初中数学浙教版九年级上册第4章 相似三角形综合与测试单元测试综合训练题

浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》单元测试卷

考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    如图，已知“人字梯”的顶端离地面的高度是，，则“人字梯”的底部宽度的长是(    )

A.
B.
C.
D.

2.    已知点是线段上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    如图，直线，直线，分别与、、相交于点、、和点、、若，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

4.    如图所示，中若，，则下列比例式正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.    两个三角形相似比是：，其中小三角形的周长为，则另一个大三角形的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，在中，、分别为线段、的中点，设的面积为，的面积为，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.    如图，在正方形中，为的中点，，那么图中与相似的三角形有(    )

A.
B.
C. ，
D. ，

8.    如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是(    )

A.
B.
C.
D.

9.    如图，矩形相框的外框矩形的长为，宽为，上下边框的宽度都为，左右边框的宽度都为则符合下列条件的，的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为(    )

A.  B.  C. ， D. ，

10. 在平面直角坐标系中，已知点，若与关于点位似，且：：，则点的坐标为(    )

A. 或 B. 或
C.  D.

11. 如图，在边长为的正方形网格中，与是位似图形，则与的相似比为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在直角坐标系中，的顶点为，，以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 已知三个数，，，要使其中一个数是其他两数的比例中项，则的取值是________．
14. 钓鱼岛列岛是我国最早发现、命名，并行使主权的，在一幅比例尺是：的地图上，测得钓鱼岛的东西走向长为厘米，那么它的东西走向实际长度大约是______米．
15. 如图，小明同学想测量操场上路灯的高度，于是他站立在点处测得其影长为米，小明同学继续沿着方向行走米到达点处，此时测得其影长为米，已知小明身高米，则路灯的长为_________米．

16. 已知两个相似三角形的一对对应边长分别是 和 ，且它们的周长相差 ，这两个三角形的周长为____________                

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知线段，，，且．

求的值．

如线段，，满足，求的值．

18. 本小题分
    如图所示，在线段上有、两点，已知，，且线段是线段和的比例中项，求线段的长．
     

19. 本小题分
    在的方格纸中，点，，都在格点上，按要求画图：
    在图中找一个格点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
    在图中仅用无刻度的直尺，把线段三等分保留画图痕迹，不写画法．
     

20. 本小题分
    如图，在中，，为边上的中线，于点．
    求证：．
    若，，求线段的长．
     

21. 本小题分
    如图，点、、在一条直线上，与相交于点，．
     

求证：

若，求的度数

连结，求证：∽．

22. 本小题分
    某小队在探险过程途中发现一个深坑，小队人员为了测出坑深，采取如下方案：如图所示，在深坑左侧用观测仪从观测出发点观测深坑底部，且观测视线刚好经过深坑边缘点，在深坑右侧用观测仪从测出发点观测深坑底部，且观测视线恰好经过深坑边缘点，点，，，，，在同一水平线上
    已知：，，观测仪高，观测仪高，，，深坑宽度，请根据以上数据计算深坑深度多少米？
     

23. 本小题分

如图，四边形∽四边形，试求出及的大小．

24. 本小题分
    如图，是正方形对角线上一点，作，，垂足分别为点，求证：四边形与四边形相似．

25. 本小题分
    如图，四边形∽四边形，且，，，，，．
    写出它们相等的角及对应边的比例式；
    求，的大小和的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】 ，，
，
解得，
由等腰三角形的性质可得．
故选D．
 

2.【答案】 

【解析】解：点是线段上的一点，线段是和的比例中项，
，
点是的黄金分割点，
，
故选：．
根据黄金分割的定义判断即可．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
解得：，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用找准对应关系，避免错选其他答案．
用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．
【解答】
解：，，
四边形是平行四边形，
，；
，
，
，
，
，，
，
故选C．  

5.【答案】 

【解析】解：设大三角形的周长为．
两个相似三角形相似比是：，其中小三角形的周长为，
：：，
，
故选：．
根据相似三角形的周长比等于相似比，求解即可．
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，、分别为线段、的中点，
为的中位线，
，，
∽，
，
，
即，
故选：．
根据三角形的中位线定理，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
本题主要考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质与判定，熟练掌握这些性质和定理是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；也考查了正方形的性质和勾股定理．
根据正方形的性质，设，则，，，利用勾股定理计算出，，，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似可判断∽，∽．
【解答】
解：设，则，，，
在中，，
在中，，
在中，，
，，，
，
∽，
同理可得∽．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
∽，
，
，，，
，
，
解得，，
即建筑物的高是，
故选：．
根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出的长，从而可以解答本题．
本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．分两种情形，利用相似多边形的性质求解即可．
【解答】
解：如图，当矩形∽矩形时，则有，
，
可得，选项B符合题意，
当矩形∽矩形时，则有，
，
推不出：或或，或，．
故选项A，，，都不满足条件，此种情形不存在．
矩形∽矩形，可得，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】本题考查了位似变换的知识，注意掌握关于原点成位似的两个图形，若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或以原点为位似中心，面积比为，则相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是的横纵坐标同时乘以或 

【解答】

解：：，
与的相似比为，
又点，
以原点为位似中心，按相似比为，把缩小，
点的对应点的坐标是：或．
故选A．

11.【答案】 

【解析】解：与是位似图形，，是对应边，，，
相似比，
故选：．
利用勾股定理求出，，再利用相似三角形的性质求解，
本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型
 

12.【答案】 

【解析】解：以点为位似中心，位似比为，且 ，
点的对应点的坐标为，即．
故选B．
根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把点的横纵坐标都乘以即可．
本题考查位似图形及相关概念，以及位似中的坐标变化．
 

13.【答案】或或 

【解析】

【分析】
本题考查了比例的基本性质，理解比例中项的概念是解题的关键．
根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，列式求解即可．
【解答】
解：根据比例中项的概念，结合比例的基本性质，可得：
，得；
，得；
，得．
故答案为或或．  

14.【答案】 

【解析】解：设钓鱼岛的东西走向实际长度为．
由题意：，

故答案为
根据比例尺的定义，构建方程即可解决问题．
本题考查比例线段，比例尺等知识，解题的关键是理解比例尺的定义，重合构建方程解决问题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

由可判断∽，根据相似三角形的性质得，同理可得，然后解关于和的方程组即可得到的长．

【详解】

解：，

∽，

，即，

，

∽，

，即，

，

解得，

，

解得，

故答案为．

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．

16.【答案】， 

【解析】

【分析】
本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形周长的比等于相似比．
根据相似三角形的一对对应边的长，可得出相似比，再根据周长的比等于相似比，即可求出两个三角形的周长．
【解答】
解：三角形的对应边的比是：：，周长的比等于相似比，
可以设一个三角形的周长是，则另一个三角形的周长是，
周长相差，得到，解得：，
这两个三角形的周长分别为，．  

17.【答案】解：
，
；
设，则，，，
，
，
，
，，，
． 

【解析】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出，，进而得出的值是解题关键．
根据比例的性质得出，即可得出的值；
首先设，则，，，利用求出的值，即可得出答案．
 

18.【答案】解：，，
，
线段是线段和的比例中项，
，
即，
解得：． 

【解析】根据题意列方程即可得到结论．
本题考查了比例线段，一元二次方程的解法，正确的理解题意是解题的关键．
 

19.【答案】解：画出图形如图所示；

如图所示．
 

【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
画出图形即可；
根据平行线分线段成比例定理画出图形即可．
 

20.【答案】解：为边上的中线，
，
，
，，
，
，
；

在中，，，
，
，
即
． 

【解析】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用面积法确定线段的长．
想办法证明，即可解决问题；
利用面积法：求解即可；
 

21.【答案】证明：，

∽，

，

，

．

∽，

，

，，

．

证明：如图，

由知，，

，
∽．

【解析】见答案
 

22.【答案】解：过点作垂直，垂足为，如图：

，，，
，，
∽，∽，
，，
，，
，
，，，，，
设，则，
，
，
，
深坑深度米． 

【解析】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
过点作垂直，垂足为，然后根据已知证明∽，∽，得出，设，则米，解得，再求即可．
 

23.【答案】解：四边形和四边形相似，

，，，

四边形内角和等于，

，

，

，

，，，

，

．

【解析】本题考查了相似多边形的对应角相等，对应边成比例的性质，四边形的内角和等于，熟记性质与公式是求解的关键．观察图形，根据相似多边形的对应角相等可得出，再根据相似多边形的对应边成比例即可求出的长度．
 

24.【答案】证明；，
四边形为矩形．
四边形为正方形，
平分．
又，，
．
四边形为正方形．
四边形与四边形相似． 

【解析】由正方形的性质可知；平分，然后由角平分线的性质可知，从而可证明四边形为正方形，故此四边形与四边形相似．
本题主要考查的是相似多边形的判定、正方形的判定、角平分线的性质，证得四边形为正方形是解题的关键．
 

25.【答案】解：四边形∽四边形，
，，，，．
四边形∽四边形，
，，，
，，
，
． 

【解析】利用相似多边形的性质求解；
利用相似多边形的性质求解即可．
本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质，属于中考常考题型．