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浙教版初中数学九年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析）
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这是一份浙教版初中数学九年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙教版初中数学九年级上册期中测试卷
考试范围：第一.二章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(−4,0)、B(0,3)，抛物线y=−x2+2x+1与y轴交于点C，点E在抛物线y=−x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是 ( )
A. 1.4 B. 2.5 C. 2.8 D. 3
2. 三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )
A. 43米 B. 52米 C. 213米 D. 7米
3. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于(−3,0)，对称轴为x=−1.则下列结论：
①abc>0； ②4a+2b+c>0； ③3a+c=0；
④若(−32,y1)(12,y2)是图象上的两点，则y1>y2；
⑤若y≤c，则−2≤x≤0.其中正确结论的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 如图，在边长为1的小正方形组成的4×4网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点，在格点中任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为1的概率为( )
A. 424
B. 15
C. 625
D. 825
5. 甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数，则满足关于x的方程x2+px+q=0有两个相等实数解的概率是( )
A. 13 B. 16 C. 112 D. 118
6. 四张完全相同的卡片上分别画有平行四边形、菱形、等腰梯形、圆，现从中任意抽取一张，卡片上所画的图形恰好是中心对称图形的概率为( )
A. 34 B. 1 C. 12 D. 14
7. 已知二次函数y=-14x2+bx+c的图象如下，则一次函数y=-14x-2b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
8. 将二次函数y=−x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为( )
A. −214或−3
B. −134或−3
C. 214或−3
D. 134或−3
9. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：
①抛物线过原点；
②4a+b+c=0；
③a−b+c<0；
④抛物线的顶点坐标为(2,b)；
⑤当x<2时，y随x增大而增大．
其中结论正确的是( )
A. ①②③
B. ③④⑤
C. ①②④
D. ①④⑤
10. 下列计算
①9=±3 ②3a2−2a= a ③(2a2)3=6a6 ④ a8÷a4= a2 ⑤3−27 = −3，
其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是( )
A. 15 B. 25 C. 45 D. 45
11. 2018年5月5日，中国邮政发行《马克思诞辰200周年》纪念邮票1套2枚(如图)，这套邮票正面图案为：马克思像、马克思与恩格斯像，背面完全相同.发行当日，小宇购买了此款纪念邮票2套，他将2套邮票沿中间虚线撕开(使4枚形状、大小完全相同)后将4枚纪念邮票背面朝上放在桌面上，并随机从中抽出2张，则抽出的2张邮票恰好都是“马克思像”的概率为( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 16
12. 有一个有趣的“扫雷”游戏．如图是“扫雷”游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷(每个方格面积相同)，小旗表示该方格已被探明有地雷．现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其他地方为安全区(包括有数字的方格)，则A、B、C三个方格中有地雷概率最大的方格是( )
A. A B. B C. C D. 无法确定
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 二次函数y=12x2+12x的图象如图所示，点A1、A2、A3、A4…、A2022在二次数y=12x2+12x位于第一象限的图象上．点B1、B2、B3、B4…、B2022在y轴的正半轴上，ΔOA1B1，、△B1A2B2、…、△B2021A2022B2022都是等腰直角三角形，则B2021A2022= ．
14. 如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=13x2上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2.则菱形OABC的面积是_____．
15. 已知三角形的两边分别是2cm和3cm，现从长度分别为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm、6cm六根小木棒中随机抽一根，抽到的木棒能作为该三角形第三边的概率是______ ．
16. 如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现任意选取一个白色的小方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知二次函数y=ax2−4ax+3+b(a≠0)．
(1)求出二次函数图象的对称轴；
(2)若该二次函数的图象经过点(1,3)，且整数a，b 满足4
18. (本小题8.0分)
某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元).设每件商品的售价上涨x元(x为整数)，每个月的销售利润为y元．
(1)求y关于x的函数表达式并直接写出自变量x的取值范围．
(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
19. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+10分别与x轴、y轴相交于A，B两点，点C的坐标是(8,4)，连结AC，BC．
(1)求过O，A，C三点的抛物线的函数表达式，并判断△ABC的形状．
(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当t为何值时，PA=QA？
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
20. (本小题8.0分)
如图是一大一小的两个可以自由转动的转盘，甲盘被平均分成6等份，乙盘被平均分成4等份，每个转盘均被涂上红、黄、蓝三种颜色，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色，小明与小颖参与游戏；小明转动甲盘，小颖转动乙盘．
(1)小明转出的颜色为红色的概率为______；
(2)小明转出的颜色为黄色的概率为______；
(3)小颖转出的颜色为黄色的概率为______；
(4)两人均转动转盘，如果转出的颜色为红色，则胜出，你认为该游戏公平吗？为什么？
21. (本小题8.0分)
在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率定于0.25
(1)请估计摸到白球的概率将会接近______；
(2)计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
(3)如果要使摸到白球的概率为25，需要往盒子里再放入多少个白球？
22. (本小题8.0分)
在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．
(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m,n)可能的结果；
(2)若m，n都是方程x2−5x+6=0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2−5x+6=0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
23. (本小题8.0分)
小明参加一个知识竞赛，该竞赛试题由10道选择题构成，每小题有四个选项，且只有一个选项正确。其给分标准为：答对一题得2分，答错一题扣1分，不答得0分，若10道题全部答对则额外奖励5分。小明对其中的8道题有绝对把握答对，剩下2题完全不知道该选哪个选项。
(1)对剩下的2道题，若小明都采用随机选择一个选项的做法，求两小题都答错的概率
(2)从预期得分的角度分析，采用哪种做法解答剩下2道题更合算？
24. (本小题8.0分)
如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2−2x+c(c>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.抛物线的顶点为E，若点B的坐标是(1,0)，点D是该抛物线在第二象限图象上的一个动点．
(1)求该抛物线的解析式和顶点E的坐标；
(2)设点D的横坐标是a，问当a取何值时，四边形AOCD的面积最大；
(3)如图2，若直线OD的解析式是y=−3x，点P和点Q分别在抛物线上和直线OD上，问：是否存在以点P，Q，O，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−12(x−m)2+4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1,n)在该函数图象上．
(1)当m=5时，求n的值．
(2)当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．
(3)作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】略
2.【答案】B
【解析】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=32，
设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+32，
∵BC=10，
∴点B(−5,0)，
∴0=a×(−5)2+32，
∴a=−350，
∴大孔所在抛物线解析式为y=−350x2+32，
设点A(b,0)，
则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m(x−b)2，
∵EF=14，
∴点E的横坐标为−7，
∴点E坐标为(−7,−3625)，
∴−3625=m(x−b)2，
∴x1=65−1m+b，x2=−65−1m+b，
∵MN=4，
∴|65−1m+b−(−65−1m+b)|=4
∴m=−925，
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=−925(x−b)2，
∵大孔水面宽度为20米，
∴当x=−10时，y=−92，
∴−92=−925(x−b)2，
∴x1=522+b，x2=−522+b，
∴单个小孔的水面宽度=|(522+b)−(−522+b)|=52(米)，
故选：B．
根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=−10代入可求解．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的图像与性质及抛物线的位置与a，b，c之间的关系等，熟练掌握运用二次函数的图像与性质及二次函数图像上点的坐标特征是解题的关键．根据抛物线开口方向，与y轴的交点位置，及对称轴的位置判断①；把x=2代入函数解析式判断②；把抛物线与x轴的另一个交点坐标代入解析式，再根据a，b的关系判断③；④中的问题可利用抛物线的对称性把这两个点转化到对称轴的同一侧，再利用二次函数的增减性进行判断；利用抛物线的对称性及与二次函数与不等式的关系判断⑤．
【解答】
解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∵抛物线的对称轴在x轴的负半轴，
∴a，b同号，
∴b>0，
∴abc<0，①错误；
设抛物线与x轴的另一个交点为(x,0)，由题意得，
对称轴x=−3+x2=−1，解得x=1，
∴当x=1时，y=a+b+c=0，
当x=2时，y=4a+2b+c，根据抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大可知，y>0，即4a+2b+c>0， ②正确;
∵对称轴x=−b2a=−1，
∴b=2a，
把b=2a代入a+b+c=0得3a+c=0， ③正确;
设抛物线上与点(−32,y1)的对称点为(x1,y1)，
由题意得12(−32+x1)=−1，
解得x1=−12，
∵−12<12，
根据抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大可得，y1
设抛物线上与(0,c)对称的点的坐标为(x2,c)，
由题意得12(0+x2)=−1，解得x2=−2，
由题图可以看出，当y≤c时，−2≤x≤0， ⑤正确．
共有3个选项正确．
故选B．
4.【答案】C
【解析】 ∵在格点中任意放置点C，共有25种等可能的结果，恰好能使△ABC的面积为1的有6种结果，
∴恰好能使△ABC的面积为1的概率为625．
故选C．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式，概率公式，用列举法求概率(列表法与树状图法)，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；一元二次方程有实数根，判别式为非负数．方程x2+px+q=0有相同实数解，则p2−4q=0，把投掷骰子的36种p、q对应值，代入检验，找出符合条件的个数．
【解答】
解：两人投掷骰子共有36种等可能情况，
其中，有实数解的情况为：
p=6时，q=6、5、4、3、2、1；
p=5时，q=6、5、4、3、2、1；
p=4时，q=4、3、2、1；
p=3时，q=2、1；
p=2时，q=1；
使方程有相等实数解共有2种情况：
p=4，q=4；p=2，q=1；故其概率为118．
故选D．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
此题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=nm，关键是找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数．
先找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数，再除以总数即可．
【解答】
解：∵四张卡片中中心对称图形有线段、平行四边形、圆共3个，
∴卡片上所画的图形恰好是中心对称图形的概率为34．
故选A．
7.【答案】C
【解析】解：二次函数y=−14x2+bx+c，
二次函数图象的对称轴位于y轴左侧，a、b同号，即b<0，进一步，由对称轴为x=−1，得出b=2a=−12，
二次函数图象经过y轴正半轴可知c>0，进一步，二次函数图象经过(−3,0)，将b=−12代入，求出c=34；
联立一次函数y=−14x−2b与反比例函数y=cx得到：cx=−14x−2b，即x2−4x+3=0．
则Δ=16−12=4>0，
所以，可以确定一次函数和反比例函数的图象有2个交点；
由b<0可知，直线y=−14x−2b经过一、二、四象限，
由c>0可知，反比例函数y=cx的图象经过第一、三象限，
故选：C．
由函数图象求出b=−12，c=34，从而联立一次函数与反比例函数解析式，得出一次函数和反比例函数的图象有2个交点，并且由b、c的符号可判断出一次函数和反比例函数图象所在的象限，从而得解．
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．
分两种情形：当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y=x+b与抛物线y=(x−1)2−4(−3≤x≤1)相切时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【解答】
解：二次函数解析式为y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线y=−x2+2x+3的顶点坐标为(1,4)，
当y=0时，x2−2x−3=0，解得x1=−1，x2=3，
则抛物线y=−x2+2x+3与x轴的交点为A(−1,0)，B(3,0)，
把抛物线y=−x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y=(x−1)2−4(−1≤x≤3)，顶点坐标M(1,−4)，
当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b=0，解得b=−3；
当直线y=x+b与抛物线y=(x−1)2−4(−3≤x≤1)相切时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即(x−1)2−4=x+b有相等的实数解，整理得x2−3x−b−3=0，△=32−4(−b−3)=0，解得b=−214，
所以b的值为−3或−214，
故选A．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b=−4a、c=0，即4a+b+c=0，结论②正确；③根据抛物线的对称性结合当x=−1时y>0，即可得出a−b+c>0，结论③错误；④将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=0，即可求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；⑤观察函数图象可知，当x<2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．综上即可得出结论．
【解答】
解：①∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(0,0)，结论①正确；
②∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，且抛物线过原点，
∴−b2a=2，c=0，
∴b=−4a，c=0，
∴4a+b+c=0，结论②正确；
③当x=−1时，
a−b+c>0，结论③错误；
④当x=2时，y=ax2+bx+c=4a+2b+c=(4a+b+c)+b=b，
∴抛物线的顶点坐标为(2,b)，结论④正确；
⑤观察函数图象可知：当x<2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．
综上所述，正确的结论有：①②④．
故选C．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了概率、平方根、合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练运用概率公式及这些运算法则是解题的关键．
直接利用算术平方根的定义以及合并同类项、幂的乘方与积的乘方，同底数幂除法的性质，立方根分别化简得出答案．然后根据运算结果正确的个数和总数即可得出.随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【解答】
解：①9=3；②3a2−2a不能合并；
③2a23=8a6；④a8÷a4=a4
⑤3−27=−3
∴结果正确的有一个是⑤，则运算结果正确的概率是15，
故选A．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查概率公式和树状图的知识，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
由这2套共4张邮票中，“马克思像”的有2张，画出树状图，再利用概率公式计算可得．
【解答】
解：如图：在这2套共4张邮票中，“马克思像”的2张，总情况有12种，则抽出的2张邮票恰好都是“马克思像”有两种，概率为212=16．
故选D．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了概率的求法与运用，根据已知得出右边2靠近B，C，此时B，C均不是地雷是解决问题的关键．根据图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，即可得出B，C均不是地雷，即可得出答案．
【解答】
解：根据题意分析可得：B，C一定不是地雷，
∴A处是雷，则B，C处均不地雷，
P(A)=1；P(B)=0；P(C)=0，
故A、B、C三个方格中有地雷概率最大的是A，
故选A．
13.【答案】20222
【解析】解：设A1B1=x，
∵△OA1B1是等腰直角三角形，
∴OB1=x，
则A1的坐标为(x,x)，代入二次函数y=12x2+12x，
得x=12x2+12x，
解得x=1或x=0(舍)，
设A2B2=m，
∵△B1A2B2是等腰直角三角形，
∴B1B2=m，
∴A2的坐标为(m,1+m)，
代入二次函数y=12x2+12x，
得12m2+12m=1+m，
解得m=2或m=−1(舍)，
同理可求出A3B3=3，
A4B4=4，
∴B2022A2022=2022，根据勾股定理，
得B2021A2022=20222，
故答案为：20222．
先设第一个等腰直角三角形的直角边长为x，表示出点A1的坐标，代入二次函数的解析式，求出x；设第二个等腰直角三角形的直角边长为m，表示出A2的坐标，代入二次函数的解析式，求出m，同理求出第2022个等腰直角三角形的直角边长，即可求出斜边．
本题考查了二次函数图象与规律综合题，利用等腰直角三角形的性质和二次函数的点坐标特征是解决本题的关键．
14.【答案】23
【解析】
【分析】
此题主要考查了菱形的性质以及二次函数图象上点的坐标性质，得出A，C点坐标是解题关键．根据二次函数图象上点的坐标性质得出A，C点坐标，进而利用三角形面积求法得出答案．
【解答】
解：∵菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=13x2上，对角线OB在y轴上，且OB=2，
∴由题意可得：A，C点纵坐标为1，
故1=13x2，
解得：x=±3，故A(3,1)，C(−3,1)，
故菱形OABC的面积是：2×(12×2×3)=23.
故答案为23.
15.【答案】12
【解析】解：六根小木棒中随机抽一根，抽到的木棒能作为该三角形第三边有2cm、3cm，4cm，
所以六根小木棒中随机抽一根，抽到的木棒能作为该三角形第三边的概率=36=12．
故答案为12．
先利用三角形三边的关系可得到抽到的木棒能作为该三角形第三边有2cm、3cm，4cm，然后根据概率公式求解．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了三角形三边的关系．
16.【答案】513
【解析】 白色的小正方形有13个，而涂黑一个能构成一个轴对称图形的情况有5种(如图所示)，
所以使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是513．
17.【答案】解：(1)二次函数图象的对称轴是x=−−4a2a=2；
(2)该二次函数的图象经过点(1,3)，
∴a−4a+3+b=3，
∴b=3a，
把b=3a代入4
∴a=2，则b=6，
∴二次函数的表达式为y=2x2−8x+9；
当a<0时，4<−2a<9，则−92
∴a=−3或−4，
则对应的b=−9或−12，
∴二次函数的表达式为y=−3x2+12x−6或y=−4x2+16x−9；
(3)∵a>0，
则函数表达式为y=2x2−8x+9=2(x−2)2+1，
则函数顶点坐标为(2,1)，开口向上，
当t+1<2，即t<1时，y在t≤x≤t+1上随x的增大而减小，
则当x=t+1时，y有最小值，
即2(t+1−2)2+1=32，
解得：t=12或t=32(舍)；
当t>2时，y在t≤x≤t+1上随x的增大而增大，
则当x=t时，y有最小值，
即2(t−2)2+1=32，
解得：t=32(舍)或t=52；
当1≤t≤2时，y在t≤x≤t+1上的最小值为1，故不符合；
综上：t的值为12或52．
【解析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，求二次函数的对称轴，关键是灵活应用二次函数的性质解题．
(1)由对称轴公式即可求解；
(2)观察函数图象，在给定的范围内，找出对应关系，即可求得二次函数的表达式；
(3)分t<1，t>2，1≤t≤2三种情况分别根据函数的增减性和最小值得到关于t的方程，解之即可．
18.【答案】解：(1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，
则每件商品的利润为：(60−50+x)元，
总销量为：(200−10x)件，
商品利润为：
y=(60−50+x)(200−10x)，
=(10+x)(200−10x)，
=−10x2+100x+2000．
∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，
∴0
=−10(x2−10x)+2000，
=−10(x−5)2+2250．
故当x=5时，最大月利润y=2250元．
这时售价为60+5=65(元)．
【解析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，根据每天的利润=一件的利润×销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．
(1)根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式．
(2)根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式，进而得出当x=5时得出y的最大值．
19.【答案】(1)∵直线y=−2x+10与x轴、y轴相交于A，B两点，∵点A(5,0)，B(0,10)．
∵抛物线经过原点，∴可设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx．
∵抛物线过点A(5,0)，C(8,4)，
∴25a+5b=064a+8b=4,
解得a=16b=−56,
∴抛物线的函数表达式为y=16x2−56x．
∵点A(5,0)，B(0,10)，C(8,4)，
∴AB2=52+102=125，BC2=82+(10−4)2=100，AC2=(8−5)2+42=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．
(2)如解图，由题意，得OP=2t，CQ=10−t．
由(1)可得AC=OA=5，∠ACQ=∠AOP=90°．
又∵PA=QA，∴Rt△AOP≌Rt△ACQ(HL)，
∴OP=CQ，∴2t=10−t，
∴t=103，
即当t=103时，PA=QA.
(3)存在．
∵y=16x2−56x=16x−522−2524，
∴抛物线的对称轴为直线x=52．
设点M52,m．
①若BM=BA时，
∴(52)2+(m−10)2=125，
∴m1=20+5192，m2=20−5192，
∴M1(52,20+5192)，M2(52,20−5192)，
②若AM=AB时，
∴(52)2+m2=125，
∴m3=5192，m4=−5192，
∴M3(52,5192)，M4(52,−5192)，
③若MA=MB时，
∴(52−5)2+m2=(52)2+(10−m)2，
∴m=5，
∴M(52,5)，此时点M恰好是线段AB的中点，构不成三角形，舍去，
∴点M的坐标为：M1(52,20+5192)，M2(52,20−5192)，M3(52,5192)，M4(52,−5192).
【解析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的全等的性质和判定，等腰三角形的性质．
(1)先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形；
(2)根据运动表示出OP=2t，CQ=10−t，判断出Rt△AOP≌Rt△ACQ，得到OP=CQ即可；
(3)分三种情况，利用两点间的距离公式和等腰三角形的两边相等建立方程求解即可得出结论．
20.【答案】16 12 12
【解析】解：(1)∵甲盘被平均分成6等份，其中红色有1等份，
∴小明转出的颜色为红色的概率为16；
故答案为：16；
(2)∵甲盘被平均分成6等份，其中黄色有3等份，
∴小转出的颜色为黄色的概率为36=12；
故答案为：12；
(3))∵乙盘被平均分成4等份，其中黄色有2等份，
∴小颖转出的颜色为黄色的概率为24=12；
故答案为：12；
(4)不公平，因为小明转出的颜色为红色的概率为16，小颖转出的颜色为红色的概率为14，而14>16，所以不公平．
(1)根据甲盘被平均分成6等份，其中红色有1等份，再根据概率公式即可得出答案；
(2)根据甲盘被平均分成6等份，其中黄色有3等份，再根据概率公式即可得出答案；
(3)根据乙盘被平均分成4等份，其中黄色有2等份，然后根据概率公式即可得出答案；
(4)根据概率公式先求出小明和小颖转出的颜色为红色的概率，然后进行比较，即可得出答案．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】0.25
【解析】解：(1)根据题意得：当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.25；假如你摸一次，你摸到白球的概率为0.25；
故答案为：0.25；
(2)60×0.25=15，60−15=45；
答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有15个、45个；
(3)设需要往盒子里再放入x个白球；
根据题意得：15+x60+x=25，
解得：x=15；
经检验x=15是原方程的解，
答：需要往盒子里再放入15个白球．
(1)根据题意容易得出结果；
(2)由60×0.25=15，60−15=45，即可得出结果；
(3)设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可．
本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．大量反复试验下频率稳定值即概率；本题难度适中．
22.【答案】解：(1)树状图如图所示：
(2)方程x2−5x+6=0的解为x=2或者3，
若m，n都是方程x2−5x+6=0的解时，
则m=2，n=2，或m=3，n=3，或m=2，n=3，或m=3，n=2
若m，n都不是方程x2−5x+6=0的解时，
则m=1，n=4，或m=4，n=4；
由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2−5x+6=0的解的结果有4个，
m，n都不是方程x2−5x+6=0的解的结果有2个，
小明获胜的概率为412=13，小利获胜的概率为212=16，
∴小明获胜的概率大．
【解析】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．
(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出m，n都是方程x2−5x+6=0的解和m，n都不是方程x2−5x+6=0的解的结果数，然后根据概率公式求解．
23.【答案】解：(1)因为每小题有四个选项，且只有一个选项就正确的，所以有三个选项是错误的，不妨用“对，错，错，错”来表示．因此可列表
第二题
第一题
对
错
错
错
对
(对，对)
(对，错)
(对，错)
(对，错)
错
(错，对)
(错，错)
(错，错)
(错，错)
错
(错，对)
(错，错)
(错，错)
(错，错)
错
(错，对)
(错，错)
(错，错)
(错，错)
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两题都答错的有9种结果，所以P(两小题都答错)=916；
(2)小明有3种可能的解答方式，分别为①两题都不答;②一题不答，一题随机选择;③两题都采用随机选择．
①当两题都不答时，预期得分为0+16=16分;
②当一题不答，一题随机选择时，
∵P(对)=14，P(错)=34
∴预期得分为：2×14−1×34+0+16=1534分;
③当两题都采用随机选择时，有两题都对，一对一错，两题都错三种可能，所得的分数分别为9分，1分，−2分，相应的概率分别为：
得分值
9分
1分
−2分
概率
P(答对2题)=116
P(答对1题)=616
P(两题都答错)=916
∴预期得分为：9×116+1×616−2×916+16=151316．
∵1534<151316<16，
∴小明采用都不答的解答方式更有利．
【解析】本题考查用列表法或树状图求概率，理解题意是解题的关键．
(1)对于随机选择一个选项的做法，先用列表得到共有16种等可能的结果，其中两题都答错的有9种结果，可得结果；
(2)根据理解预期得分的意义分别计算①两题都不答;②一题不答，一题随机选择;③两题都采用随机选择，三种选择的预期得分，可决定采用哪种做法．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=−x2−2x+c(c>0)的图象经过点B(1,0)，
∴−12−2×1+c=0，
解得c=3，
∴抛物线y=−x2−2x+c(c>0)的解析式是y=−x2−2x+3，
顶点E的坐标是(−1,4)；
(2)令0=−x2−2x+3，
解得x=1，x=−3，
∴OA=3，OC=3．
∵D点的横坐标是a.，
∴D(a,−a2−2a+3)，
连结DO，如图所示：
四边形AOCD的面积=△AOD的面积+△COD的面积
=−32a2−3a+92+(−32a)=−32a2−92a+92，
∴当a=−32时，四边形AOCD的面积最大；
(3)(I)平行四边形以OC为边时，
①P点的坐标是(m,−m2−2m+3)，如图23−3所示，
PQ=OC，
如图23−3得：m<0，则−3m−( −m2−2m+3)=3，
整理得m2−m−6=0，解得：m1=3(舍去)，m2=−2，
此时Q点的坐标是(−2,6)；
②P点的坐标是(m， −m2−2m+3)，如图23−4所示，
PQ=OC，得：m>0，则(−m2−2m+3)−(−3m)=3，
整理得m2−m=0，，解得：m1=1，m2=0(不合题意，舍去)，
此时Q点的坐标是(1,−3)；
(II)平行四边形以OC为对角线时，如图23−5所示，
根据平行四边形的对角线相互平分可知，
∵O，C中点坐标为(0,32)，
∴P，Q中点坐标也为(0,32)，
∵点P(m,−m2−2m+3)，
∴点Q坐标为：(−m,m2+2m)
∵点Q在y=−3x图象上，
∴m2+2m=3m，
∴m2−m=0，
解得：m1=1， m2=0(不合题意，舍去)，
此时Q点的坐标是(−1,3)
综上所述，满足条件的Q点坐标为：(−2,6)，(1,−3)和(−1,3)．
【解析】本题考查的是二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质等有关知识．
(1)利用待定系数法求二次函数解析式即可；
(2)令0=−x2−2x+3，然后求出与x轴的交点，然后再进行解答即可；
(3)根据题意分OC为边和OC为对角线分别画出图形，利用平行四边形的性质列方程求解即可．
25.【答案】解：(1)当m=5时，y=−12(x−5)2+4，
当x=1时，n=−12×42+4=−4．
(2)当n=2时，将C(1,2)代入函数表达式y=−12(x−m)2+4，得2=−12(1−m)2+4，
解得m=3或−1(舍弃)，
∴此时抛物线的对称轴x=3，
根据抛物线的对称性可知，当y=2时，x=1或5，
∴x的取值范围为1≤x≤5．
(3)∵点A与点C不重合，
∴m≠1，
∵抛物线的顶点A的坐标是(m,4)，
∴抛物线的顶点在直线y=4上，
当x=0时，y=−12m2+4，
∴点B的坐标为(0,−12m2+4)，
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，m逐渐减小，点B沿y轴向上移动，
当点B与O重合时，−12m2+4=0，
解得m=22或−22，
当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与B，D重合，点B到达最高点，
∴点B(0,4)，
∴−12m2+4=4，解得m=0，
当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上，
∴B点在线段OD上时，m的取值范围是：0≤m<1或1
【解析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考常压轴题．
(1)利用待定系数法求解即可．
(2)求出y=2时，x的值即可判断．
(3)由题意点B的坐标为(0,−12m2+4)，求出几个特殊位置m的值即可判断．
浙教版初中数学九年级上册期中测试卷
考试范围：第一.二章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(−4,0)、B(0,3)，抛物线y=−x2+2x+1与y轴交于点C，点E在抛物线y=−x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是 ( )
A. 1.4 B. 2.5 C. 2.8 D. 3
2. 三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )
A. 43米 B. 52米 C. 213米 D. 7米
3. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于(−3,0)，对称轴为x=−1.则下列结论：
①abc>0； ②4a+2b+c>0； ③3a+c=0；
④若(−32,y1)(12,y2)是图象上的两点，则y1>y2；
⑤若y≤c，则−2≤x≤0.其中正确结论的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 如图，在边长为1的小正方形组成的4×4网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点，在格点中任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为1的概率为( )
A. 424
B. 15
C. 625
D. 825
5. 甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数，则满足关于x的方程x2+px+q=0有两个相等实数解的概率是( )
A. 13 B. 16 C. 112 D. 118
6. 四张完全相同的卡片上分别画有平行四边形、菱形、等腰梯形、圆，现从中任意抽取一张，卡片上所画的图形恰好是中心对称图形的概率为( )
A. 34 B. 1 C. 12 D. 14
7. 已知二次函数y=-14x2+bx+c的图象如下，则一次函数y=-14x-2b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
8. 将二次函数y=−x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为( )
A. −214或−3
B. −134或−3
C. 214或−3
D. 134或−3
9. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：
①抛物线过原点；
②4a+b+c=0；
③a−b+c<0；
④抛物线的顶点坐标为(2,b)；
⑤当x<2时，y随x增大而增大．
其中结论正确的是( )
A. ①②③
B. ③④⑤
C. ①②④
D. ①④⑤
10. 下列计算
①9=±3 ②3a2−2a= a ③(2a2)3=6a6 ④ a8÷a4= a2 ⑤3−27 = −3，
其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是( )
A. 15 B. 25 C. 45 D. 45
11. 2018年5月5日，中国邮政发行《马克思诞辰200周年》纪念邮票1套2枚(如图)，这套邮票正面图案为：马克思像、马克思与恩格斯像，背面完全相同.发行当日，小宇购买了此款纪念邮票2套，他将2套邮票沿中间虚线撕开(使4枚形状、大小完全相同)后将4枚纪念邮票背面朝上放在桌面上，并随机从中抽出2张，则抽出的2张邮票恰好都是“马克思像”的概率为( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 16
12. 有一个有趣的“扫雷”游戏．如图是“扫雷”游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷(每个方格面积相同)，小旗表示该方格已被探明有地雷．现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其他地方为安全区(包括有数字的方格)，则A、B、C三个方格中有地雷概率最大的方格是( )
A. A B. B C. C D. 无法确定
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 二次函数y=12x2+12x的图象如图所示，点A1、A2、A3、A4…、A2022在二次数y=12x2+12x位于第一象限的图象上．点B1、B2、B3、B4…、B2022在y轴的正半轴上，ΔOA1B1，、△B1A2B2、…、△B2021A2022B2022都是等腰直角三角形，则B2021A2022= ．
14. 如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=13x2上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2.则菱形OABC的面积是_____．
15. 已知三角形的两边分别是2cm和3cm，现从长度分别为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm、6cm六根小木棒中随机抽一根，抽到的木棒能作为该三角形第三边的概率是______ ．
16. 如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现任意选取一个白色的小方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知二次函数y=ax2−4ax+3+b(a≠0)．
(1)求出二次函数图象的对称轴；
(2)若该二次函数的图象经过点(1,3)，且整数a，b 满足4
18. (本小题8.0分)
某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元).设每件商品的售价上涨x元(x为整数)，每个月的销售利润为y元．
(1)求y关于x的函数表达式并直接写出自变量x的取值范围．
(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
19. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+10分别与x轴、y轴相交于A，B两点，点C的坐标是(8,4)，连结AC，BC．
(1)求过O，A，C三点的抛物线的函数表达式，并判断△ABC的形状．
(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当t为何值时，PA=QA？
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
20. (本小题8.0分)
如图是一大一小的两个可以自由转动的转盘，甲盘被平均分成6等份，乙盘被平均分成4等份，每个转盘均被涂上红、黄、蓝三种颜色，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色，小明与小颖参与游戏；小明转动甲盘，小颖转动乙盘．
(1)小明转出的颜色为红色的概率为______；
(2)小明转出的颜色为黄色的概率为______；
(3)小颖转出的颜色为黄色的概率为______；
(4)两人均转动转盘，如果转出的颜色为红色，则胜出，你认为该游戏公平吗？为什么？
21. (本小题8.0分)
在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率定于0.25
(1)请估计摸到白球的概率将会接近______；
(2)计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
(3)如果要使摸到白球的概率为25，需要往盒子里再放入多少个白球？
22. (本小题8.0分)
在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．
(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m,n)可能的结果；
(2)若m，n都是方程x2−5x+6=0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2−5x+6=0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
23. (本小题8.0分)
小明参加一个知识竞赛，该竞赛试题由10道选择题构成，每小题有四个选项，且只有一个选项正确。其给分标准为：答对一题得2分，答错一题扣1分，不答得0分，若10道题全部答对则额外奖励5分。小明对其中的8道题有绝对把握答对，剩下2题完全不知道该选哪个选项。
(1)对剩下的2道题，若小明都采用随机选择一个选项的做法，求两小题都答错的概率
(2)从预期得分的角度分析，采用哪种做法解答剩下2道题更合算？
24. (本小题8.0分)
如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2−2x+c(c>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.抛物线的顶点为E，若点B的坐标是(1,0)，点D是该抛物线在第二象限图象上的一个动点．
(1)求该抛物线的解析式和顶点E的坐标；
(2)设点D的横坐标是a，问当a取何值时，四边形AOCD的面积最大；
(3)如图2，若直线OD的解析式是y=−3x，点P和点Q分别在抛物线上和直线OD上，问：是否存在以点P，Q，O，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−12(x−m)2+4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1,n)在该函数图象上．
(1)当m=5时，求n的值．
(2)当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．
(3)作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】略
2.【答案】B
【解析】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=32，
设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+32，
∵BC=10，
∴点B(−5,0)，
∴0=a×(−5)2+32，
∴a=−350，
∴大孔所在抛物线解析式为y=−350x2+32，
设点A(b,0)，
则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m(x−b)2，
∵EF=14，
∴点E的横坐标为−7，
∴点E坐标为(−7,−3625)，
∴−3625=m(x−b)2，
∴x1=65−1m+b，x2=−65−1m+b，
∵MN=4，
∴|65−1m+b−(−65−1m+b)|=4
∴m=−925，
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=−925(x−b)2，
∵大孔水面宽度为20米，
∴当x=−10时，y=−92，
∴−92=−925(x−b)2，
∴x1=522+b，x2=−522+b，
∴单个小孔的水面宽度=|(522+b)−(−522+b)|=52(米)，
故选：B．
根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=−10代入可求解．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的图像与性质及抛物线的位置与a，b，c之间的关系等，熟练掌握运用二次函数的图像与性质及二次函数图像上点的坐标特征是解题的关键．根据抛物线开口方向，与y轴的交点位置，及对称轴的位置判断①；把x=2代入函数解析式判断②；把抛物线与x轴的另一个交点坐标代入解析式，再根据a，b的关系判断③；④中的问题可利用抛物线的对称性把这两个点转化到对称轴的同一侧，再利用二次函数的增减性进行判断；利用抛物线的对称性及与二次函数与不等式的关系判断⑤．
【解答】
解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∵抛物线的对称轴在x轴的负半轴，
∴a，b同号，
∴b>0，
∴abc<0，①错误；
设抛物线与x轴的另一个交点为(x,0)，由题意得，
对称轴x=−3+x2=−1，解得x=1，
∴当x=1时，y=a+b+c=0，
当x=2时，y=4a+2b+c，根据抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大可知，y>0，即4a+2b+c>0， ②正确;
∵对称轴x=−b2a=−1，
∴b=2a，
把b=2a代入a+b+c=0得3a+c=0， ③正确;
设抛物线上与点(−32,y1)的对称点为(x1,y1)，
由题意得12(−32+x1)=−1，
解得x1=−12，
∵−12<12，
根据抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大可得，y1
设抛物线上与(0,c)对称的点的坐标为(x2,c)，
由题意得12(0+x2)=−1，解得x2=−2，
由题图可以看出，当y≤c时，−2≤x≤0， ⑤正确．
共有3个选项正确．
故选B．
4.【答案】C
【解析】 ∵在格点中任意放置点C，共有25种等可能的结果，恰好能使△ABC的面积为1的有6种结果，
∴恰好能使△ABC的面积为1的概率为625．
故选C．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式，概率公式，用列举法求概率(列表法与树状图法)，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；一元二次方程有实数根，判别式为非负数．方程x2+px+q=0有相同实数解，则p2−4q=0，把投掷骰子的36种p、q对应值，代入检验，找出符合条件的个数．
【解答】
解：两人投掷骰子共有36种等可能情况，
其中，有实数解的情况为：
p=6时，q=6、5、4、3、2、1；
p=5时，q=6、5、4、3、2、1；
p=4时，q=4、3、2、1；
p=3时，q=2、1；
p=2时，q=1；
使方程有相等实数解共有2种情况：
p=4，q=4；p=2，q=1；故其概率为118．
故选D．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
此题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=nm，关键是找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数．
先找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数，再除以总数即可．
【解答】
解：∵四张卡片中中心对称图形有线段、平行四边形、圆共3个，
∴卡片上所画的图形恰好是中心对称图形的概率为34．
故选A．
7.【答案】C
【解析】解：二次函数y=−14x2+bx+c，
二次函数图象的对称轴位于y轴左侧，a、b同号，即b<0，进一步，由对称轴为x=−1，得出b=2a=−12，
二次函数图象经过y轴正半轴可知c>0，进一步，二次函数图象经过(−3,0)，将b=−12代入，求出c=34；
联立一次函数y=−14x−2b与反比例函数y=cx得到：cx=−14x−2b，即x2−4x+3=0．
则Δ=16−12=4>0，
所以，可以确定一次函数和反比例函数的图象有2个交点；
由b<0可知，直线y=−14x−2b经过一、二、四象限，
由c>0可知，反比例函数y=cx的图象经过第一、三象限，
故选：C．
由函数图象求出b=−12，c=34，从而联立一次函数与反比例函数解析式，得出一次函数和反比例函数的图象有2个交点，并且由b、c的符号可判断出一次函数和反比例函数图象所在的象限，从而得解．
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．
分两种情形：当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y=x+b与抛物线y=(x−1)2−4(−3≤x≤1)相切时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【解答】
解：二次函数解析式为y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线y=−x2+2x+3的顶点坐标为(1,4)，
当y=0时，x2−2x−3=0，解得x1=−1，x2=3，
则抛物线y=−x2+2x+3与x轴的交点为A(−1,0)，B(3,0)，
把抛物线y=−x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y=(x−1)2−4(−1≤x≤3)，顶点坐标M(1,−4)，
当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b=0，解得b=−3；
当直线y=x+b与抛物线y=(x−1)2−4(−3≤x≤1)相切时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即(x−1)2−4=x+b有相等的实数解，整理得x2−3x−b−3=0，△=32−4(−b−3)=0，解得b=−214，
所以b的值为−3或−214，
故选A．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b=−4a、c=0，即4a+b+c=0，结论②正确；③根据抛物线的对称性结合当x=−1时y>0，即可得出a−b+c>0，结论③错误；④将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=0，即可求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；⑤观察函数图象可知，当x<2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．综上即可得出结论．
【解答】
解：①∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(0,0)，结论①正确；
②∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，且抛物线过原点，
∴−b2a=2，c=0，
∴b=−4a，c=0，
∴4a+b+c=0，结论②正确；
③当x=−1时，
a−b+c>0，结论③错误；
④当x=2时，y=ax2+bx+c=4a+2b+c=(4a+b+c)+b=b，
∴抛物线的顶点坐标为(2,b)，结论④正确；
⑤观察函数图象可知：当x<2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．
综上所述，正确的结论有：①②④．
故选C．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了概率、平方根、合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练运用概率公式及这些运算法则是解题的关键．
直接利用算术平方根的定义以及合并同类项、幂的乘方与积的乘方，同底数幂除法的性质，立方根分别化简得出答案．然后根据运算结果正确的个数和总数即可得出.随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【解答】
解：①9=3；②3a2−2a不能合并；
③2a23=8a6；④a8÷a4=a4
⑤3−27=−3
∴结果正确的有一个是⑤，则运算结果正确的概率是15，
故选A．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查概率公式和树状图的知识，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
由这2套共4张邮票中，“马克思像”的有2张，画出树状图，再利用概率公式计算可得．
【解答】
解：如图：在这2套共4张邮票中，“马克思像”的2张，总情况有12种，则抽出的2张邮票恰好都是“马克思像”有两种，概率为212=16．
故选D．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了概率的求法与运用，根据已知得出右边2靠近B，C，此时B，C均不是地雷是解决问题的关键．根据图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，即可得出B，C均不是地雷，即可得出答案．
【解答】
解：根据题意分析可得：B，C一定不是地雷，
∴A处是雷，则B，C处均不地雷，
P(A)=1；P(B)=0；P(C)=0，
故A、B、C三个方格中有地雷概率最大的是A，
故选A．
13.【答案】20222
【解析】解：设A1B1=x，
∵△OA1B1是等腰直角三角形，
∴OB1=x，
则A1的坐标为(x,x)，代入二次函数y=12x2+12x，
得x=12x2+12x，
解得x=1或x=0(舍)，
设A2B2=m，
∵△B1A2B2是等腰直角三角形，
∴B1B2=m，
∴A2的坐标为(m,1+m)，
代入二次函数y=12x2+12x，
得12m2+12m=1+m，
解得m=2或m=−1(舍)，
同理可求出A3B3=3，
A4B4=4，
∴B2022A2022=2022，根据勾股定理，
得B2021A2022=20222，
故答案为：20222．
先设第一个等腰直角三角形的直角边长为x，表示出点A1的坐标，代入二次函数的解析式，求出x；设第二个等腰直角三角形的直角边长为m，表示出A2的坐标，代入二次函数的解析式，求出m，同理求出第2022个等腰直角三角形的直角边长，即可求出斜边．
本题考查了二次函数图象与规律综合题，利用等腰直角三角形的性质和二次函数的点坐标特征是解决本题的关键．
14.【答案】23
【解析】
【分析】
此题主要考查了菱形的性质以及二次函数图象上点的坐标性质，得出A，C点坐标是解题关键．根据二次函数图象上点的坐标性质得出A，C点坐标，进而利用三角形面积求法得出答案．
【解答】
解：∵菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=13x2上，对角线OB在y轴上，且OB=2，
∴由题意可得：A，C点纵坐标为1，
故1=13x2，
解得：x=±3，故A(3,1)，C(−3,1)，
故菱形OABC的面积是：2×(12×2×3)=23.
故答案为23.
15.【答案】12
【解析】解：六根小木棒中随机抽一根，抽到的木棒能作为该三角形第三边有2cm、3cm，4cm，
所以六根小木棒中随机抽一根，抽到的木棒能作为该三角形第三边的概率=36=12．
故答案为12．
先利用三角形三边的关系可得到抽到的木棒能作为该三角形第三边有2cm、3cm，4cm，然后根据概率公式求解．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了三角形三边的关系．
16.【答案】513
【解析】 白色的小正方形有13个，而涂黑一个能构成一个轴对称图形的情况有5种(如图所示)，
所以使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是513．
17.【答案】解：(1)二次函数图象的对称轴是x=−−4a2a=2；
(2)该二次函数的图象经过点(1,3)，
∴a−4a+3+b=3，
∴b=3a，
把b=3a代入4
∴a=2，则b=6，
∴二次函数的表达式为y=2x2−8x+9；
当a<0时，4<−2a<9，则−92
∴a=−3或−4，
则对应的b=−9或−12，
∴二次函数的表达式为y=−3x2+12x−6或y=−4x2+16x−9；
(3)∵a>0，
则函数表达式为y=2x2−8x+9=2(x−2)2+1，
则函数顶点坐标为(2,1)，开口向上，
当t+1<2，即t<1时，y在t≤x≤t+1上随x的增大而减小，
则当x=t+1时，y有最小值，
即2(t+1−2)2+1=32，
解得：t=12或t=32(舍)；
当t>2时，y在t≤x≤t+1上随x的增大而增大，
则当x=t时，y有最小值，
即2(t−2)2+1=32，
解得：t=32(舍)或t=52；
当1≤t≤2时，y在t≤x≤t+1上的最小值为1，故不符合；
综上：t的值为12或52．
【解析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，求二次函数的对称轴，关键是灵活应用二次函数的性质解题．
(1)由对称轴公式即可求解；
(2)观察函数图象，在给定的范围内，找出对应关系，即可求得二次函数的表达式；
(3)分t<1，t>2，1≤t≤2三种情况分别根据函数的增减性和最小值得到关于t的方程，解之即可．
18.【答案】解：(1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，
则每件商品的利润为：(60−50+x)元，
总销量为：(200−10x)件，
商品利润为：
y=(60−50+x)(200−10x)，
=(10+x)(200−10x)，
=−10x2+100x+2000．
∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，
∴0
=−10(x2−10x)+2000，
=−10(x−5)2+2250．
故当x=5时，最大月利润y=2250元．
这时售价为60+5=65(元)．
【解析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，根据每天的利润=一件的利润×销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．
(1)根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式．
(2)根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式，进而得出当x=5时得出y的最大值．
19.【答案】(1)∵直线y=−2x+10与x轴、y轴相交于A，B两点，∵点A(5,0)，B(0,10)．
∵抛物线经过原点，∴可设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx．
∵抛物线过点A(5,0)，C(8,4)，
∴25a+5b=064a+8b=4,
解得a=16b=−56,
∴抛物线的函数表达式为y=16x2−56x．
∵点A(5,0)，B(0,10)，C(8,4)，
∴AB2=52+102=125，BC2=82+(10−4)2=100，AC2=(8−5)2+42=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．
(2)如解图，由题意，得OP=2t，CQ=10−t．
由(1)可得AC=OA=5，∠ACQ=∠AOP=90°．
又∵PA=QA，∴Rt△AOP≌Rt△ACQ(HL)，
∴OP=CQ，∴2t=10−t，
∴t=103，
即当t=103时，PA=QA.
(3)存在．
∵y=16x2−56x=16x−522−2524，
∴抛物线的对称轴为直线x=52．
设点M52,m．
①若BM=BA时，
∴(52)2+(m−10)2=125，
∴m1=20+5192，m2=20−5192，
∴M1(52,20+5192)，M2(52,20−5192)，
②若AM=AB时，
∴(52)2+m2=125，
∴m3=5192，m4=−5192，
∴M3(52,5192)，M4(52,−5192)，
③若MA=MB时，
∴(52−5)2+m2=(52)2+(10−m)2，
∴m=5，
∴M(52,5)，此时点M恰好是线段AB的中点，构不成三角形，舍去，
∴点M的坐标为：M1(52,20+5192)，M2(52,20−5192)，M3(52,5192)，M4(52,−5192).
【解析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的全等的性质和判定，等腰三角形的性质．
(1)先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形；
(2)根据运动表示出OP=2t，CQ=10−t，判断出Rt△AOP≌Rt△ACQ，得到OP=CQ即可；
(3)分三种情况，利用两点间的距离公式和等腰三角形的两边相等建立方程求解即可得出结论．
20.【答案】16 12 12
【解析】解：(1)∵甲盘被平均分成6等份，其中红色有1等份，
∴小明转出的颜色为红色的概率为16；
故答案为：16；
(2)∵甲盘被平均分成6等份，其中黄色有3等份，
∴小转出的颜色为黄色的概率为36=12；
故答案为：12；
(3))∵乙盘被平均分成4等份，其中黄色有2等份，
∴小颖转出的颜色为黄色的概率为24=12；
故答案为：12；
(4)不公平，因为小明转出的颜色为红色的概率为16，小颖转出的颜色为红色的概率为14，而14>16，所以不公平．
(1)根据甲盘被平均分成6等份，其中红色有1等份，再根据概率公式即可得出答案；
(2)根据甲盘被平均分成6等份，其中黄色有3等份，再根据概率公式即可得出答案；
(3)根据乙盘被平均分成4等份，其中黄色有2等份，然后根据概率公式即可得出答案；
(4)根据概率公式先求出小明和小颖转出的颜色为红色的概率，然后进行比较，即可得出答案．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】0.25
【解析】解：(1)根据题意得：当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.25；假如你摸一次，你摸到白球的概率为0.25；
故答案为：0.25；
(2)60×0.25=15，60−15=45；
答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有15个、45个；
(3)设需要往盒子里再放入x个白球；
根据题意得：15+x60+x=25，
解得：x=15；
经检验x=15是原方程的解，
答：需要往盒子里再放入15个白球．
(1)根据题意容易得出结果；
(2)由60×0.25=15，60−15=45，即可得出结果；
(3)设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可．
本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．大量反复试验下频率稳定值即概率；本题难度适中．
22.【答案】解：(1)树状图如图所示：
(2)方程x2−5x+6=0的解为x=2或者3，
若m，n都是方程x2−5x+6=0的解时，
则m=2，n=2，或m=3，n=3，或m=2，n=3，或m=3，n=2
若m，n都不是方程x2−5x+6=0的解时，
则m=1，n=4，或m=4，n=4；
由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2−5x+6=0的解的结果有4个，
m，n都不是方程x2−5x+6=0的解的结果有2个，
小明获胜的概率为412=13，小利获胜的概率为212=16，
∴小明获胜的概率大．
【解析】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．
(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出m，n都是方程x2−5x+6=0的解和m，n都不是方程x2−5x+6=0的解的结果数，然后根据概率公式求解．
23.【答案】解：(1)因为每小题有四个选项，且只有一个选项就正确的，所以有三个选项是错误的，不妨用“对，错，错，错”来表示．因此可列表
第二题
第一题
对
错
错
错
对
(对，对)
(对，错)
(对，错)
(对，错)
错
(错，对)
(错，错)
(错，错)
(错，错)
错
(错，对)
(错，错)
(错，错)
(错，错)
错
(错，对)
(错，错)
(错，错)
(错，错)
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两题都答错的有9种结果，所以P(两小题都答错)=916；
(2)小明有3种可能的解答方式，分别为①两题都不答;②一题不答，一题随机选择;③两题都采用随机选择．
①当两题都不答时，预期得分为0+16=16分;
②当一题不答，一题随机选择时，
∵P(对)=14，P(错)=34
∴预期得分为：2×14−1×34+0+16=1534分;
③当两题都采用随机选择时，有两题都对，一对一错，两题都错三种可能，所得的分数分别为9分，1分，−2分，相应的概率分别为：
得分值
9分
1分
−2分
概率
P(答对2题)=116
P(答对1题)=616
P(两题都答错)=916
∴预期得分为：9×116+1×616−2×916+16=151316．
∵1534<151316<16，
∴小明采用都不答的解答方式更有利．
【解析】本题考查用列表法或树状图求概率，理解题意是解题的关键．
(1)对于随机选择一个选项的做法，先用列表得到共有16种等可能的结果，其中两题都答错的有9种结果，可得结果；
(2)根据理解预期得分的意义分别计算①两题都不答;②一题不答，一题随机选择;③两题都采用随机选择，三种选择的预期得分，可决定采用哪种做法．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=−x2−2x+c(c>0)的图象经过点B(1,0)，
∴−12−2×1+c=0，
解得c=3，
∴抛物线y=−x2−2x+c(c>0)的解析式是y=−x2−2x+3，
顶点E的坐标是(−1,4)；
(2)令0=−x2−2x+3，
解得x=1，x=−3，
∴OA=3，OC=3．
∵D点的横坐标是a.，
∴D(a,−a2−2a+3)，
连结DO，如图所示：
四边形AOCD的面积=△AOD的面积+△COD的面积
=−32a2−3a+92+(−32a)=−32a2−92a+92，
∴当a=−32时，四边形AOCD的面积最大；
(3)(I)平行四边形以OC为边时，
①P点的坐标是(m,−m2−2m+3)，如图23−3所示，
PQ=OC，
如图23−3得：m<0，则−3m−( −m2−2m+3)=3，
整理得m2−m−6=0，解得：m1=3(舍去)，m2=−2，
此时Q点的坐标是(−2,6)；
②P点的坐标是(m， −m2−2m+3)，如图23−4所示，
PQ=OC，得：m>0，则(−m2−2m+3)−(−3m)=3，
整理得m2−m=0，，解得：m1=1，m2=0(不合题意，舍去)，
此时Q点的坐标是(1,−3)；
(II)平行四边形以OC为对角线时，如图23−5所示，
根据平行四边形的对角线相互平分可知，
∵O，C中点坐标为(0,32)，
∴P，Q中点坐标也为(0,32)，
∵点P(m,−m2−2m+3)，
∴点Q坐标为：(−m,m2+2m)
∵点Q在y=−3x图象上，
∴m2+2m=3m，
∴m2−m=0，
解得：m1=1， m2=0(不合题意，舍去)，
此时Q点的坐标是(−1,3)
综上所述，满足条件的Q点坐标为：(−2,6)，(1,−3)和(−1,3)．
【解析】本题考查的是二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质等有关知识．
(1)利用待定系数法求二次函数解析式即可；
(2)令0=−x2−2x+3，然后求出与x轴的交点，然后再进行解答即可；
(3)根据题意分OC为边和OC为对角线分别画出图形，利用平行四边形的性质列方程求解即可．
25.【答案】解：(1)当m=5时，y=−12(x−5)2+4，
当x=1时，n=−12×42+4=−4．
(2)当n=2时，将C(1,2)代入函数表达式y=−12(x−m)2+4，得2=−12(1−m)2+4，
解得m=3或−1(舍弃)，
∴此时抛物线的对称轴x=3，
根据抛物线的对称性可知，当y=2时，x=1或5，
∴x的取值范围为1≤x≤5．
(3)∵点A与点C不重合，
∴m≠1，
∵抛物线的顶点A的坐标是(m,4)，
∴抛物线的顶点在直线y=4上，
当x=0时，y=−12m2+4，
∴点B的坐标为(0,−12m2+4)，
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，m逐渐减小，点B沿y轴向上移动，
当点B与O重合时，−12m2+4=0，
解得m=22或−22，
当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与B，D重合，点B到达最高点，
∴点B(0,4)，
∴−12m2+4=4，解得m=0，
当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上，
∴B点在线段OD上时，m的取值范围是：0≤m<1或1
【解析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考常压轴题．
(1)利用待定系数法求解即可．
(2)求出y=2时，x的值即可判断．
(3)由题意点B的坐标为(0,−12m2+4)，求出几个特殊位置m的值即可判断．
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