人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理教案设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理教案设计，共13页。教案主要包含了空间向量基本定理，空间向量的正交分解等内容，欢迎下载使用。
专题1.2  空间向量基本定理一、空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面,那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p=            .二、空间向量的正交分解如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做           ，常用{i，,j，k}表示基底.如果把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量          .一、xa+yb+zc         二、单位正交基底       　正交分解    　帮—重点空间向量基本定理的理解帮—难点空间向量基本定理及正交分解的应用帮—易错空间向量基本定理的运算应用1．空间向量基本定理（1）平面向量基本定理：p= xa+yb+zc（2）平面向量基本定理推论：设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使=x+y+z,且x+y+z=1已知，，是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（　　）A．2，﹣，+2 B．2，﹣，+2C．，2，﹣ D．，+，﹣【答案】C【解析】对于A，因为2=（﹣）+（+2），得2、﹣、+2三个向量共面，故它们不能构成一个基底，A不正确；对于B，因为2=（﹣）+（+2），得2、﹣、+2三个向量共面，故它们不能构成一个基底，B不正确；对于C，因为找不到实数λ、μ，使=λ•2+μ（﹣）成立，故、2、﹣三个向量不共面，它们能构成一个基底，C正确；对于D，因为=（+）﹣（﹣），得、+、﹣三个向量共面，故它们不能构成一个基底，D不正确故选C．【名师点睛】本题给出三个不共面的向量，要我们找出能作为基底的向量组．主要考查了空间向量基本定理、向量共面的充要条件等基础知识、判断向量是否共面等知识点．已知A、B、C是不共线的三点，O是平面ABC外一点，则在下列条件中，能得到点M与A、B、C一定共面的条件是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意三点不共线，点是平面外一点，对于A由于向量的系数和是，不是1，故此条件不能保证点在面上；对于B，等号右边三个向量的系数和为3，不满足四点共面的条件，故不能得到点与一定共面对于C，等号右边三个向量的系数和为1，满足四点共面的条件，故能得到点与一定共面对于D，等号右边三个向量的系数和为0，不满足四点共面的条件，故不能得到点与一定共面综上知，能得到点与一定共面的一个条件为.故选．【名师点睛】本题考查平面向量的基本定理，利用向量判断四点共面的条件，解题的关键是熟练记忆四点共面的条件，利用它对四个条件进行判断得出正确答案.2．空间向量基本定理的应用（1）运用空间向量基本定理，结合数量积运算，证明空间线面的位置关系；（2）通过空间向量基本定理，求直线的夹角以及两点间的距离（线段长度）.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c,E为A1D1的中点,F为BC1与B1C的交点.(1)用基底{a,b,c}表示下列向量:,,;(2)在图中画出++化简后的向量.【答案】见解析【解析】(1)=+=+-=a-b+c,=++=-a+b+c,=+=a+(b+c)=a+b+c.(2)++=+(+)=+=+=.连接DA1,则即为所求.【名师点睛】本题运用空间向量基本定理，根据空间向量的运算得出结果，整体在于基底的运用。如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为△BC1D的重心. (1)试证A1,G,C三点共线;(2)试证A1C⊥平面BC1D;(3)求点C到平面BC1D的距离.【答案】见解析【解析】(1)证明:∵正方体ABCD-A1B1C1D1是平行六面体,∴=+=++.又∵点G为△BC1D的重心,∴=(++)=.故A1,G,C三点共线.(2)证明:设=b,=c,=d,则|b|=|c|=|d|=a,且b·c=b·d=c·d=0.∵=++=b+c+d,=+=d-b,∴·=(b+c+d)·(d-b)=a2-a2=0.∴⊥,即CA1⊥BC1.同理可证CA1⊥BD.又BC1∩BD=B,∴CA1⊥平面BC1D.(3)由(2)知点C到平面BC1D的距离为CG.∵=b+c+d,∴||=a.∴||=||=a.【名师点睛】(1)选取空间不共面的三个向量为基底,用基底表示已知条件和所需解决问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过程;(2)通过计算向量的数量积为0,可证明垂直问题;(3)要证线面平行,证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示即可．3．空间向量基本定理推论的误用平行六面体中，，则实数x，y，z的值分别为(    )A． B． C． D．【错解】做题时没有思索，直接根据平面向量基本定理推论，则对空间任一点P都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使=x+y+z,且x+y+z=1，由此得出，故答案为A【错因分析】错解中把空间向量的线性运算和空间向量基本定理混为一谈.【正解】,.故选C.【名师点睛】空间向量的线性运算，类似于平面向量的线性运算，充分运用数形结合，题目迎刃而解.1．给出下列命题：①已知，则；②为空间四点，若不构成空间的一个基底，那么共面；③已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底；④若共线，则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．42．如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记,则（    ）A． B．C． D．3．如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（    ）A． B． C． D．4．如图，平行六面体中中，各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，则对角线的长为（    ）
 A．1 B． C． D．2 5．平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||等于(　　)A．5 B．6 C．4 D．86．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=，=，=，则=_____． 
7．如图,在四面体O-ABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=　　　　　　　(用a,b,c表示).  8．如图K39-5所示,已知空间四边形OABC中,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,则cos<,>的值为 (　　)A.0              B.      C.             D.9．已知空间向量a,b满足|a|=|b|=1,且a,b的夹角为,O为空间直角坐标系的原点,点A,B满足=2a+b,=3a-b,则△OAB的面积为              (　　)A.            B.         C.               D.10．在四面体中，以上说法正确的有（    ）A．若，则可知B．若Q为的重心，则C．若，，则D．若四面体各棱长都为2，M，N分别为，的中点，则11．已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是OA,BC的中点,点G在线段MN上,且=2,现用基底{,,}表示向量,有=x+y+z,则x,y,z的值分别为　　　　. 12．如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点. (1)求·;(2)求EG的长.                1．【答案】C【解析】对于①，若，则，故，故①正确；对于②，若不构成空间的一个基底，这3个向量共线面，故共面，故②正确；对于③，当时，若与不共面，则可构成空间的一个基底，故③不正确；对于④，根据向量共线的定义可得其成立，故④正确；故选C2．【答案】C【解析】，．，故选．3．【答案】B【解析】是边的中点，；；故选：．4．【答案】B【解析】在平行六面体中中，因为各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，所以，所以，所以，，，所以，故选B5．【答案】A【解析】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中有，=所以有=，于是有===25所以，答案选A6．【答案】.【解析】=(+)= +)= +=．故答案为：.
 7．【答案】a+b+c【解析】　=+=++=a+b+c.8．【答案】A【解析】设=a,=b,=c,由已知条件知<a,b>=<a,c>=,且|b|=|c|,则·=a·(c-b)=a·c-a·b=|a||c|-|a||b|=0,∴cos<,>=0,故选A.9．【答案】B【解析】||===,同理||=,则cos∠AOB===,从而有sin∠AOB=,∴△OAB的面积S=×××=,故选B.10．【答案】ABC【解析】对于，，， ，，即，故正确；对于，若Q为的重心，则，即，故正确；对于，若，，则故正确； 对于，故错误.故选11．【答案】x=,y=,z=.【解析】∵=+=+=+(-)=+=++,∴x=,y=,z=.12．【答案】见解析【解析】设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,==c-a,=-a.(1)·=·(-a)=-a·c+a2=-+=(2)=++=+(-)+(-)=-++=-a+b+c,∴||2=(-a+b+c)2=(a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c)=∴||=,即EG的长为.