2021学年2.2 直线的方程教案

这是一份2021学年2.2 直线的方程教案，共13页。教案主要包含了直线的点斜式方程和斜截式方程等内容，欢迎下载使用。
专题2.2 直线的方程一、直线的点斜式方程和斜截式方程1.直线点斜式方程(1) y-y1 =k( x-x1)，其中（）为直线上一点坐标, k为直线斜率. (2) 特殊说明： ①这个方程是由直线上一点和斜率确定的;②当直线l的倾斜角为0°时,直线方程为         ;③当直线倾斜角为90°时,直线没有斜率,它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:            .2.直线的斜截式方程(1) y = kx + b, 其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。(2) 特殊说明：①b为直线l在y轴上截距；②斜截式方程可由过点（0，b）的点斜式方程得到；③当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.二、直线的两点式方程和截距式方程以及一般式方程1.直线的两点式方程(1)                         其中（是直线两点的坐标.(2) 特殊说明：①这个方程由直线上两点确定;②当直线没有斜率()或斜率为时,不能用两点式求出它的方程. 2.直线的截距式方程(1)                      ,其中a,b分别为直线在x轴和y轴上截距.(2) 特殊说明：①这一直线方程由直线在x轴和y轴上的截距确定,所以叫做直线方程的截距式;②求直线在坐标轴上的截距的方法：令x = 0得直线在y轴上的截距；令y= 0得直线在x轴上的截距。3.直线的一般式方程①直线的方程都是关于x，y的二元一次方程；②关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．因此，关于x，y的二元一次方程是直线的方程，我们把方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)叫做直线的一般式方程．一、    二、      帮—重点直线的方程的形式以及求解注意事项帮—难点直线的方程的选择以及求解帮—易错直线的截距讨论1．直线的点斜式方程和斜截式方程（1）y-y1 =k( x-x1)（2）y = kx + b一条直线经过点P1(-2,3),倾斜角=45°,求这条直线方程,并画出图形.【答案】见解析【解析】这条直线经过点P1(-2,3),斜率是:.代入点斜式方程,得这就是所求的直线方程,图形如图中所示     【名师点睛】通过直线的倾斜角，求出直线的斜率，由已知条件可知运用直线的点斜式方程求解，这要求熟练掌握直线的点斜式方程，并具备一定的作图观察能力.根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【答案】见解析【解析】(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－.由斜截式可得方程为y＝－x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.【解题技巧】1.直线的斜截式方程使用的前提条件是斜率必须存在．2.当直线的斜率和直线在y轴上的截距都具备时，可以直接写出直线的斜截式方程；当斜率和纵截距不直接给出时，求直线的斜截式方程可以利用待定系数法求解．2．直线的两点式方程和截距式方程以及一般式方程（1）（2）三角形的顶点是A(-5,0)、B（3，-3）、C（0，2）,求这个三角形三边所在直线的方程.【答案】见解析【解析】直线AB过A(-5,0)、B（3，-3）两点，由两点式得整理得：，即直线AB的方程.直线BC过C(0,2),斜率是,由点斜式得:整理得:,即直线BC的方程.直线AC过A(-5,0),C(0,2)两点,由截距式得:整理得：，即直线AC的方程.【名师点睛】在求解直线方程的过程中，并不是一定要用到哪一个方程，对于直线的方程要学会灵活运用.本题运用直线方程的点斜式与两点式,说明了求解直线方程的灵活性,应让学生引起注意.求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．【答案】见解析【解析】设直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b.①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1.若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7.②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x＋4y＝0.综上所述，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.【解题技巧】本题考查直线的截距式方程，直线的截距式要注意绝对值相等时截距是否为0的问题，然后再求解直线．3．忽略截距为0的情况　求过点(2,4)且在坐标轴上的截距之和为0的直线方程．【错解】设直线的方程为＋＝1.因为直线过点(2,4)，所以＋＝1，解得a＝－2.故所求的直线方程为＋＝1，即x－y＋2＝0.【错因分析】直线的截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形，本题由截距式求解时没有考虑截距为0的情形，导致漏解．【正解】当直线的截距均不为0时，同错解；当直线的截距均为0时，直线过原点，此时直线的斜率为k＝2，直线的方程为y＝2x，即2x－y＝0.故所求的直线方程为2x－y＝0或x－y＋2＝0.【名师点睛】当直过原点的时候，直线的截距为0，这是解题所要注意的，也是在求解这类问题所经常出现的错误，因此要深入理解截距的概念。1．经过点(－，2)，倾斜角是30°的直线的方程是(　　)A．y＋＝(x－2)                     B．y＋2＝(x－)C．y－2＝(x＋)                     D．y－2＝(x＋)2．直线在两坐标轴上的截距之和为（    ）A． B． C． D．3．若，则直线可能是（    ）A． B． C．   D．4．过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为(　　)A．y＝－x＋3　　 　　 B．y＝x－3C．y＝x＋3                    D．y＝－x－35．已知a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点(　　)A．  B．C.  D．6．已知点，点B在直线上运动则当线段最短时，直线的一般式方程为__________．7．已知直线过点且与直线：垂直，则的点斜式方程为        ．8．已知两点，，则直线的方程为______.9．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝_____10．若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点_____． 11．直线的图象可能是(　　)A． B． C． D．12．若直线与两坐标轴围成的三角形的面积S为（    ）A． B．C． D．13．已知直线和直线都过点,则过点和点的直线方程是(    )A． B． C． D．14．过点P(4，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有(　　)A．1条 B．2条 C．3条 D．4条15．下列说法正确的是（    ）A．点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3）B．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为C．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0D．直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是816．如果，，那么直线经过（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限17. 在x轴上的截距为，倾斜角的正弦值为的直线方程为________．18. 直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的方程为_________.19. 如图所示，已知直线，现将直线向上平移到直线的位置，若，和坐标轴围成的梯形面积为，求的方程       20. 已知直线方程为，.（1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程.        1．【答案】C【解析】直线的斜率k=tan30°=,由直线的点斜式方程可得y－2＝(x＋),故选C.2．【答案】D【解析】将方程化为截距式得，从而可知直线在x轴，y轴上的截距分别为，故截距之和为．故选D3．【答案】C【解析】由题意知，直线方程可化为,，故直线的斜率小于0，在y轴上的截距大于0．故选C．4．【答案】C【解析】代入两点式得直线方程＝，整理得y＝x＋3，故选C.5．【答案】D【解析】∵a＋2b＝1，b＝，∴ax＋3y＋＝0，即a＋3y＋＝0，∴∴x＝，y＝－.故直线必过定点，故选D．6．【答案】【解析】当线段最短时，，所以，所以直线的方程为，化为一般式方程为．故答案为：，7．【答案】y－1＝－(x－2)【解析】根据题意可知：直线的斜率为−1，所以的点斜式方程为y－1＝－(x－2)．8．【答案】或【解析】当时，直线的方程为；当时，直线的方程为，即.故：或.9．【答案】-2【解析】将点A、点B代入两点式方程可得：，化简得：，将点P代入直线方程，可得：，解得：.10．【答案】【解析】因为过定点，而关于点的对称点为，又直线与直线关于点对称，所以直线恒过定点.11．【答案】B【解析】显然不可能是C，时，直线的斜率为正，纵截距为负，排除A，时，斜率为负，纵截距为正，D不符，只有B符合题意．故选B．12．【答案】D【解析】∵ab≠0，∴令y＝0，得x＝，令x＝0，得y＝，∴三角形的面积S＝.选D.13．【答案】B【解析】把坐标代入两条直线和,得,,,过点,的直线的方程是：,,则,,,所求直线方程为：．故选 B14．【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在坐标轴上的截距为0，当直线不过原点时，直线的斜率为﹣1，可得过点P（4，﹣3）且在坐标轴上的截距相等的直线共有2条．故选：B．15．【答案】ACD【解析】点（2，0）与（﹣1，3）的中点（，）满足直线y＝x+1，并且两点的斜率为﹣1，所以点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3），所以A正确；当x1≠x2，y1≠y2时，过（x1，y1），（x2，y2），两点的直线方程为，所以B不正确；经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0，所以正确；直线x﹣y﹣4＝0，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：8，所以D正确；故选：ACD.16．【答案】ABC【解析】直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，如下图所示：由图象可知，直线经过第一、二、三象限.故选：ABC.17. 【答案】或【解析】设直线的倾斜角为，则，因为，所以，故，所求的直线方程为即为或，填或.18. 【答案】【解析】设直线l与的交点为，直线l与的交点为B.由已知条件，得直线l与的交点为.联立即解得即.所以直线l的方程为，即.故答案为：19. 【答案】【解析】设直线的方程为：则图中，，，梯形面积又，解得：直线的方程为：，即20. 【答案】（1）   （2）或【解析】(1) 由化简得,令 ,故直线恒过定点(2)由题得中.令有 ,故在轴上的截距为.令有.故在轴上的截距为.故,故或.当时, 化简得,当时,化简得故直线的方程为或