2020-2021学年2.3 直线的交点坐标与距离公式教学设计

专题2.3 直线的交点坐标与距离公式

一、直线的交点坐标

设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线的交点坐标就是方程组

的解. 

(1)若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标; 

(2)若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行,反之,亦成立.

二、距离公式

（1）点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离            

（2）点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=            

（3）两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=             

二、  |P1P2|=                         

1．直线的交点坐标

联立方程组 的解. 

求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点,且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为________．

【答案】x+2y-7=0

【解析】由得

所以l1与l2的交点坐标为(1,3).

设与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为x+2y+c=0,则1+2×3+c=0,所以c=-7.

所以所求直线方程为x+2y-7=0.

【名师点睛】求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其它条件写出直线方程.

过直线和的交点，且与直线平行的直线方程是（    ）

A．  B．   C．   D．

【答案】B

【解析】解方程组得，即交点坐标为.

所求直线与直线平行，

设所求直线的方程为，把点代入得，

所以所求直线的方程为.

故选：B

【解题技巧】本题主要考查直线的方程，在求直线方程的过程中，需要点的坐标，这就需要先求解交点坐标，总之，求解难度不大。

2．与直线有关的距离公式

（1）点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离  |P1P2|=   

（2）点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=

（3）两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=   

设直线 与直线的交点为,则到直线的距离最大值为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由可以得到，故，

直线的方程可整理为：，故直线过定点，

因为到直线的距离，当且仅当时等号成立，

故，

故选A.

【名师点睛】一般地，若直线和直线相交，那么动直线（）必过定点（该定点为的交点）.

直线l1过点A(0,1)， l2过点B(5,0)， l1∥l2且l1与l2的距离为5，求直线l1与l2的一般式方程．

【答案】见解析

【解析】当l1、l2的斜率存在时，∵l1∥l2，∴可设两直线的斜率为k.由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，

即kx－y－5k＝0.由两平行线间的距离公式得＝5，

解得k＝，∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.

若l1、l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．则满足条件的直线方程有以下两组：

l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；或l1：x＝0，l2：x＝5.

【解题技巧】本题主要考察两平行线间的距离，直线的方程.

3．忽略斜率的存在性

　直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为________.

【错解】设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.

由题意知=,即|3k-1|=|-3k-3|,所以k=-,

所以直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.

【错因分析】到两点的距离相等的直线，在求解的过程中直接利用距离公式，从而默认了直线斜率的存在，没有考虑直线的斜率不存在的情况，从而出现漏解的情况.

【正解】方法一：当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.

由题意知=,即|3k-1|=|-3k-3|,所以k=-,

所以直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.

当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意.

方法二：当AB∥l时,有k=kAB=-,

直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.

当l过AB中点时,AB的中点为(-1,4),

所以直线l的方程为x=-1.

故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.

答案:x+3y-5=0或x=-1

【名师点睛】直线的斜率是否存在是关系到本题解题全面性的一个关键点，如果忽略将直接导致解题出现失误，因此解题时要注意。

1．经过两条直线和的交点，且斜率为2的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

2．若三条直线，与直线交于一点，则（　　）

A．-2 B．2 C． D．

3．已知直线和直线都过点,则过点和点的直线方程是(    )

A． B． C． D．

4．点在直线上，为原点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

5．已知点和点到直线的距离相等，且过点，则直线的方程为（    ）

A．或 B．或

C． D．

6．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是（    ）

A．15° B．30° C．45° D．75°

7．若两条平行直线：与：之间的距离是，则的可能值为（    ）

A． B． C． D．

8．经过直线与的交点，且平行于直线的直线方程是___________.

9．若直线和直线的交点在第一象限，则k的取值范围为__________．

10．若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是________．

11．直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)

A． B． C． D．

12．若与的图形有两个交点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．或

13．已知点和，在轴上求一点，使得最小，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

14．已知点和点在直线的两侧，则

A．或 B．

C．或 D．

15．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为( )

A．(－2，4) B．(－2，－4) C．(2，4) D．(2，－4)

16．如图，已知直线y＝3x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0)．若该抛物线的对称轴上存在点Q满足是等腰三角形，则点Q的坐标可以是 （    ）

A． B．(1,0) C．(1,1) D．(1,6)

17. 已知平面上一点，若直线l上存在点P使，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是（    ）

A． B． C． D．

18. 己知两点，，直线：与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围________

19. 已知m，n，a，，且满足，，则的最小值为________.

20. 已知直线：和：的交点为.

（1）若直线经过点且与直线：平行，求直线的方程；

（2）若直线经过点且与轴，轴分别交于，两点，为线段的中点，求的面积（其中为坐标原点）.

1．【答案】B

【解析】两条直线3x+4y﹣5=0和3x﹣4y﹣13=0的交点，由

可得（3，﹣1），

所以经过两条直线3x+4y﹣5=0和3x﹣4y﹣13=0的交点，且斜率为2的直线方程是y+1=2（x﹣3），

即2x﹣y﹣7=0．

故选B．

2．【答案】C

【解析】两方程联立可得交点坐标为：，代入第三条直线方程：，

解得：.

故选C.

3．【答案】B

【解析】把坐标代入两条直线和,得

,,

,

过点,的直线的方程是：,

,则,

,,

所求直线方程为：．

故选 B

4．【答案】A

【解析】的最小值为原点到直线的距离．

则的最小值为

故选：．

5．【答案】A

【解析】∵点和点，∴，

∵点和点到直线的距离相等，且l过点，

∴直线与直线平行，且直线过点，或直线的方程为（过线段中点），

∴直线的方程为：，或，

整理得：或.

故选：A.

6．【答案】AD

【解析】由两平行直线的距离公式可得：

直线与的距离为，

又直线被两平行线与所截得的线段的长为，

即该直线与直线所成角，

又直线的倾斜角为，

则该直线的倾斜角大小为和，

故答案为：和.

故选：AD

7．【答案】AB

【解析】由题意，，，所以，所以：，即，

由两平行直线间的距离公式得，解得或，

所以或.

故选：AB

8．【答案】

【解析】联立方程组可知与的交点，为，

设所求直线为，

则，.

所以直线方程为，即

故答案为：

9．【答案】

【解析】由解得

又∵直线和直线的交点在第一象限，

∴解得．

故答案为.

10．【答案】4

【解析】因为m2＋n2是直线4x＋3y－10＝0上的点(m，n)到原点距离的平方，所以其最小值就是原点到直线4x＋3y－10＝0的距离的平方．

11．【答案】D

【解析】设直线l的斜率为k，又直线l过M（1，﹣1），则直线l的方程为y+1=k（x﹣1），

联立直线l与y=1，得到，解得x=，所以A（，1）；

联立直线l与x﹣y﹣7=0，得到，解得x=，y=，所以B（，），

又线段AB的中点M（1，﹣1），所以+=2，解得k=﹣．

故选D．

12．【答案】A

【解析】表示关于轴对称的两条射线，

表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，

根据题意，画出大致图形，如下图，

若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知．

故选：A．

13．【答案】D

【解析】找出点关于轴的对称点，连接，

与轴的交于点，连接，此时为最短，

由与关于轴对称，，

所以，又，

则直线的方程为

化简得：，令，解得，所以

故选：D．

14．【答案】B

【解析】因为点和点在直线的两侧，所以，即，解得

故选B.

15．【答案】C

【解析】设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则，解得

∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.  联立直线y=2x，解得，则C(2，4)．

故选C.

16．【答案】ABC

【解析】直线与轴交点为，与轴交点为，而，

故可设抛物线的方程为，将代入得，

所以抛物线的方程为，其对称轴为.

设，

当时，，解得，所以或.所以A选项正确.

当时，，解得或.由于点在直线上，故舍去，所以，所以B选项正确，D选项错误.

当时，，解得，故，所以C选项正确.

故选：ABC

17. 【答案】BC

【解析】选项A中，点M到直线的距离，

即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，

所以该直线上不存在点P，使，故A中的直线不是点M的“相关直线”；

选项B中，点M到直线的距离，

即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，

所以该直线上存在点P，使，

故B中的直线是点M的“相关直线”；

选项C中，点M到直线的距离，

即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，

所以该直线上存在点P，使，故C中的直线是点M的“相关直线”；

选项D中，点M到直线的距离，

即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，

所以该直线上不存在点P，使，

故D中的直线不是点M的“相关直线”.

故选：BC.

18. 【答案】或

【解析】由题意，直线恒经过定点，

由直线的斜率公式，可得，

要使直线与线段有公共点，或

故答案为：或

19. 【答案】1

【解析】设点，，直线，直线，

由题意知点在直线上，点在直线上，

所以，

显然，所以的最小值就是两平行线之间的距离，

即.

故答案为：1.

20. 【答案】（1）   （2）30

【解析】（1）由，求得，可得直线：和：的交点为.

由于直线的斜率为，

故过点且与直线平行的直线的方程为，

即.

（2）设直线的斜率为，则直线的方程为，

由于直线与轴，轴分别交于，两点，

且为线段的中点，

故，，且点的坐标满足直线的方程，

∴，且，求得.

则

故的面积为.