高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置教案

专题2.5 直线与圆、

圆与圆位置关系

一、直线与圆的位置关系

设圆O的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:

二、圆与圆的位置关系

设两圆的半径分别为R,r(R>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示:

二、d>R+r　d=R+r　R-r<d<R+r　d=R　d<R-r

1．直线与圆的位置关系

直线方程：  Ax +By +C=0

圆的方程：(x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0) 或x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)

已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的（    ）.

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，

则 ，解得，

所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.

故选：B

【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，充分必要条件，重点考查计算，理解能力.

若圆上恰有两个点到直线的距离为1，则实数b的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】，半径，

圆心到直线的距离：

，

由题意知，

即，

所以，

故选：D.

【名师点睛】本题考查了直线和圆的位置关系以及点到直线距离公式的应用.

2．圆与圆的位置关系

圆与圆：相离、外切、相交、内切、内含

若圆：与圆：没有公共点，则实数的取值范围是______.

【答案】或

【解析】由圆：可知圆心，半径，

由圆：可得圆心，半径，

因为两圆无公共点，所以两圆相离或内含，

所以，或（无解）

所以，解得或

故答案为：或

【名师点睛】本题考查了由圆的标准方程求圆心坐标和半径，考查了两圆相离或内含的位置关系.

3．切线与弦长

圆：被直线：所截得的弦长为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】圆的圆心为，半径为，到直线的距离为，所以所截得的弦长为．

故选：B．

【解题技巧】本题考查求直线与圆相交弦长，解题方法是几何法，求出圆心到直线的距离后由勾股定理得弦长．

4．圆的弦所在直线漏解

　若直线过点P(4,1)且被圆x2+y2=25截得的弦长是6,则该直线的方程为　　　　

【错解】设直线的方程为y-1=k(x-4),即kx-y-4k+1=0,

圆心到直线的距离d=,则2=6,解得k=-,

所以直线方程为15x+8y-68=0.

【错因分析】本题中忽略了直线的斜率问题，导致出现错误.

【正解】当直线的斜率不存在时,该直线的方程为x=4,代入圆的方程解得y=±3,

故该直线被圆截得的弦长为6.

当直线的斜率存在时,不妨设直线的方程为y-1=k(x-4),即kx-y-4k+1=0,

圆心到直线的距离d=,则2=6,解得k=-,

所以直线方程为15x+8y-68=0.综上所述,

所求直线方程为x=4或15x+8y-68=0.

【名师点睛】求解直线与圆的有关问题，一定要考虑全面，尤其是直线的斜率存在问题.

1．“”是“直线与圆相交”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知直线与圆没有公共点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

3．直线将圆平分，且与直线垂直，则直线的方程是(    )

A．  B． C．  D．

4．若圆与圆外切，则（   ）.

A． B． C． D．

5．若圆和相交，则的取值范围是（    ）

A． B．

C．或 D．或

6．已知直线与圆相切，则的值可以为（    ）

A． B． C． D．

7．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角可能为（    ）

A． B． C． D．

8．过圆上一点作圆的切线， 则该切线的方程为______ ．

9．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为，则a＝________.

10．在直角中，是直角，顶点，的坐标分别为，，圆是的外接圆．

（1）求圆的方程；

（2）求过点且与圆相切的直线的方程．

11．过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

12．圆与圆的公切线有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

13．已知圆，直线l：，若圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，则b的取值范围为   

A． B． C． D．

14．已知圆，圆，分别为圆上的点，为轴上的动点，则的最小值为(  )

A． B． C． D．

15．直线与圆的两个交点恰好关于轴对称，则等于（ ）

A． B． C． D．

16．已知圆O：和圆C：.现给出如下结论，其中正确的是（    ）

A．圆O与圆C有四条公切线

B．过C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或

C．过C且与圆O相切的直线方程为

D．P､Q分别为圆O和圆C上的动点，则的最大值为，最小值为

17. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（    ）

A．圆M上点到直线的最小距离为2

B．圆M上点到直线的最大距离为3

C．若点（x，y）在圆M上，则的最小值是

D．圆与圆M有公共点，则a的取值范围是

18. 在平面直角坐标系中，点，若圆上存在一点满足，则实数的取值范围是__________．

19. 已知圆：和圆：（，且），若两圆外切，则的最小值为______.

20. 已知椭圆：（）的右焦点为，离心率为，且经过点，点为椭圆上的动点.

（1）求到点的最短与最长距离；

（2）设直线：与椭圆相交于、两点，则是否存在点，使得的内切圆恰好为？并说明理由.

21.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为

A．  B． 

C．  D．

22. 【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为

A．  B． 

C．  D．

23. 【2020年高考北京】已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为

A． 4  B． 5 

C． 6  D． 7

24. 【2020年高考天津】已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．

25. 【2020年高考浙江】已知直线与圆和圆均相切，则_______，b=_______．

26. 【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是      ．

1．【答案】A

【解析】圆的圆心为原点，半径，原点到直线的距离，当时，，所以，直线与圆相交；反之，若直线与圆相交，则有，即，解得：，因此，根据充分、必要条件的概念，“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件，

故选A．

2．【答案】C

【解析】圆即为．

所以圆心为，半径为

因为直线与圆没有公共点，

所以直线与圆相离

所以，解得．

∴实数a的取值范围为

故选：C

3．【答案】A

【解析】直线与直线垂直，可设直线方程为，

圆的标准方程为，

圆心坐标为.

直线平分圆，即圆心在直线：上，

，解得，

故直线的方程为.

故选：A.

4．【答案】B

【解析】由圆，得到圆心坐标，半径为，

由圆，得到圆心坐标，半径为，

圆心与圆外切，所以，

解得，

故选B．

5．【答案】D

【解析】圆，圆心为，半径为2，

圆，圆心为，半径为3，

因为两圆相交，

所以，

解得或，

故选：D

6．【答案】BCD

【解析】因为直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离等于半径，即，则，

不妨令，，

则，其中，

所以，

因为，故A取不到；

，，都在范围内，所以BCD都有可能取到.

故选：BCD.

7．【答案】AD

【解析】圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的圆心为，半径为，

圆心到直线的距离，

因为弦长为，所以，即，解得，

所以，所以直线的倾斜角为或.

故选：A D

8．【答案】

【解析】依题意圆心为，故，所以过点的圆的切线的斜率为，由点斜式得切线方程为，即.

故答案为.

9．【答案】

【解析】圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦所在直线方程为，

设圆心到直线的距离为，

则，又公共弦长为，所以，

所以，所以，所以.又，所以，

故答案为：.

10．【答案】（1）（2）或．

【解析】（1）∵在直角中，是直角，顶点，的坐标分别为，，

∴是直径，则的中点，即圆心，

半径，

则圆的方程为．

（2）∵，

∴点在圆外，

当切线斜率不存在时，此时切线方程为，到圆心的距离．此时满足直线和圆相切，

当直线斜率存在时，设为，则切线方程为，

即，

则圆心到直线的距离，

即，平方得，

即，

则，此时切线方程为，

综上求过点且与圆相切的直线的方程为或．

11．【答案】D

【解析】由题意得直线斜率存在，设为k，则直线：，

由直线与圆有公共点得，

从而倾斜角取值范围是，

故选D.

12．【答案】B

【解析】圆的圆心为，半径，

圆的圆心为，半径，

由于圆心距，满足：，

故两圆相交，故而可得两圆公切线的条数为2条，

故选：B.

13．【答案】D

【解析】因为圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，所以圆心到直线l：的距离小于1，因此有，

故选D.

14．【答案】D

【解析】如图所示，圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，

圆的圆心坐标为,，半径为3，

由图象可知，当三点共线时，取得最小值，

且的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和，

即，

故选D．

15．【答案】A

【解析】由得:

两交点恰好关于轴对称    ，解得：

故选：

16．【答案】AD

【解析】由题意可得，圆O：的圆心为，半径，

圆C：的圆心，半径,

因为两圆圆心距，

所以两圆相离，有四条公切线，A正确；

截距相等可以过原点或斜率只能为，B不正确；

过圆外一点与圆相切的直线有两条，C不正确；

的最大值等于，最小值为，D正确.

故选：AD

17. 【答案】ACD

【解析】由AB＝AC可得△ABC外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，即△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线，

由点B(－1,3)，点C(4,－2)可得线段BC的中点为，且直线的BC的斜率，

所以线段BC的垂直平分线的斜率，

所以线段BC的垂直平分线的方程为即，

又圆M：的圆心为，半径为，

所以点到直线的距离为，

所以圆M：，

对于A、B，圆M的圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为，故A正确，B错误；

对于C，令即，当直线与圆M相切时，圆心到直线的距离为，解得或，则的最小值是，故C正确；

对于D，圆圆心为，半径为，若该圆与圆M有公共点，则即，解得，故D正确.

故选：ACD.

18. 【答案】

【解析】由题意得圆的圆心为，半径为1．

设点的坐标为，

∵，

∴，

整理得，

故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆．

由题意得圆和点M的轨迹有公共点，

∴，

解得．

∴实数的取值范围是．

19. 【答案】1

【解析】根据题意，圆，其圆心为，半径，

圆其圆心为，半径，

若两圆外切，则有，变形可得：，

，当且仅当时等号成立，

故的最小值为1；

故答案为：1．

20. 【答案】（1）到点的最短与最长距离分别为1，3（2）不存在.见解析

【解析】(1)依题意得，解得，

所以椭圆的方程为．

设()到点的距离为，因为，所以，

所以，其对称轴为，

所以该函数在上单调递减，

所以当时，取得最小值；当时，取得最大值，

所以到点的最短与最长距离分别为，．

(2)假设存在点，使得的内切圆恰好为，

设，因为直线与圆相切，

所以圆心到直线直线的距离，所以，

所以当时，：，

由，得，解得，

所以，，

法1：因为为的角平分线，所以，

所以，所以，即，

所以直线的方程为，

因为圆心到直线的距离为，所以此时不是圆的切线．

同理，当时，也不是圆的切线，

综上所述：不存在.

法2：因为，，所以

所以，直线的方程为

由原点到直线的距离为1，得，解得或，

当时，，此时直线的斜率为，所以直线的方程为，

因为圆心到直线的距离为，所以此时不是圆的切线．

当时，，此时直线的效率为，

所以直线的方程为，与直线重合，故舍去，

同理，当时，也不是圆的切线

综上所述：不存在.

21. 【答案】D

【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．

依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，

当直线时，，，此时最小．

∴即，由解得，．

所以以为直径的圆的方程为，即，

两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．

故选：D．

22. 【答案】B

【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，

则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，

设圆心的坐标为，则圆的半径为，

圆的标准方程为.

由题意可得，

可得，解得或，

所以圆心的坐标为或，

圆心到直线的距离均为；

圆心到直线的距离均为

圆心到直线的距离均为；

所以，圆心到直线的距离为.

故选：B．

23. 【答案】A

【解析】设圆心，则，

化简得，

所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，

当且仅当在线段上时取得等号，

故选：A．

24. 【答案】5

【解析】因为圆心到直线的距离，

由可得，解得．

故答案为：．

25. 【答案】；

【解析】由题意，到直线的距离等于半径，即，，

所以，所以（舍）或者，

解得.

故答案为：

26.【答案】

【解析】

设圆心到直线距离为，则

所以

令（负值舍去）

当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，

故答案为：