高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.3 离散型随机变量的数字特征教学设计及反思

导入新课

新知导入：

情景一：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示

思考：如何比较甲乙两人射箭水平的高低？

假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环、10环的频率分别为.

甲n次射箭射中的平均环数为.

当n足够大时，频率稳定与概率，所以稳定于

=7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9

即甲射中平均环数的稳定值为9，该平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.

同理，乙运动员射中的环数的平均值为7x0.15+8x0.25+9x0.4+10x0.2=8.65

所以，从平均值的角度比较，甲运动员的射箭水平比乙运动员高.

学生思考问题，引出本节新课内容.

设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课.

讲授新课

新知讲解：离散型随机变量取值的平均值（数学期望）

一般地，若离散型随机变量X的分布列为：

则称

为随机变量X的均值或数学期望，简称期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：

(1)确定X的可能取值；

(2)计算出P(X＝k)；

(3)写出分布列；

(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)．

例题讲解：

例1   在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少?

解：因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2

      所以E(X)=0 x 0.2 + 1 x 0.8=0.8

      即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8

一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么

 E(X)=0 x (1-p) + 1 x p = p

例2．抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值

解：X的分布列为

则

合作探究：思考：设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．

（1） Y的分布列是什么？

（2） E(Y)=？

离散型随机变量均值的运算性质

(1) E(X＋b)＝E(X)＋b，

(2) E(aX)＝aE(X)，

(3) E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

例3:猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示.

规则如下:按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.

分析:根据规则，公益基金总额X的可能取值有四种情况：猜错A，获得0元基金；猜对A而猜错B，获得1000元基金；猜对A 和B而猜错C，获得3000元基金；A，B，C全部猜对，获得6000元基金.因此X是一个离散型随机变量，利用独立条件下的乘法公式可求分布列.

解:分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相互独立

P（X=0）=P()=0.2，

P(X=1000)=P()=0.8 x 0.4 = 0.32,

P(X=3000)=P()=0.8 x 0.6 x 0.6 = 0.288

P(X=6000)=P(ABC)=0.8 x 0.6 x 0.4 = 0.192
X的分布列为：

则X的均值为：

E(X)=0 x 0.2 + 1000 x 0.32 + 3000 x 0.288 + 6000 x 0.192 = 2336

例4  根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下种方案：

方案1：运走设备，搬运费为3800元.

方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水.

方案3：不采取措施，希望不发生洪水.

工地的领导该如何决策呢？

分析：决策目标为总损失（即投入费用与设备损失之和）越小越好.根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如下表所示：

解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1，X2 ，X3

采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元.因此，P(X1=3800)=1.

采用方案2，遇到大洪水时，总损失为2000+60000=62000元;没有大洪水时总损失为2000元，因此P(X2=62000)=0.01，P(X2=2000)=0.99

采用方案3，P(X3=60000)=0.01,P(X3=10000)=0.25

 P(X3=0)=0.74.

于是，E(X1)=3800,

E(X2)=62000x0.01+2000x0.99=2600

E(X3)=60000x0.01+10000x0.25+0x0.74=3100.

因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2

课堂练习：

1. 已知离散型随机变量X的分布列为

则X的数学期望E(X)=(    D   )

   A.  1     B. 1.5      C. 2.5      D. 1.7

2．已知Y＝5X＋1，E(Y)＝6，则E(X)的值为（  C ）

   A．1.2   B．5      C．1       D．31

3．某船队若出海后天气好，可获得5000元；若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是(　B　)

A．2 000元 B．2 200元

C．2 400元 D．2 600元

4．若随机变量X的分布列如下所示

且E(X)＝0.8，则a、b的值分别是（  B  ）

A．0.4，0.1  B．0.1，0.4

C．0.3，0.2  D．0.2，0.3

5．某运动员射击一次所得环数X的分布列如下：

现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为Y．

（1）求该运动员两次命中的环数相同的概率；

（2）求Y的分布列和数学期望EY．

解：（1）两次都命中8环的概率为P1=0.4 x 0.4 = 0.16 ; 两次都命中9环的概率为P2=0.4 x 0.4 = 0.16

 两次都命中10环的概率为P3=0.2 x 0.2 = 0.04

 则该运动员两次命中的环数相同的概率为P=P1+P2+P3=0.16+0.16+0.04=0.36

（2）Y的可能取值为8，9，10 ，则

P(Y=8)=0.4 x 0.4 = 0.16    

P(Y=9)=2 x 0.4 x 0.4 + 0.4 x 0.4 = 0.48

P(Y=10)=1-P(Y=8)-P(Y=9)=0.36 ，则Y的分布列为：

E(Y)=8 x 0.16 + 9 x 0.48 + 10 x 0.36 = 9.2

6．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下：

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300 mm，700 mm，900 mm的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：

（1）工期延误天数Y的均值；

（2）在降水量至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率．

解：（1）由题意，随机变量Y的允许取值为0,2,6,10，则P(X<300)＝0.3，

P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，

P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，

P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1

所以Y的分布列为

所以E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3

（2）由概率的加法公式，可得

P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，

又由P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.

由条件概率，可得

故在降水量至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是

7．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6的六个球.

（1）从中任意取出两个球，求这两个球的编号之和为偶数的概率；

（2）从中任意取出三个球，记X为编号为偶数的球的个数，求X的分布列和数学期望.

解：（1）从编号为1，2，3，4，5，6的六个球任意取出两个球，共有种可能，取出的两球编号之和为偶数包含的基本事件有：(1，3)，(1,5) ，(3，5)， (2,4)，(2,6)，(4,6)共6个基本事件，因此从六个球中任意取出两个球求这两个球的编号之和为偶数的概率为；

（2）由题意，X的可能取值为0,1,2,3，则

则X的分布列为：

拓展提高：
8．甲､乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：

甲公司送餐员送餐单数频数表：

乙公司送餐员送餐单数频数表：

若将频率视为概率，回答下列两个问题：

（1）记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；

（2）小王打算到甲､乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.

解：（1）设乙公司送餐员送餐单数为a，则

当a=38时，X=38 x 6 = 228 ，p=0.1

当a=39时，X=39 x 6 = 234 ，p=0.2

当a=40时，X=40 x 6 = 240 ，p=0.2

当a=41时，X=40 x 6 + 1 x 7 = 247 ，p=0.4

当a=42时，X=40 x 6 + 2 x 7 = 254 ，p=0.1

故X的所有可能取值为228，234，240，247，254，故X的分布列为：

E(X)=228x0.1+234x0.2+240x0.2+247x0.4+254x0.1=241.8

（2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：

38x0.2+39x0.3+40x0.2+41x0.2+42x0.1=39.7

则甲公司送餐员日平均工资为80+4x39.7=238.8元

因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，241.8>238.8，所以推荐小王去乙公司应聘.

9. 某学校为了学生的健康,对课间操活动做了如下规定:课间操时间若有雾霾则停止课间操,若无雾霾则组织课间操.预报得知,在未来一周从周一到周五的课间操时间出现雾霾的概率是:前3天均为1/2,后2天均为3/4，且每一天出现雾霾与否是相互独立的.

(1)求未来5天至少一天停止课间操的概率;

(2)求未来5天组织课间操的天数X的分布列和数学期望.

解：（1）由题意知，未来5天每天都组织课间操的概率为:，则未来5天至少一天停止课间操的概率为1-P1=127/128

（2）未来5天组织课间操的天数X的可能取值为0,1,2,3,4,5

则X的分布列为:

数学期望为：

10．（2014重庆高考真题（理））一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.

（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;

（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望.

（注：若三个数a,b,c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数）.

解：（1）所取3张卡片上的数字完全相同的概率为：

（2）X的所有可能值为1，2，3，且

故X的分布列为：

数学期望为：

11．（2015  四川高考真题（理））某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队

（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.

（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.

解：(1)由题意知，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全部从B中学中抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为，

因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为

(2)根据题意得，X的可能取值为1，2，3，则

所以X的分布列为：

数学期望为：

学生根据情境问题，探究离散型随机变量的均值.

利用例题引导学生掌握并灵活运用离散型随机变量的均值解决实际相关问题

通过课堂练习，检验学生对本节课知识点的掌握程度，同时加深学生对本节课知识点的掌握及运用.

利用情境问题，探究离散型随机变量的均值，培养学生探索的精神.

加深学生对基础知识的掌握，并能够灵活运用基础知识解决具体问题

通过练习，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神.

课堂小结

1、离散型随机变量的数学期望

E(X)=x1p1+x2p2+...+xnpn=

2.求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：

(1)确定X的可能取值；(2)计算出P(X＝k)；

(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)．

3.离散型随机变量均值的运算性质

(1) E(X＋b)＝E(X)＋b，

(2) E(aX)＝aE(X)，

(3) E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

学生回顾本节课知识点，教师补充.

让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用.

板书

§7.3.1 离散型随机变量的均值

一、新知导入                三、例题讲解

二、新知讲解                四、课堂练习

1.离散型随机变量的均值    五、拓展提高

             六、课堂总结

                            七、作业布置