高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用达标测试

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用达标测试，共27页。试卷主要包含了4空间向量的综合应用等内容，欢迎下载使用。
2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典1.4空间向量的综合应用（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共18小题，8道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。一、单项选择题（本题共8小题，每小题满分5分）1．（2020·全国课时练习）如图，已知正三棱柱的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是(    )                                             A． B． C． D．0【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则：,，，，向量,，.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．（2020·全国课时练习）如图所示，在正四面体A­BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为(　　)A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】首先利用正四面体的线与线的位置关系，求出点A在下底面的投影，进一步求出在下底面的射影位置，最后利用所求出的线段长，通过解直角三角形求得结果.【详解】在正四面体中，设棱长为，为棱的中点，如下图所示过做平面，则为平面的中心，延长交于，过做，连接，所以就是所求的与平面的夹角．所以，求得，所以，利用，解得，所以，，在中，，故选B.【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，勾股定理的应用及相关的运算问题，具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作--作出斜线与射影所成的角；（2）证--论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算--常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角；（4）答--回答求解问题．3．（2020·全国课时练习）已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设，根据点在直线上，求得，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得时，取得最小值，即可求解.【详解】设，由点在直线上，可得存在实数使得，即，可得,所以,则，根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时.故选：C.【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 4．（2020·全国课时练习）圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面的中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）若则点形成的轨迹的长度为( 　  )A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P的轨迹方程，得到P的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．【详解】建立空间直角坐标系．设A（0，﹣1，0），B（0，1，0），S（0，0，），M（0，0，），P（x，y，0）．于是有（0，1，），（x，y，）．由于AM⊥MP，所以（0，1，）•（x，y，）＝0，即y，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为2． 故选C．【点睛】本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．属中档题5．（2020·全国高二课时练习）如图所示，在四面体中，平面，，那么二面角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】本题首先可作于点以及作于点，然后通过求出，最后根据以及二面角为锐二面角即可得出结果.【详解】如图所示，作于点，作于点，设，则易得，，，可以求得，.因为，所以，则，，因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为，故答案为：C.【点睛】本题考查二面角的余弦值的求法，考查向量的数量积公式的灵活应用，考查向量加法法则的几何应用，考查数形结合思想，考查推理能力与计算能力，是中档题.6．（2020·全国高二课时练习）如图所示，，是直角梯形两腰的中点，于点，现将△沿折起，使二面角为，此时点在平面内的射影恰为点，则，的连线与所成的角的大小为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】首先根据题意，建立空间直角坐标系，设出边长，求得点的坐标，进而求得向量的坐标，利用向量数量积等于零，得到两向量的夹角为，进而得到异面直线所成角的大小.【详解】建立空间直角坐标系，如图所示：由题意知为等腰直角三角形.设，则，，.设，则，，，，，所以，，所以.故，从而与所成的角为.故选：B.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用空间向量求异面直线所成角，属于简单题目.7．（2020·全国高二课时练习）已知空间中三点，，，则（    ）A．与是共线向量B．的单位向量是C．与夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是【答案】D【解析】【分析】根据向量的相关性质判断.【详解】对于A项，，，所以，则与不是共线向量，所以A项错误；对于B项，因为，所以的单位向量为，所以B项错误；对于C项，向量，，所以，所以C项错误；对于D项，设平面的法向量是，因为，，所以，则，令，则平面的一个法向量为，所以D项正确.故选:D.【点睛】本题考查共线向量的判断，单位向量的求法，夹角的求法，平面法向量的求法，属于空间向量综合题.8．（2020·浙江余杭·高三学业考试）如图，在圆锥中，，是上的动点，是的直径，，是的两个三等分点，，记二面角，的平面角分别为，，若，则的最大值是（     ）[来源:学科网ZXXK]A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设底面圆的半径为,,以所在直线为轴,以垂直于所在直线为轴,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角与夹角的余弦值.结合即可求得的取值范围,即可得的最大值.【详解】设底面圆的半径为,,以所在直线为轴,以垂直于所在直线为轴,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,如下图所示:则由可得,,是的两个三等分点则 所以设平面的法向量为 则,代入可得[来源:学科网]化简可得令,解得所以平面的法向量为由图可知, 二面角的平面角为锐二面角,所以二面角的平面角满足设二面角的法向量为[来源:学科网]则代入可得化简可得令,解得所以平面的法向量为 由图可知, 二面角的平面角为锐二面角,所以二面角的平面角满足由二面角的范围可知结合余弦函数的图像与性质可知即化简可得,且所以所以的最大值是故选:B【点睛】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用,根据题意建立合适的空间直角坐标系,求得平面的法向量,即可求解.本题含参数较多,化简较为复杂,属于难题. 二、多选题（3道小题，每小题满分5分，答漏得3分，答错得0分）9．（2020·全国单元测试）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ）A． B．C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为【答案】AB【解析】【分析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断.【详解】以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1,则 而， 所以A正确. =0,所以B正确.向量,显然 为等边三角形，则.所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确又， 则， 所以，所以D不正确.故选：AB【点睛】本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题.10．（2020·全国单元测试）（多选题）正方体的棱长为1，分别为的中点．则（    ）A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点和点到平面的距离相等【答案】BC【解析】【分析】找到在平面内的射影，由三垂线定理可知与不垂直，故A错误；易证：平面平面，由面面平行的性质可得平面，故B正确；通过延展平面可得截面四边形，经过计算可知，C正确；通过反证法，假设成立，推出矛盾，从而证明D不正确.【详解】取的中点，连接，则为直线在平面内的射影，与不垂直，从而与也不垂直，选项A错误；取的中点为，连接，则，易证：平面平面，从而平面，选项B正确；连接，，易知四边形为平面截正方体所得的截面四边形（如图所示），且，，所以，而，从而选项C正确；假设点与点到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于点，易知不是的中点，故假设不成立，从而选项D错误.故选：BC【点睛】本题以正方体为载体，考查了空间中线线、线面的位置关系、点到面的距离、截面面积等立体几何基本知识，考查了运算求解能力和空间想象能力，属于中档题目.11．（2020·山东高三其他）在长方体中，，，分别是上的动点，下列结论正确的是（    ）A．对于任意给定的点，存在点使得B．对于任意给定的点，存在点使得C．当时，D．当时，平面【答案】ABD【解析】【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算，，，，得到答案.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，， 设，得到，.，，，当时，，正确；，，取时，，正确；，则，，此时，错误；，则，，设平面的法向量为，则，解得，故，故平面，正确.故选：.【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力. 三、填空题（3道小题，每小题满分5分） 12．（2018·上海市控江中学）写出直线的一个法向量=______．【答案】【解析】【分析】化直线方程为斜截式，求出直线的斜率，得到直线的一个方向向量，进而可求得直线的一个法向量，得到答案．【详解】由题意，化直线的方程为斜截式，可得直线的斜率为-2，所以直线的一个方向向量为，所以直线的一个法向量为．故答案为【点睛】本题主要考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键，是基础题．13．（2020·全国高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为________.【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，找到、法向量，用异面直线与的距离公式求得即可.【详解】点到直线距离的最小值就是异面直线与的距离，以点为原点，，，所在直线的方向分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，设，，，则，，，取，则，∴，又，异面直线与的距离即点到直线距离的最小值为.故答案为：【点睛】求异面直线之间的距离，关键是建立空间直角坐标系，找到法向量，正确运用公式.14．（2017·浙江余姚中学高二月考）如图，棱长为3的正方体的顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是______.【答案】【解析】【分析】求点到平面的距离，建立空间直角坐标系，由顶点到平面的距离分别为，，利用空间点到平面距离公式，求出平面的法向量，即可求出结论.【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则点到平面距离为，①点到平面距离为，②由①②可得，所以到平面的距离为.故答案为:.【点睛】本题考查点到平面的距离，利用空间直角坐标系解题时，正确建立空间坐标系是关键，属于较难题. 四、解答题（4道小题，每小题满分10分） 15．（2020·安徽高三其他（理））如图1，在直角梯形ABCD中，，，，E，F分别为AD，BC的中点，若沿着EF折叠使得如图2所示，连结BC．（1）求证：平面平面ABFE；（2）求二面角C-BF-D的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）本小题先根据勾股定理判断线线垂直，再证明线面垂直，最后证明面面垂直.（2）本小题根据题意建立空间直角坐标系，再求二面角两个面的法向量，最后根据夹角公式求解即可.【详解】（1），分别为，的中点，．，，∴平面平面∴平面平面．（2）由（1）知，，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，令则，，，，．，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，∴平面的一个法向量为．设平面的法向量为，则，即，令，则，，∴平面的一个法向量为．∴∵二面角为锐二面角设为，∴．【点睛】本题考查通过线线垂直证明面面垂直和借空间向量求二面角的余弦值，是较难题.16．（2020·湖南月考）已知四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面，、分别是、上的中点，直线与平面所成角的正弦值为，点在上移动.（1）证明：无论点在上如何移动，平面平面；（2）若点为的中点，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）本小题先证明是正三角形，从而证明，再证明，接着证明平面，最后平面平面.（2）本小题先建立空间直角坐标系，再明确就是直线与平面所成的角，求得、，并标点，接着求平面的一个法向量，平面的一个法向量，最后求出二面角的余弦值为.【详解】（1）因为底面为菱形，，所以是正三角形，又是的中点，所以，又，所以. 因为平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）得，，，两两垂直，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图.因为平面.，所以就是直线与平面所成的角，在中，由得，由已知，则，得，所以，即，从而， 则，，，，，，，所以，，设是平面的一个法向量，则取，得.又平面，∴是平面的一个法向量，所以，由图可知为锐二面角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查利用线面垂直证明面面垂直，利用空间向量求二面角的余弦值，是偏难题.17．（2020·甘肃城关·兰州一中高三三模（理））已知，图中直棱柱的底面是菱形，其中.又点分别在棱上运动，且满足：，.（1）求证：四点共面，并证明∥平面.（2）是否存在点使得二面角的余弦值为？如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）不存在点使之成立.见解析【解析】【分析】(1) 在线段上分别取点,使得,进而得到与即可.(2) 以为原点,分别以,及过且与平行的直线为轴建立空间直角坐标系,再求解平面的法向量与平面的法向量,再设,,再根据二面角的计算方法分析是否存在使得二面角为的余弦值为即可.【详解】解：（1）证法1：在线段上分别取点,使得,易知四边形是平行四边形,所以,联结,则,且所以四边形为矩形,故,同理,且,故四边形是平行四边形,所以,所以故四点共面又,平面,平面,所以平面.证法2：因为直棱柱的底面是菱形,∴,底面,设交点为,以为原点,分别以,及过且与平行的直线为轴建立空间直角坐标系.则有,,,,设,,则,,,,,,所以,故四点共面.又,平面,平面,所以平面.（2）平面中向量,,设平面的一个法向量为,则,可得其一个法向量为.平面中,,,设平面的一个法向量为,则,所以取其一个法向量.若,则,即有,,解得,故不存在点使之成立.【点睛】本题主要考查了根据线线平行证明共面的方法,同时也考查了建立空间直角坐标系确定是否存在满足条件的点的问题.需要根据题意建立合适直角坐标系,再利用空间向量求解二面角的方法,分析是否有参数满足条件等.属于难题.18．（2020·全国高三其他（理））某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一．（1）当圆弧E2F2（包括端点）上的点P与B1的最短距离为5时，证明：DB1⊥平面D2EF．（2）若D1D2＝3．当点P在圆弧E2E2（包括端点）上移动时，求二面角P﹣A1C1﹣B1的正切值的取值范围．【答案】（1）见解析，（2）【解析】【分析】（1）以为原点，以的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，可得，从而可证DB1⊥平面D2EF；（2）设，则，所以，求出平面的法向量，而平面的一个法向量，设二面角的大小为，则先求出，从而可得，再由可得的范围.【详解】（1）证明：作平面于，则在圆弧上，因为，所以当取最小值时，最小，由圆的对称性可知，的最小值为，所以,如图，以为原点，以的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，,因为，所以,因为平面，平面，,所以DB1⊥平面D2EF，[来源:学科网ZXXK]（2）解：若D1D2＝3，由（1）知,设，因为，设所以，，设平面的法向量为，则，令，则，取平面的一个法向量，[来源:Z#xx#k.Com]设二面角的大小为，显然是钝角，则，，则，所以二面角的正切值的取值范围为，【点睛】此题考查了利用空间向量证明线面垂直，求二面角，考查了空间想象能力和推理计算能力，属于较难题.