人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线达标测试

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线达标测试，共23页。试卷主要包含了双曲线的定义及标准方程，双曲线的几何性质等内容，欢迎下载使用。
专题3.2 双曲线一、双曲线的定义及标准方程双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的　　　　　　　等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作　　　　　　　,两焦点间的距离叫作　. 双曲线的标准方程：焦点在x轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0);焦点在y轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).二、双曲线的几何性质标准方程-=1(a>0,b>0)-=1(a>0,b>0)图形性质范围x≥a或x≤-a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R 对称性对称轴:坐标轴.对称中心:原点顶点A1(-a,0)   A2(a,0)A1(0,-a)    A2(0,a)渐近线y=　　　 y=　　　 离心率e=,e∈(1,+∞)a,b,c的关系c2= a2+b2 (c>a>0,c>b>0) 实、虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长 一、距离的差的绝对值　双曲线的焦点　双曲线的焦距　2a<|F1F2|　2a=|F1F2|　2a>|F1F2|二、±x　   ±x 帮—重点双曲线的方程及几何性质帮—难点双曲线的几何性质帮—易错双曲线性质1．双曲线的定义及标准方程双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.双曲线的标准方程：焦点在x轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0);焦点在y轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　)A．4 B．－4 C．－ D．【答案】C【解析】依题意，双曲线的标准方程为，即，由于虚轴长是实轴长的倍，所以，即，也即.故选C.【名师点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线实轴和虚轴的概念.若曲线表示双曲线，则的取值范围是_________________.【答案】【解析】∵曲线表示双曲线，∴，解得或．故答案为：．【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程，二元二次方程，在时表示双曲线，在时表示椭圆，在时表示圆，时不表示任何曲线．2．双曲线几何性质双曲线的性质：范围、对称性、顶点、焦距、离心率、渐近线；已知离心率为的双曲线：的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于、两点．若的面积为2，则实数的值为（    ）A．2 B． C．4 D．8【答案】A【解析】因为双曲线的离心率为，所以，所以得到，所以所以双曲线：的渐近线为取，倾斜角为，为直径，所以，所以为等腰直角三角形所以，解得所以.故选：A.【名师点睛】本题考查根据双曲线的离心率求渐近线方程，双曲线的几何性质.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ）A． B．3 C．6 D．【答案】C【解析】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，又，，两式相减，可得：，，． ，，当且仅当时取等号，的最小值为6，故选：C．【解题技巧】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键，意在考查学生的计算能力．3．双曲线几何性质有关问题　若直线过点P(4,1)且被圆x2+y2=25截得的弦长是6,则该直线的方程为　　　　【错解】因为双曲线渐近线方程为y=±x, a=4,b=3 e= =【错因分析】本题中忽略了双曲线交点位置的讨论，导致漏解.【正解】因为双曲线渐近线方程为y=±x,当焦点在x轴上时,e==;当焦点在y轴上时,e==,所以离心率为或.【名师点睛】双曲线焦点有两种情况，要考虑全面，焦点在x轴和焦点在y轴.1．设分别是双曲线的左、右焦点.若点在双曲线上，且，则 （    ）A． B． C． D．2．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为2，且经过点，点在上，，则点到轴的距离为（    ）A． B． C． D．3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为（    ）A． B． C． D．4．已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点P为和的一个公共点，且，若，则的值是（    ）A． B． C． D．5．已知，分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，点是两曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（    ）A． B．C． D．26．已知方程，其中，则（    ）A．时，方程表示椭圆B．时，方程表示双曲线C．时，方程表示抛物线D．时，方程表示焦点在轴上的椭圆7．已知双曲线：（）的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（    ）．A．的焦点在轴上 B．C．的实轴长为6 D．的离心率为8．已知F为双曲线的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点在线段PQ上，则的周长为________．9．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线于P，Q两点，且，，则双曲线的离心率为________.10．在周长为48的直角三角形中，，求以为焦点，且过点的双曲线方程.    11．已知，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为（    ）A．9 B． C．8 D．712．已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的渐近线方程是（    ）A． B． C． D．13．椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点为，且.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．14．设双曲线的右焦点为，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于另一点（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．15．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)A． B．3C．m D．3m16．已知点在双曲线上，、是双曲线的左、右焦点，若的面积为，则下列说法正确的有（    ）A．点到轴的距离为 B．C．为钝角三角形 D．17. 已知P是双曲线C：上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线，的斜率分别为，（），若恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（    ）A．双曲线的方程为B．双曲线的离心率为C．函数（，）的图象恒过双曲线C的一个焦点D．直线与双曲线C有两个交点18. 已知为双曲线：的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为__________．19. 已知点为圆上任一点，，分别为椭圆的两个焦点，求的取值范围______.20. 对于双曲线，定义为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点为、.（1）当时，记双曲线的半焦距为，其伴随椭圆的半焦距为，若，求双曲线的渐近线方程；（2）若双曲线的方程为，弦轴，记直线与直线交点为，求动点的轨迹方程；（3）过双曲线的左焦点，且斜率为的直线与双曲线交于、两点，求证：对任意的，在伴随曲线上总存在点，使得.21.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C:的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点.若，则的离心率为          .22. 【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.23. 【2019年高考浙江】渐近线方程为的双曲线的离心率是（  ）A.  B. 1C.  D. 224. 【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=A． 1  B． 2 C． 4  D． 825. 【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为A．4  B．8 C．16  D．3226. 【2020年高考天津】设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为A．     B．    C．     D．1．【答案】B【解析】根据题意，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．∵点P在双曲线上，且，根据直角三角形斜边中线是斜边的一半，∴=2|=|=2．故选B．2．【答案】B【解析】由双曲线的离心率为，可知双曲线为等轴双曲线，，将点代入双曲线方程得,根据对称性，不妨设点在第一象限，到轴的距离为，，，由余弦定理得，所以，由三角形面积公式可得，得.故选：B.3．【答案】C【解析】由题意可得，，即有，可得，，P为双曲线右支上一点，可得，又，可得，则的周长为，故选：C4．【答案】D【解析】设椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，焦点坐标为，，不妨设为第一象限内的点，则，，则，由余弦定理得：，，，又，，.故选：.5．【答案】B【解析】由双曲线与抛物线有共同的焦点知，因为，且，则，，点在双曲线上，则，故，则，所以，离心率为，故选：B.6．【答案】BD【解析】若，则不表示椭圆，故A错误；若，则表示焦点在x轴上的双曲线，若，则表示焦点在y轴上的双曲线，故B正确；当时，若，则方程表示两条垂直于x轴的直线，若则不表示任何图形，故C错误；时，，表示焦点在x轴上的椭圆，D正确.故选：BD7．【答案】AD【解析】由，可知双曲线的焦点一定在轴上，故A正确；根据题意得，所以，故B错误；双曲线的实轴长为，故C错误；双曲线的离心率，故D正确．故选：AD．8．【答案】32【解析】根据题意，双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点，虚轴长为：6；
双曲线图象如图：
①
 ②
而，
①＋②
得：，
∴周长为．
故答案为32．9．【答案】【解析】依题意，圆：；不妨设点在第一象限，联立，解得；而，故，解得，故，即所求渐近线方程为.故答案为：10．【答案】【解析】的周长为48，且.设，则..解方程，得..以所在直线为轴，以的中点为原点建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程为，由，得.由，则..因此，所求双曲线方程为.11．【答案】C【解析】如图所示：设圆心为，双曲线右焦点为，且，，所以，当且仅当，，三点共线时取得等号．故选：C.12．【答案】D【解析】如图所示，双曲线的渐近线为，对于，，直线与直线垂直，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.设直线与直线相交于原点到直线：的距离得，因此，由于是线段的中点，是线段的中垂线，则根据几何图形的性质可得，根据双曲线的定义得，因此可得，，则双曲线的线近线为.故选：D13．【答案】B【解析】不妨设P为第一象限的点，在椭圆中： ① ,在双曲线中:   ②,联立①②解得, ,在中由余弦定理得：即即椭圆的离心率，双曲线的离心率，故选：B14．【答案】B【解析】如下图所示：设点为第一象限的点，由于以为直径的圆交双曲线的渐近线于点，则，且，，因此，双曲线的离心率为.故选：B.15．【答案】A【解析】双曲线可化为，一个焦点为，一条渐近线方程为，点到的一条渐近线的距离为，故选A.16．【答案】CD【解析】因为双曲线，所以.又因为，所以，所以选项A错误；将代入得，即.由对称性，不妨取的坐标为，可知.由双曲线定义可知，所以，所以选项B正确；由对称性，对于上面点，在中，.且，则为钝角，所以为钝角三角形，选项C正确；由余弦定理得，，所以选项D错误.故选：BC.17. 【答案】AC【解析】设，则，所以，所以，又，当且仅当等号成立，又，且实数t的最大值为1，所以，即，所以双曲线的方程为，故A正确；则双曲线的离心率，故B错误；双曲线的焦点坐标为，函数（，）的图像过定点，故C正确；双曲线的渐近线为，而直线的斜率为，所以直线与双曲线C有没有交点，故D错误，故选：AC18. 【答案】【解析】因为为双曲线：的左焦点，所以，又点，关于直线对称，，所以可得直线的方程为，又，中点在直线上，所以，整理得，又，所以，故，解得，因为，所以.故答案为19. 【答案】【解析】如图，可设为双曲线右支上一点，由，在直角三角形中，，由双曲线的定义可得：，由，即有，即为，，解得，，由勾股定理可得：，可得.故答案为：.20. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【解析】（1）由题意可得，，由，得，即，可得，因此，的渐近线方程为；（2）设，，设点，又、，所以，直线的方程为①，直线的方程为②，由①得，由②得，上述两个等式相乘可得，在双曲线上，，可得，，，化简可得；（3）证明：点的坐标为，直线的方程为，设、的坐标分别为、则由，得，即，当时，，由韦达定理可得，，由，知，，双曲线的伴随曲线是圆，圆上任意一点到的距离，，，所以，对任意的，在伴随曲线上总存在点，使得.21. 【答案】2【解析】由知是的中点，，又是的中点，所以为中位线且，所以，因此，又根据两渐近线对称，，所以，.22. 【答案】【解析】由已知得，解得或，因为，所以.因为，所以双曲线的渐近线方程为.23. 【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线为，所以，则，双曲线的离心率.故选：C．24. 【答案】A【解析】，，根据双曲线的定义可得，，即，，，，即，解得，故选：A．25. 【答案】B【解析】，双曲线的渐近线方程是，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限，联立，解得，故，联立，解得，故，，面积为：，双曲线，其焦距为，当且仅当取等号，的焦距的最小值：.故选：B．26.【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．故选：．