数学八年级上册第1章 三角形的初步知识综合与测试单元测试课后测评

这是一份数学八年级上册第1章 三角形的初步知识综合与测试单元测试课后测评，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙教版初中数学八年级上册第一单元《三角形的初步认识》单元测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF//AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论： ①∠AOB=90∘+12∠C; ②当∠C=90∘时，E，F分别是AC，BC的中点; ③若OD=a，CE+CF=2b，则S△CEF=ab.其中正确的是(    )
A.  ① ② ③ B.  ① ③ C.  ① ② D.  ①
2.  如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=12(∠BAC−∠C)；④∠BGH=∠ABE+∠C，其中正确的是(    )


A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④
3. 对于命题“若a2>b2，则a>b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是(    )
A. a=3，b=−2， B. a=−2，b=3，
C. a=2，b=−3， D. a=−3，b=2，
4. 用三个不等式a>b,ab>0,a>b中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为(    )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有A，B，C三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞(不考虑多个小球相撞的情况).若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个C型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个A型小球和一个C型小球发生碰撞，会变成一个B型小球.现在模拟器中有A型小球12个，B型小球9个，C型小球10个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球.以下说法：其中正确的说法是(    )
①最后剩下的小球可能是A型小球；
②最后剩下的小球一定是B型小球；
③最后剩下的小球一定不是C型小球．
A. ① B. ②③ C. ③ D. ①③
6. 图书馆为将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词Ai出现在书Bj中时，aij=1，否则aij=0(i,j为正整数).例如：当关键词A1出现在书B4中时，a14=1，否则a14=0.根据上述规定，某读者去图书馆寻找关键词A2，A5，A6，则下列相关表述错误的是(    )
A. 当a 21+a 51+a 61=3时，只需要选择B 1这本书就可以找到所有的关键词
B. 当a2j+a5j+a6j=0时，从Bj这本书查不到需要的关键词
C. 当a2j+a5j+a6j>0时，可以从Bj这本书查到需要的关键词
D. 当a22+a52+a62OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的结论有(    )

A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②④
10. 以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是(    )

A. 如图1所示，展开后测得∠1=∠2
B. 如图2所示，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C. 如图3所示，测得∠1=∠2
D. 如图4所示，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为点O，测得OA=OB，OC=OD
11. 如图，用尺规作图“过点C作CN//OA”的实质就是作∠DOM=∠NCE，其作图依据是(    )



A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS
12. 如图所示，已知△ABC(AC∠B.分别以点A，C为圆心、大于12AC长为半径画弧，两弧交于点P，点Q，作直线PQ交AB于点D；再分别以点B，D为圆心、大于12BD长为半径画弧，两弧交于点M，点N，作直线MN交BC于点E.若△CDE是等边三角形，则∠A=______．


三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
 在△ABC中，射线AG平分∠BAC交BC于点G，点D在BC边上运动(不与点G重合)，过点D作DE//AC交AB于点E．

(1)如图1，点D在线段CG上运动时，DF平分∠EDB
①若∠BAC=100°，∠C=30°，则∠AFD=___________；
若∠B=40°，则∠AFD=_________；
②试探究∠AFD与∠B之间的数量关系？请说明理由；
(2)点D在线段BG上运动时，∠BDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F试探究∠AFD与∠B之间的数量关系，并说明理由
18. (本小题8.0分)
【概念认识】
两条直线相交，四个交角中的一个锐角(或直角)称为两条直线的“夹角”．
【数学理解】
(1)已知直线AB和直线CD相交于点O，∠AOC=130°，则直线AB与直线CD“夹角”的度数是________°．
(2)在同一平面内，直线AB和l的“夹角”是60°，直线CD被直线l的“夹角”是40°，求直线AB和直线CD的“夹角”度数(画出图形，写出求解过程)．
【问题解决】
(3)在同一平面内，直线AB和直线CD被直线l所截，直线AB和l的“夹角”是∠1，直线CD和直线l的“夹角”是∠2，下列命题中：①若∠1=∠2，则AB//CD；②若∠1+∠2=180°，则AB//CD；③若AB//CD，则∠1=∠2；④若AB//CD，则∠1+∠2=180°.其中正确的是________.(填序号)
(4)如图，直线AB和直线l相交于点E，“夹角”度数为m°，直线CD和直线l相交于点F，“夹角”的度数为n°.l1是∠BEF的平分线所在直线，l2是∠EFD的平分线所在直线，则l1与l2“夹角”的度数是________.(用含m和n的式子表示)


19. (本小题8.0分)
我们定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“奇异三角形”．
(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题：“等边三角形一定是奇异三角形”
是______命题．(填写“真命题、假命题”)
(2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是
“奇异三角形”，则a：b：c=______．
(3)如图，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若在四边形ACBD内存在点E使得AE=AD，CB=CE．
①求证：△ACE是“奇异三角形”；
②当△ACE是直角三角形时，且AC=3，求线段AB的长．

20. (本小题8.0分)
(1)如图 ①，请证明∠A+∠B+∠C=180∘;
(2)图 ②所示的图形我们把它称为“8字形”，请证明∠A+∠B=∠C+∠D;
(3)如图 ③，E在DC的延长线上，AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D之间的关系，并证明;
(4)如图 ④，AB//CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，过点P作PM、PE分别交CD于M，交AB于E.给出下列结论：a．∠1+∠2+∠3+∠4不变;b．∠3+∠4−∠1−∠2不变.选择正确的结论并给予证明．

21. (本小题8.0分)
如图，△ABE和△ADC是由△ABC分别沿着边AB、AC翻折得到的.若∠1:∠2:∠3=28:5:3，求∠α的度数．

22. (本小题8.0分)
如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，AB=15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．

(1)如图(1)，当t=__时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
(2)如图(2)，在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A.在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．
23. (本小题8.0分)
如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长

24. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E为CD中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
(1)求证：CF=AD；
(2)连接BE，若BE⊥AF，AD=2，AB=6，求BC的长．

25. (本小题8.0分)
如图，每个小正方形的边长均为1个长度单位的网格中，有一个△ABC，三角形的三个顶点均在网格的顶点上．
(1)在图中画线段CD，使CD=CB，点D在网格的格点上，并能组成四边形ABCD．
(2)连接AD，请求出四边形ABCD的面积．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】略

2.【答案】D 
【解析】
【解答】
解：①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F=90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE=90°，
∵∠FGD=∠BGH，
∴∠DBE=∠F，故①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠BEF=∠CBE+∠C，
∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，
∵∠BAF=∠ABC+∠C，
∴2∠BEF=∠BAF+∠C，故②正确；
③∵∠ABD=90°−∠BAC，
∴∠DBE=∠ABE−∠ABD=∠ABE−90°+∠BAC=∠CBD−∠DBE−90°+∠BAC，
∵∠CBD=90°−∠C，
∴∠DBE=∠BAC−∠C−∠DBE，
由①得，∠DBE=∠F，
∴∠F=∠BAC−∠C−∠F，
∴∠F=12(∠BAC−∠C)；故③正确；
④∵∠AEB=∠EBC+∠C，∠ABE=∠EBC，
∴∠AEB=∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD=∠AEB，
∴∠BGH=∠FGD=∠ABE+∠C，④正确，
故选D．
【分析】
本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，证明结论正确；
②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
③证明∠DBE=∠BAC−∠C−∠DBE，根据①的结论，证明结论正确；
④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．  
3.【答案】D 
【解析】解：
在A中，a2=9，b2=4，且3>−2，满足“若a2>b2，则a>b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在B中，a2=4，b2=9，且−2b2，也不满足a>b不成立，故B选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在C中，a2=4，b2=9，且2>−3，此时不但不满足a2>b2，也不满足a>b不成立，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在D中，a2=9，b2=4，且−3b2，但不能满足a>b，即意味着命题“若a2>b2，则a>b”不能成立，故D选项中a、b的值能说明命题为假命题；
故选：D．
说明命题为假命题，即a、b的值满足a2>b2，但a>b不成立，把四个选项中的a、b的值分别代入验证即可．
本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．

4.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．
【解答】
解：①若a>b，ab>0，则a>b；假命题：
理由：∵a>b，ab>0，
∴bb，假命题；
理由：∵ab>0，
∴a、b同号，
∵a>b，
∴a0；
③若a>b，a>b，则ab>0，假命题；
理由：∵a>b，a>b，
∴当a、b异号，
∴ab0时，a2j，a5j，a6j，至少有一个值为1，可以从Bj这本书查到需要的关键词，故C表述正确；
D、当a22+a52+a62OC，故 ③错误;即可得出结论．
【解答】
解：∵∠AOB=∠COD=40∘，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD， ①正确;
∴∠OAC=∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=40∘， ②正确;
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：
则∠OGC=∠OHD=90∘，

在△OCG和△ODH中，
∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHDOC=OD
∴△OCG≌△ODH(AAS)，
∴OG=OH，
∴MO平分∠BMC， ④正确;
∵∠AOB=∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM=∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，
∠COM=∠BOMOM=OM∠CMO=∠BMO
∴△COM≌△BOM(ASA)，
∴OB=OC，
∵OA=OB，
∴OA=OC，
与OA>OC矛盾，
∴ ③错误;
正确的是①②④;
故选D．  
10.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的判定，解决本题的关键是熟记平行线的判定定理．根据平行线的判定定理，进行分析，即可得解．
【解答】
解：A.∵∠1=∠2，
a//b(内错角相等，两直线平行)，
故A选项不合题意，错误；
B.∵∠1=∠2且∠3=∠4，
由图可知∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，
∴a//b(内错角相等，两直线平行)，
故B选项不合题意，错误；
C.测得∠1=∠2，
∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角，
∴不一定能判定a，b两直线互相平行，
故C选项符合题意，正确；
D.在△AOB和△COD中，
OA=OB∠AOB=∠CODOC=OD
∴△AOB≌△COD，
∴∠CAO=∠DBO，
∴a//b(内错角相等，两直线平行)，
故D选项不合题意，错误．
故选C．
  
11.【答案】B 
【解析】
【分析】
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握作一个角等于已知角的方法．直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法得出答案．
【解答】
解：用尺规作图“过点C作CN//OA”的实质就是作∠DOM=∠NCE，
其作图依据是，在△DOM和△NCE中，OD=CNOM=CEMD=NE,
∴△DOM≌△NCE(SSS)，
∴∠DOM=∠NCE，
∴CN//OA．
故选B．  
12.【答案】B 
【解析】
【分析】
此题主要考查了复杂作图，根据线段垂直平分线的性质得出是解题关键．
【解答】
解：A.如图所示：此时BA=BP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
B.如图所示：此时PA=PC，故能得出PA+PB=BC，故此选项正确；
C.如图所示：此时CA=CP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
D.如图所示：此时BP=AP，故不能得出PA+PB=BC，故此选项错误；
故选B．  
13.【答案】11 
【解析】
【分析】
本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的计算，首先根据角平分线的性质可知P到AM、MN、BN三条线的距离相等，再根据MN=2及S△PMN=2可求出P到AM与BN的距离，再根据四边形OMPN的面积为9，可求出OM+ON的值，再加MN的值即可求出△MON的周长．
【解答】
解：如图：

过P作PC⊥AM，PD⊥MN，PE⊥BN，垂足分别为C、D、E，连接OP，
∵P是△MON外角平分线的交点，
∴PC=PD=PE，
∵S△PMN=2，MN=2，
∴S△PMN=12×2×PD=2，
∴PC=PD=PE=2，
∵S四边形OMPN=S△OMP+S△ONP=S△PMN+S△OMN=9，
则S△OMP+S△ONP=12×OM×PC+12×ON×PE=9，
所以12×2×OM+ON=9，
则OM+ON=9，
所以△MON的周长=OM+ON+MN=9+2=11．
故答案为11．  
14.【答案】①③④ 
【解析】解：−18的立方根是−12，所以①为假命题；
要调查一批灯泡的使用寿命适宜用抽样调查，所以②为真命题；
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以③为假命题；
已知∠ABC与其内部一点D，过D点作DE//BA，作DF//BC，则∠EDF与∠B相等或互补，所以④为假命题．
故答案为①③④．
利用立方根的定义对①进行判断；根据普查和抽样调查的特点对②进行判断；根据平行线的性质对③④进行判断．
本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

15.【答案】2或145或6 
【解析】【解析】 
解：由题意得，AP=2t，BQ=3t，
∵AC=6cm，BC=8cm，
∴当P点在AC上时CP=6−2t，当P点在BC上时CP=2t−6，
当Q点在BC上时CQ=8−3t，当Q点在AC上时CQ=3t−8，
①如图①，

当△PEC≌△CFQ时，
则PC=CQ，
即6−2t=8−3t，
解得：t=2秒，
②如图②，

∵点P与点Q重合，
∴△PEC与△QFC全等，
则PC=CQ，
∴6−2t=3t−8．
解得：t=145秒，
③如图③，

当点Q与A重合时，△PEC≌△CFQ，
则PC=CQ，
即2t−6=6，
解得：t=6秒，
综上所述：当t=2秒或145秒或6秒时，△PEC与△QFC全等，
故答案为：2或145或6．
本题首先求出分情况用t表示出CP和CQ，然后分情况讨论，根据全等三角形的性质列式计算．
本题考查的是全等三角形的性质、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．

16.【答案】45° 
【解析】
【分析】
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).如图，由作法得PQ垂直平分AC，MN垂直平分BD，利用线段垂直平分线的性质得到DA=DC，EB=ED，则∠A=∠DCA，∠EDB=∠B，再利用等边三角形的性质和三角形外角性质计算出∠EDB=30°，则可判断△ACD为等腰直角三角形，从而得到∠A=45°．
【解答】









解：如图，由作法得PQ垂直平分AC，MN垂直平分BD，
∴DA=DC，EB=ED，
∴∠A=∠DCA，∠EDB=∠B，
∵△CDE为等边三角形，
∴∠CDE=∠DEC=60°，
而∠DEC=∠EDB+∠B，
∴∠EDB=12×60°=30°，
∴∠CDB=90°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠A=45°．
故答案为45°．
  
17.【答案】115°  110° 
【解析】解：(1)①若∠BAC=100°，∠C=30°，
则∠B=180°−100°−30°=50°，
∵DE//AC，
∴∠EDB=∠C=30°，
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴∠BAG=12∠BAC=50°，∠FDG=12∠EDB=15°，
∴∠DGF=∠B+∠BAG=50°+50°=100°，
∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=100°+15°=115°；
若∠B=40°，则∠BAC+∠C=180°−40°=140°，
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴∠BAG=12∠BAC，∠FDG=12∠EDB，
∵∠DGF=∠B+∠BAG，
∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG=∠B+12(∠BAC+∠C)=40°+12×140°=40°+70°=110°；
故答案为：115°；110°；
②∠AFD=90°+12∠B；理由如下：
由①得：∠EDB=∠C，∠BAG=12∠BAC，∠FDG=12∠EDB，
∵∠DGF=∠B+∠BAG，
∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG=∠B+12(∠BAC+∠C)=∠B+12(180°−∠B)=90°+12∠B；
(2)如图2所示：∠AFD=90°−12∠B；理由如下：
由(1)得：∠EDB=∠C，∠BAG=12∠BAC，∠BDH=12∠EDB=12∠C，
∵∠AHF=∠B+∠BDH，
∴∠AFD=180°−∠BAG−∠AHF
=180°−12∠BAC−∠B−∠BDH
=180°−12∠BAC−∠B−12∠C
=180°−∠B−12(∠BAC+∠C)
=180°−∠B−12(180°−∠B)
=180°−∠B−90°+12∠B
=90°−12∠B．
(1)①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形内角和定理求出∠B=50°，由平行线的性质得出∠EDB=∠C=30°，由角平分线定义得出∠BAG=12∠BAC=50°，∠FDG=12∠EDB=15°，由三角形的外角性质得出∠DGF=100°，再由三角形的外角性质即可得出结果；
若∠B=40°，则∠BAC+∠C=180°−40°=140°，由角平分线定义得出∠BAG=12∠BAC，∠FDG=12∠EDB，由三角形的外角性质即可得出结果；
②由①得：∠EDB=∠C，∠BAG=12∠BAC，∠FDG=12∠EDB，由三角形的外角性质得出∠DGF=∠B+∠BAG，再由三角形的外角性质即可得出结论；
(2)由(1)得：∠EDB=∠C，∠BAG=12∠BAC，∠BDH=12∠EDB=12∠C，由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键．

18.【答案】解：(1)50；
(2)分两种情况讨论：
如图1，∠AEG=60°，∠EGF=40°，

在△EFG中，∠AEG=∠EGF+∠EFG，
∴∠EFG=60°−40°=20°，即直线AB和直线CD的“夹角”为20°；
如图2，∠AEG=60°，∠EGF=40°，

在△EFG中，∠AEG+∠EGF+∠EFG=180°，
∴∠EFG=180°−60°−40°=80°，即直线AB和直线CD的“夹角”为80°；
因此，直线AB和直线CD的“夹角”度数为20°或80°；
(3)②③；
(4)12(m+n)或90°−12m−n． 
【解析】
【分析】
本题考查了新定义问题，邻补角的定义，三角形外角的性质，命题的概念，平行线的性质以及分类讨论的思想，关键是理解新定义，运用分类讨论的思想解题．
(1)直接根据邻补角的定义求解即可；
(2)分两种情况讨论，分别画出图形，根据三角形外角的性质和三角形内角和求解即可；
(3)根据新定义分别运用平行线的性质或举反例的方法对各命题进行判断即可；
(4)分两种情况讨论，分别画出图形，根据角平分线定义、三角形外角的性质和三角形内角和求解即可．
【解答】
解：(1)如图，∵直线AB和直线CD相交于点O，∠AOC=130°，

∴∠BOC=180°−∠AOC=180°−130°=50°，
∴直线AB与直线CD“夹角”的度数是50°．
故答案为50；
(2)见答案；
(3)①如下图，

当∠1=∠2时，AB不一定平行CD，故①错误；
②若∠1+∠2=180°，根据两条直线的“夹角”的定义可知：∠1=∠2=90°，
∴AB一定平行CD，故②正确；
③若AB//CD，且∠1和∠2都是锐角或直角，
∴∠1和∠2内错角或同旁内角(此时∠1=∠2=90°)，
∴∠1=∠2；故③正确；
④如下图，AB//CD，

此时的∠1=∠2，且∠1和∠2都不等于90°，
∴∠1+∠2=180°不一定正确，故④错误．
因此正确的命题是②③．
故答案为②③；
(4)分两种情况讨论：
如图3，∠BEM=m°，∠DFE=n°，∠EGH不为钝角．
∵l1是∠BEF的平分线所在直线，l2是∠EFD的平分线所在直线，
∴∠FEG=12180°−m°=90°−12m°，∠EFG=12n°，
∴l1与l2“夹角”∠EGH=∠FEG+∠EFG=90°−12m°+12n°=90°−12m−n°；

如图4，∠BEM=m°，∠CFE=n°，∠EGF不为钝角．

∵l1是∠BEF的平分线所在直线，l2是∠EFD的平分线所在直线，
∴∠FEG=12180°−m°=90°−12m°，∠EFG=12180°−n°=90°−12n°，
∴l1与l2“夹角”∠EGF=180°−∠FEG−∠EFG=12(m+n)°；
如图5，∠BEN=m°，∠DFM=n°，∠EGH不为钝角．
∵l1是∠BEF的平分线所在直线，l2是∠EFD的平分线所在直线，
∴∠FEG=12m°，∠EFG=12180°−n°=90°−12n°，
∴l1与l2“夹角”∠EGH=∠FEG+∠EFG=12m°+90°−12n°=90°−12n−m°；

综上，l1与l2“夹角”的度数是12(m+n)或90°−12m−n．  
19.【答案】真  1：2：3 
【解析】解：(1)令等边三角形三边的长度为a，
则a2+a2=2a2，符合奇异三角形的概念，
∴“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题；
故答案为：真；

(2)∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，
∴根据勾股定理得：c2=a2+b2，记作①，
又Rt△ABC是奇异三角形，
∴2a2=b2+c2，②
将①代入②得：a2=2b2，即a=2b(不合题意，舍去)，
∴2b2=a2+c2，③
将①代入③得：b2=2a2，即b=2a，
将b=2a代入①得：c2=3a2，即c=3a，
则a：b：c=1：2：3．
故答案为：1：2：3；

(3)①∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴点A、C、B、D共圆，记作⊙O，
∴AB是⊙O的直径，
∵AD=BD，
∴AB2=AD2+BD2=2AD2，
∴AC2+CB2=2AD2，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC2+CE2=2AE2，
∴△ACE是奇异三角形；
②设AD=b，BC=a，
∴AE=BD=AD=b，CE=CB=a，
由①得AC2+CE2=2AE2，即3+a2=2b2①，
∵△ACE为直角三角形，
∴∠AEC=90°或∠CAE=90°，
1°，当∠AEC=90°时，AE2+CE2=AC2，即b2+a2=3 ②，
由①②，得：3+3−b2=2b2，
∴AB=2b2=2；
2°，当∠CAE=90°时，AC2+AE2=CE2，即3+b2=a2③，
由①③，得：3+3+b2=2b2，
∴b2=6，
∴AB=2b2=23；
综上，AB=2或23．
(1)令等边三角形三边的长度为a，根据等边三角形的性质及奇异三角形的概念求解即可得；
(2)由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理列出关系式c2=a2+b2，记作①，再由新定义两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，列出关系式2a2=b2+c2，记作②，或2b2=a2+c2，记作③，联立①②或①③，用一个字母表示出其他字母，即可求出所求的比值．
(3)①AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；
②设AD=b，BC=a，知AE=BD=AD=b，CE=CB=a，结合①得3+a2=2b2①，根据△ACE为直角三角形，可分∠AEC=90°或∠CAE=90°两种情况，根据勾股定理可分别得出关于a、b的另一个方程，结合①式求解可得．
此题是四边形的综合问题，考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质等知识．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．

20.【答案】解：
(1)证明：如图1，延长BC到D，过点C作CE//BA，

∵BA//CE，
∴∠B=∠1，∠A=∠2，
又∵∠BCA+∠2+∠1=180∘，
∴∠A+∠B+∠ACB=180∘．
(2)证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180∘，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180∘，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D.
(3)∠P=90∘+12(∠B+∠D)．
证明：如图2，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵(∠1+∠2)+∠B=(180∘−2∠3)+∠D，
∴2∠2=180∘−2∠3+∠D−∠B，
∵∠2+∠P=(180∘−∠3)+∠D，
∴2∠2=360∘−2∠3+2∠D−2∠P，
∴180∘−2∠3+∠D−∠B=360∘−2∠3+2∠D−2∠P，
∴2∠P=180∘+∠D+∠B，
∴∠P=90∘+12(∠B+∠D)．

(4)b．∠3+∠4−∠1−∠2不变正确．
证明：过点P作PQ//AB，如图，
∵AB//CD，
∴PQ//CD，
由AB//PQ得∠APQ+∠3+∠4=180∘，即∠APQ=180∘−∠3−∠4，
由PQ//CD得∠5=∠2，
∵AB//CD，∴∠BAC+∠ACD=180∘，
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴∠PAC+∠PCA=12(∠BAC+∠ACD)=12×180∘=90∘，
∴∠APQ+∠5+∠1=90∘，
∴180∘−∠3−∠4+∠2+∠1=90∘，
∴∠3+∠4−∠1−∠2=90∘．

 
【解析】略

21.【答案】解：∵∠1:∠2:∠3=28:5:3，
∴设∠1=28x，则∠2= 5x，∠3=3x．
∵△ABC的内角和为180∘，
∴28x+5x+3x= 180∘，解得x=5∘．
∴∠1=28×5∘=140∘，∠3=3×5∘=15∘．
 ∵△ABE和△ADC是由△ABC分别沿着边AB、AC翻折得到的，
∴∠BAE=∠1=140∘，∠3=∠E=∠GCA．
∴∠GAC= 360∘−∠BAE−∠1=80∘．
∵△FGE、△AGC的内角和均为180∘，∠FGE=∠AGC，∠E=∠GCA，
∴∠α=∠GAC=80∘． 
【解析】见答案

22.【答案】解：(1)①当点P在BC上时，如图①−1，
若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP=12BC=92cm，
此时，点P移动的距离为AC+CP=12+92=332，
移动的时间为：332÷3=112秒，
②当点P在BA上时，如图①−2
若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD=12BC，即点P为BA中点，
此时，点P移动的距离为AC+CB+BP=12+9+152=572cm，
移动的时间为：572÷3=192秒，
故答案为：112或192；
(2)△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；
①当点P在AC上，如图②−1所示：
此时，AP=4，AQ=5，
∴点Q移动的速度为5÷(4÷3)=154cm/s，
②当点P在AB上，如图②−2所示：
此时，AP=4，AQ=5，
即，点P移动的距离为9+12+15−4=32cm，点Q移动的距离为9+12+15−5=31cm，
∴点Q移动的速度为31÷(32÷3)=9332cm/s，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，点Q的运动速为154cm/s或9332cm/s． 
【解析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答的关键．
(1)分两种情况进行解答，①当点P在BC上时，②当点P在BA上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P移动的距离，从而求出时间即可；
(2)由△APQ≌△DEF，可得对应顶点为A与D，P与E，Q与F；于是分两种情况进行解答，①当点P在AC上，②当点P在AB上，分别求出P移动的距离和时间，进而求出Q的移动速度．

23.【答案】解：∵AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
即∠CAD+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
又∵AC=BC，
∴△BCE≌△CAD(AAS)，
∴CE=AD，BE=CD，
∵AD=2.5cm，DE=1.7cm，
∴DE=CE−DC=2.5−1.7=0.8(cm)． 
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．根据BE⊥CE，AD⊥CE得∠E=∠ADC，则∠CAD+∠ACD=90°，再由∠ACB=90°，得∠BCE+∠ACD=90°，则∠BCE=∠CAD，从而证出△BCE≌△CAD，进而得出DE的长．

24.【答案】证明：(1)∵AD//BC，
∴∠DAE=∠CFE，∠D=∠ECF，
∵E为CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE与△FCE中，
∠DAE=∠CFE∠D=∠ECFDE=CE，
∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴CF=AD；
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴CF=AD=2，AE=EF，
∵BE⊥AF，
∴BF=AB=6，
∴BC=BF−CF=6−2=4． 
【解析】此题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质与判定，关键是根据AAS证明△ADE与△FCE全等．
(1)根据AAS证明△ADE与△FCE全等即可；
(2)根据全等三角形的性质得，CF=AD，AE=EF，由AE=EF、BE⊥AF，可得BF=AB，解答即可．

25.【答案】解：(1)如图，线段CD和四边形ABCD为所作；

(2)四边形ABCD的面积=7×4−12×3×4−12×3×4−12×2×1=15． 
【解析】(1)把CB绕点C顺时针旋转90度可得到CD；
(2)利用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积去计算四边形ABCD的面积．
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．