人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线教案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线教案，共22页。教案主要包含了抛物线的定义，抛物线的标准方程和几何性质等内容，欢迎下载使用。
专题3.3 抛物线一、抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹叫作抛物线:(1)在平面内;(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等; (3)定点不在定直线上. 二、抛物线的标准方程和几何性质标准方程    p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴直线y=0直线x=0焦点FFFF离心率e=1准线方程x=-x=　y=-y=范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R开口方向向右向左向上向下二、y2=2px(p>0)　 y2=-2px(p>0)　 x2=2py(p>0)　 x2=-2py(p>0) 帮—重点抛物线的方程及几何性质帮—难点抛物线的几何性质帮—易错直线与抛物线的位置关系1．抛物线的定义及标准方程抛物线的定义：动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等.抛物线的标准方程：y2=2px(p>0)　 y2=-2px(p>0)　 x2=2py(p>0)　 x2=-2py(p>0)已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足，则抛物线的方程为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设抛物线的准线为，作直线于点，交轴于由抛物线的定义可得：，结合可知：，即，据此可知抛物线的方程为：.故选：D.【名师点睛】求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点，且，则（    ）A．4 B．2 C． D．【答案】B【解析】依题意可得，设，由得，所以，，所以，，因为为抛物线上一点，所以，解得.故选：B.【名师点睛】本题考查了平面向量加法的坐标运算，考查了求抛物线方程，计算要注意.2．抛物线的几何性质抛物线的性质：范围、对称性、焦距、离心率、准线方程；抛物线与直线的位置关系问题的计算.已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.故选：D【名师点睛】抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.已知双曲线的渐近线与抛物线交于点，直线AB过抛物线M的焦点，交抛物线M于另一点B，则等于（    ）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【答案】C【解析】双曲线，双曲线的渐近线方程为，不妨取，双曲线渐近线与抛物线交于点，则将点A代入可得，将点A代入抛物线方程可得，则，所以抛物线，焦点坐标为，直线AB过抛物线M的焦点，则由A和焦点坐标可得直线AB的方程为，直线AB与抛物线交于，联立抛物线方程，化简可得，则，所以，故选：C.【解题技巧】本题考查了双曲线与抛物线的综合应用，直线与抛物线相交所得弦长的求法.3．直线与抛物线的位置关系问题　若直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点,则k的值为　　　　. 【错解】由得k2x2+(4k-8)x+4=0,由题意有Δ=-64k+64=0,解得k=1.【错因分析】本题忽略了直线与抛物线的位置关系中的特殊情况，即与抛物线对称轴平行的情况.【正解】由得k2x2+(4k-8)x+4=0,则当k=0时,方程只有一个解,满足条件;当k≠0时,由题意有Δ=-64k+64=0,解得k=1.综上知,k的值为0或1.【名师点睛】抛物线不是封闭的曲线，当直线与抛物线的对称轴平行的时候，直线与抛物线的交点也可以是一个，解题时不可以忽略.   1．抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为()A． B． C． D．或2．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则（    ）A． B． C． D．13．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（    ）A． B． C． D．24．已知抛物线（）的准线与圆相交所得的弦长为，则的值为（    ）A． B．1 C．2 D．45．设抛物线的焦点为，准线为．是抛物线上的一点，过作轴于，若，则线段的长为（    ）A． B． C． D．6．已知点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（    ）A．抛物线的准线方程为B．抛物线的焦点坐标为C．点B的坐标为D．的面积为87．设抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，．若以为直径的圆过点，则抛物线C的方程可能为（    ）A． B． C． D．8．已知为抛物线上一点，抛物线的焦点为，则______.9．已知抛物线的焦点为，准线为，：过点且与相切，轴被所截得的弦长为4，则=________.10．已知点满足,设点M的轨迹是曲线C．（1）求曲线C的方程．（2）过点且斜率为1的直线l与曲线C交于两点A,B,求（O为坐标原点）的面积     11．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，过作抛物线的一条切线，切点为，且满足，则抛物线的方程为（    ）A． B． C． D．12．抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，则m等于(　　)A．  B．2C．  D．313．已知抛物线：（）上一点到焦点的距离为6，，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．14．已知抛物线的焦点为直线与抛物线交于两点，若中点的纵坐标为5，则（      ）A．8 B．11 C．13 D．1615．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则（    ）A． B． C．3 D．916．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则（    ）A．的准线方程为 B．点的坐标为C． D．三角形的面积为（为坐标原点）17. 已知为坐标原点，，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（    ）A．若，则点的横坐标为4B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为D．周长的最小值为18. 已知抛物线的焦点为，准线为，：过点且与相切，则______.19. 已知抛物线的准线方程为，在抛物线上存在两点关于直线对称，且为坐标原点，则的值为__________.20. 已知抛物线，为上一点且纵坐标为4，轴于点，且，其中点为抛物线的焦点.（1）求抛物线的方程；（2）已知点，，是抛物线上不同的两点，且满，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.       21.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为.（1）若，求的方程；（2）若，求.22. 【2019年高考浙江】如图，已知点为抛物线，点为焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.（1）求的值及抛物线的标准方程；（2）求的最小值及此时点的坐标.23. 【2019年高考北京】已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．24. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=A．2  B．3 C．6  D．925. 【2020年高考北京】设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线A． 经过点 B． 经过点C． 平行于直线 D． 垂直于直线26. 【2020年新高考全国Ⅰ卷】斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．      1．【答案】B【解析】根据题意设出抛物线的方程，因为点在抛物线上，所以有，解得，所以抛物线的方程是：，故选B.2．【答案】C【解析】因为抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，又因为，所以，故选：C.3．【答案】B【解析】因为抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，故选：B．4．【答案】C【解析】抛物线（）的准线方程为，圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为2，圆心到准线的距离为，所以有，解得.故选：C.5．【答案】C【解析】抛物线的准线方程为，由于，根据抛物线的定义可知，将代入抛物线方程得，所以.故选：C6．【答案】ABD【解析】将代入抛物线方程可得，因此抛物线方程为，所以准线方程为，焦点坐标为，故A，B正确；易知轴，所以，故C错误；又因为，所以，故D正确．故选：ABD7．【答案】AC【解析】由题意可知，抛物线C的焦点，设点，抛物线C上点，则，．因为以为直径的圆过点，所以，即解得，．由得．又，解得或，则抛物线C的方程为或．故选：AC．8．【答案】【解析】由为抛物线上一点，得，可得.则.故答案为：.9．【答案】1或3【解析】由已知得圆心在抛物线上，所以；又抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，则，所以，因为轴被所截得的弦长为，根据圆的性质：圆心到弦的距离的平方，与弦长一半的平方之和，等于半径的平方；所以，故.所以，即，所以或，故或.故答案为：1或3.10．【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知得点M的轨迹是以点为焦点的抛物线∴∴所以曲线的方程为（2）联立得.11．【答案】C【解析】由题意可知，抛物线准线方程为，点，切线斜率一定存在，设过点与抛物线相切的直线方程为，切点，联立抛物线与切线方程，转化得，，解得，当时，直线方程为，，解得，则，因为，所以，解得；当时，同理得，综上所述，抛物线方程为，故选：C.12．【答案】A【解析】∵A,B两点关于直线y＝x＋m对称，∴可设直线AB的方程为y＝－x＋b，由消去y整理得2x2＋x－b＝0，∵直线AB与抛物线交于两点，∴Δ＝1＋8b＞0，解得．又由题意得，∵，∴b＝1，满足题意．设A，B的中点为P(x0，y0)，则，∴，又点在直线y＝x＋m上，∴，解得．故选A．13．【答案】A【解析】由抛物线：（）焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，∴抛物线方程为.设，圆：，圆心为，半径为1，则，当时，有最小值，故最小值为.故选：.14．【答案】C【解析】抛物线中p＝3，设点A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义可得：|AF|+|BF|＝y1+ y2+p＝y1+ y2+3，又线段AB中点M的横坐标为5，∴＝10，∴|AF|+|BF|＝13；故选：C.15．【答案】B【解析】由题意，抛物线的焦点为，因为，可得,如图所示，过点作直线于点，则，所以在直角中，，所以，所以直线的方程为，联立，整理得，解得或，由抛物线的定义可知.故选：B.16．【答案】ACD【解析】如图，不妨设点位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点.由抛物线的解析式可得准线方程为，点的坐标为，则，，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有，结合题意，有，故，，.故选：ACD.17. 【答案】ACD【解析】因为双曲线的方程为，所以，，则，因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以，即，选项A：若，则点的横坐标为，所以选项A正确；选项B：因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为，所以选项B错误；选项C：因为、，所以外接圆的圆心的横坐标为1，又因为外接圆与抛物线的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3，所以，所以该外接圆面积为，所以选项C正确；选项D：因为的周长为，所以选项D正确.故选：ACD18. 【答案】2或6【解析】在上所以，即（1），和与相切，（2），由（1）（2）得，所以或故答案为：2或6.19. 【答案】【解析】拋物线的准线方程为，可知抛物线的方程为：．设点，的中点为，则两式相减可得，，，所以，解得，可得，则，可得.故答案为：．20. 【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】（1）设，根据抛物线的定义可得 又轴于点，则，所以 ，则所以，由在抛物线上，，解得所以抛物线的方程为（2）证明：点在抛物线上.设的方程为：， 由 得 所以，整理得 将代入得，即.所以直线恒过定点21. 【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设直线的方程为，设，，联立直线与抛物线的方程：消去化简整理得，，，，依题意可知，即，故，得，满足，故直线的方程为，即.（2）联立方程组消去化简整理得，，，，，，可知，则，得，，故可知满足，.22. 【答案】（1）1，；（2），.【解析】(1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为.(2)设，设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：，故：，，设点C的坐标为，由重心坐标公式可得：，，令可得：，则.即，由斜率公式可得：，直线AC的方程为：，令可得：，故，且，由于，代入上式可得：，由可得，则，则.当且仅当，即，时等号成立此时，，则点G的坐标为.23. 【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)见解析.【解析】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，故抛物线方程：，其准线方程为：.(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.故：.设，则，直线的方程为，与联立可得：，同理可得，易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，且：，，则圆的方程为：，令整理可得：，解得：，即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.24. 【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.故选：C．25. 【答案】B【解析】如图所示：．因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.故选：B．26.【答案】【解析】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：代入抛物线方程消去y并化简得，解法一：解得   所以解法二：设，则,过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.故答案为：