项和为，，且成等差数列．则（    ）

A． B． C． D．

14．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则前10项的和为（    ）

A．10 B．8 C．6 D．-8

15．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论错误的是（    ）．

A． B．与是的最大值

C． D．

16．已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，组成公差为的等差数列，则（    ）

A．该椭圆的焦距为6 B．的最小值为2

C．的值可以为 D．的值可以为

17. 设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（    ）

A．当时，取最大值 B．当时，

C．当时， D．当时，

18. 已知各项为正数的数列的前项和为，且，，则数列的通项公式为_________.

19. 已知数列满足：，（），记数列的前项和为，若对所有满足条件的，的最大值为，最小值为，则________

20. 是等差数列的前项和，对任意正整数，是与的等差中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的最大项与最小项.

21.【2019年高考北京】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．

22. 【2019年高考全国 III卷】记为等差数列的前项和，若，，则           .

23. 【2020年高考全国II卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)

A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块

24. 【2020年高考北京】在等差数列中，，．记，则数列A．有最大项，有最小项       B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

25. 【2020年高考浙江】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差，且．记，，，下列等式不可能成立的是

A．    B． 

C．   D．

26. 【2020年高考山东】将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．

1．【答案】D

【解析】由等差数列的性质可得S918，

解得a5＝2，故a5+an﹣4＝32，

而Sn16n＝240，解得n＝15，

故选D．

2．【答案】D

【解析】依题意，，又，∴，

故选：D.

3．【答案】B

【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为 ，

故选：B．

4．【答案】C

【解析】∵，

∴数列是公差为4的等差数列，

∵，

∴，

故选：C.

5．【答案】A

【解析】＝＝＝＝＝＝.

故选：.

6．【答案】BCD

【解析】A选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；

B选项：由等差数列性质知，必是递增数列；

C选项：时，是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立；

D选项：数列是等差数列公差为，所以也是等差数列；

故选：BCD

7．【答案】BC

【解析】A选项，若，则，

那么.故A不正确；

B选项，若，则，

又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，

因为，

所以使的最大的为15.故B正确；

C选项，若，，

则，，则中最大.故C正确；

D选项，若，则，而，不能判断正负情况.故D不正确.

故选：BC.

8．【答案】24

【解析】设等差数列的公差为，

则，

∴．

∴．

故答案为24．

9．【答案】18

【解析】设第一个人分到的橘子个数为，由题意得，解得，

则.

故答案为：18

10．【答案】（1）；（2）.

【解析】（（1）由，得，又，所以，

所以.

（2）设公比为，由题意，，即，所以，

于是，故.

11．【答案】B

【解析】成等差数列，

，

设的公差为，则，

解得，

，，

，，

.

故选：B.

12．【答案】D

【解析】当且时，，，成等比数列，故，又

，整理得，所以数列是等差数列，首项为1，公差为1，故，，.

故选：D.

13．【答案】D

【解析】设等比数列的公比为，且，

由题意可得，即，即，解得，

因此.

故选：D.

14．【答案】A

【解析】由题意可得a32＝a1a4，
即(a1+4)2＝a1(a1+6)，
解之可得a1=-8，
故

故选A．

15．【答案】C

【解析】设等差数列的公差为，

，

，，．

，，，与是的最大值．

因此A，B，D正确．

对于C．，可得，因此不正确．

故选：C．

16．【答案】ABC

【解析】由椭圆，得，，，故A正确；

椭圆上的动点，，即有，

故的最小值为2，B正确；

设，，，…组成的等差数列为，公差，则，

又，所以，所以，所以的最大值是，

故C正确，D错误.

故选：ABC.

17. 【答案】BC

【解析】因为，所以，解得.

对选项A，因为无法确定和的正负性，

所以无法确定是否有最大值，故A错误.

对选项B，，

故B正确.

对选项C，，

故C正确.

对选项D，，

，

因为，所以，，

，故D错误.

故选：BC

18. 【答案】

【解析】，，

当时，由，可得，

即.

是以为首项，公差为的等差数列.

.

.

当时，.

当时，上式成立.

故数列的通项公式为.

故答案为：.

19. 【答案】1078

【解析】由，（），

可得，解得，

又，可得或，

又，可得或；

 或；或；

又，可得或或；

或或；

 或或或或；

或或或或，

综上所示可得的最大值为，

最小值为，

所以.

故答案为：1078

20. 【答案】（1）；（2）最大项是第项，值为，最小项是第项，值为.

【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意可知，对任意的，，

可得，即，解得或.

当，时，，满足条件；

当，时，不满足条件，舍去.

综上，数列的通项公式为；

（2）.

当时，，则，此时数列单调递增；

当时，，则，此时数列单调递增.

数列的最大项是第项，值为，最小项是第项，值为.

21. 【答案】  (1) 0.    (2)-10.

【解析】等差数列中,,得,公差,,

由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.

22. 【答案】4

【解析】设该等差数列的公差为，∵，∴，故，

∴.

23. 【答案】C

【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，

则是以9为首项，9为公差的等差数列，，

设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分

别为，因为下层比中层多729块，

所以，

即

即，解得，

所以.

故选：C

24. 【答案】B

【解析】由题意可知，等差数列的公差，

则其通项公式为：，

注意到，

且由可知，

由可知数列不存在最小项，

由于，

故数列中的正项只有有限项：，.

故数列中存在最大项，且最大项为.

故选：B．

25. 【答案】D

【解析】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；

对于B，由题意可知，，，

∴，，，．

∴，．

根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；

对于C，，

当时，，C正确；

对于D，，，

．

当时，，∴即；

当时，，∴即，所以，D不正确．

故选：D.

26.【答案】.

【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，

数列是以1首项，以3为公差的等差数列，

所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，

所以的前项和为，

故答案为：.