河南省郑州市中原区第一中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份河南省郑州市中原区第一中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（3分×10＝30分）
1．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次项系数为（ ）
A．1B．4C．﹣3D．3
2．（3分）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有71次摸到红球．请你估计这个口袋中白球的数量为（ ）个．
A．29B．30C．3D．7
3．（3分）下列命题错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组邻边分别相等的四边形是菱形
C．矩形的四个内角均为直角
D．正方形的两条对角线互相垂直且相等
4．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2＝17B．（x﹣4）2＝17C．（x+4）2＝15D．（x﹣4）2＝15
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是
B．某种彩票中奖的概率是，那么买10000张这种彩票一定会中奖
C．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”的概率与“一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率相同
D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
6．（3分）若顺次连接某四边形的四边中点得到一个矩形，则原四边形一定是（ ）
A．任意四边形
B．对角线相等的四边形
C．平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
8．（3分）要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．计划安排28场比赛，应邀请多少个队参赛（ ）
A．6B．7C．8D．9
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．则PE+PF的值为（ ）
A．2.5B．3C．2.4D．4.8
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG＝60°，GE＝2BG，则折痕EF的长为（ ）
A．1B．C．2D．
二、填空题（3分×5＝15分）
11．（3分）菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长是 cm．
12．（3分）若从﹣2，0，1这三个数中任取两个数，其中一个记为a，另一个记为b，则点A（a，b）恰好落在直线y＝﹣x﹣1上的概率是 ．
13．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，那么m的取值范围是 ．
14．（3分）已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．E、F分别是边AD、CD上的点，若AE＝4cm，CF＝3cm，且OE⊥OF，则EF的长为 cm．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A'处，如果A'恰在矩形的某条对称轴上，则AE的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（10分）解方程：
（1）（x﹣1）2＝2x（1﹣x）．
（2）3x2+5x+1＝0．
17．（9分）某市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的统计图．
（1）该小区居民在这次随机调查中被调查的人数是 人，m＝ ；
（2）补全条形统计图，若该小区有居民1500人，试估计去C景区旅游的居民约有多少人？
（3）甲、乙两人暑假打算游玩，甲从B，C两个景点中任意选择一个游玩，乙从B，C，E三个景点中任意选择一个游玩，用列表法或树状图法求甲、乙恰好游玩同一景点的概率．
18．（9分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形．
19．（9分）小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起能配成紫色），同时随机转动这两个转盘，若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请列表格画树状图说明理由．
20．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，延长DF交AN于点E，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）填空：
①若BC＝AB＝4，则四边形ABDE的面积为 ．
②当△ABC满足 时，四边形ADCE是正方形．
21．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0．
（1）若x＝1是方程的根，求m的值；
（2）若等腰三角形ABC的一边长为3，它的其他两边长恰好为这个方程的两个根，求m的值．
22．（10分）今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，该电脑城决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
23．（10分）如图1．已知正方形ABCD的边长为1，点P是AD边上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，连接PQ、DQ、CQ、BQ，设AP＝x．
（1）BQ+DQ的最小值是 ．此时x的值是 ．
（2）如图2，若PQ的延长线交CD边于点E，并且∠CQD＝90°．
①求证：点E是CD的中点；②求x的值．
（3）若点P是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDQ为等腰三角形时x的值．
2022-2023学年河南省郑州一中九年级（上）第一次月考
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（3分×10＝30分）
1．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次项系数为（ ）
A．1B．4C．﹣3D．3
【分析】根据一元二次方程的一般形式：形如ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），一次项系数是b，即可解答．
【解答】解：关于x的一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次项系数为4，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
2．（3分）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有71次摸到红球．请你估计这个口袋中白球的数量为（ ）个．
A．29B．30C．3D．7
【分析】根据题意，可以计算出红球出现的概率，从而可以得到白球出现的概率，从而可以求得白球的个数，本题得以解决．
【解答】解：∵71÷100≈0.7，
∴白球的数量为：10×（1﹣0.7）＝10×0.3＝3（个），
故选：C．
【点评】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答．
3．（3分）下列命题错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组邻边分别相等的四边形是菱形
C．矩形的四个内角均为直角
D．正方形的两条对角线互相垂直且相等
【分析】根据平行四边形、菱形的判定定理和矩形、正方形的性质判断即可．
【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，命题正确，不符合题意；
B、两组邻边分别相等的四边形不一定是菱形，如图，AB＝AD，CB＝CD，但四边形ABCD不是菱形，故本选项命题错误，符合题意；
C、矩形的四个内角均为直角，命题正确，不符合题意；
D、正方形的两条对角线互相垂直且相等，命题正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2＝17B．（x﹣4）2＝17C．（x+4）2＝15D．（x﹣4）2＝15
【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
【解答】解：∵x2﹣8x﹣1＝0，
∴x2﹣8x＝1，
∴x2﹣8x+16＝1+16，即（x﹣4）2＝17，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是
B．某种彩票中奖的概率是，那么买10000张这种彩票一定会中奖
C．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”的概率与“一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率相同
D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
【分析】根据概率的意义以及随机事件和必然事件的定义对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是，此选项错误，不符合题意；
B．某种彩票中奖的概率是，那么买10000张这种彩票不一定会中奖，原命题说法是错误的，此选项不符合题意；
C．连续掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”的概率是，“一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率是，此选项错误，不符合题意；
D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查概率公式和列表法与树状图法，解题的关键是掌握概率的意义与概率公式及树状图法与列表法求概率．
6．（3分）若顺次连接某四边形的四边中点得到一个矩形，则原四边形一定是（ ）
A．任意四边形
B．对角线相等的四边形
C．平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形
【分析】利用中点四边形的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵顺次连接任意四边形的四边中点得到一个平行四边形，
∴A选项不符合题意；
∵顺次连接对角线相等的四边形的四边中点得到一个菱形，
∴B选项的结论不符合题意；
∵顺次连接一个平行四边形的四边中点得到一个平行四边形，
∴C选项的结论不符合题意；
∵顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点得到一个矩形，
∴D选项的结论正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查了中点四边形的性质，充分利用中点四边形的性质对每个选项进行逐一判断是解题的关键．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【分析】先求出“Δ”的值，再根据根的判别式判断即可．
【解答】解：x2+bx﹣2＝0，
Δ＝b2﹣4×1×（﹣2）＝b2+8，
∵不论b为何值，b2≥0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
8．（3分）要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．计划安排28场比赛，应邀请多少个队参赛（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排28场比赛即可列出方程求解．
【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x﹣1＝15，
即＝28，
∴x2﹣x﹣56＝0，
∴x＝8或x＝﹣7（不合题意，舍去）．
即：应邀请8个球队参加比赛．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．则PE+PF的值为（ ）
A．2.5B．3C．2.4D．4.8
【分析】连接OP，过点A作AG⊥BD于G，利用勾股定理列式求出BD，再利用三角形的面积求出AG，然后根据△AOD的面积求出PE+PF＝AG即可．
【解答】解：如图所示，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，
∵AB＝3，AD＝4，
∴由勾股定理可得BD＝＝5，S△ABD＝AB•AD＝BD•AG，
即×3×4＝×5×AG，
解得：AG＝，
在矩形ABCD中，OA＝OD，
∵S△AOD＝OA•PE+OD•PF＝OD•AG，
∴PE+PF＝AG＝．
故PE+PF＝＝2.4．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握各性质并利用面积法是解题的关键．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG＝60°，GE＝2BG，则折痕EF的长为（ ）
A．1B．C．2D．
【分析】由折叠的性质可知，DF＝GF、HE＝CE、GH＝DC、∠DFE＝∠GFE，结合∠AFG＝60°即可得出∠GFE＝60°，进而可得出△GEF为等边三角形，在Rt△GHE中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE＝2EC、DC＝EC，再由GE＝2BG结合矩形面积为4，即可求出EC的长度，根据EF＝GE＝2EC即可求出结论．
【解答】解：由折叠的性质可知，DF＝GF，HE＝CE，GH＝DC，∠DFE＝∠GFE．
∵∠GFE+∠DFE＝180°﹣∠AFG＝120°，
∴∠GFE＝60°．
∵AF∥GE，∠AFG＝60°，
∴∠FGE＝∠AFG＝60°，
∴△GEF为等边三角形，
∴EF＝GE．
∵∠FGE＝60°，∠FGE+∠HGE＝90°，
∴∠HGE＝30°．
在Rt△GHE中，∠HGE＝30°，
∴GE＝2HE＝2CE，
∴GH＝＝HE＝CE．
∵GE＝2BG，
∴BC＝BG+GE+EC＝4EC．
∵矩形ABCD的面积为4，
∴4EC•EC＝4，
∴EC＝1，EF＝GE＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质、等边三角形的判定及性质以及解含30度角的直角三角形，根据边角关系及解直角三角形找出BC＝4EC、DC＝EC是解题的关键．
二、填空题（3分×5＝15分）
11．（3分）菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长是 20 cm．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA＝AC，OB＝BD，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝×6＝3cm，
OB＝BD＝×8＝4cm，
根据勾股定理得，AB＝＝5cm，
所以，这个菱形的周长＝4×5＝20cm．
故答案为：20
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记．
12．（3分）若从﹣2，0，1这三个数中任取两个数，其中一个记为a，另一个记为b，则点A（a，b）恰好落在直线y＝﹣x﹣1上的概率是 ．
【分析】利用树状图得出所有的情况，从中找到使点A（a，b）恰好落在直线y＝﹣x﹣1的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：画树状图如下
由树状图知，共有6个等可能的结果，在直线y＝﹣x﹣1上有（﹣2，1）和（1，﹣2），
∴点A（a，b）恰好落在直线y＝﹣x﹣1上的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出m，再从中选出符合事件A或B的结果数目n，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了一次函数的图象上点的坐标特征．
13．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，那么m的取值范围是 m≤3且m≠2 ．
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
即：4﹣4（m﹣2）≥0，
解得：m≤3，
∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0中m﹣2≠0，
∴m≠2，
故答案为：m≤3且m≠2．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
14．（3分）已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．E、F分别是边AD、CD上的点，若AE＝4cm，CF＝3cm，且OE⊥OF，则EF的长为 5 cm．
【分析】连接EF，根据条件可以证明△OED≌△OFC，则OE＝OF，CF＝DE＝3Ccm，则AE＝DF＝4，根据勾股定理得到EF＝＝5cm．
【解答】解：连接EF，
∵OE⊥OF
∴∠EOD+∠FOD＝90°
∵四边形ABCD是正方形
∴∠COF+∠DOF＝90°
∴∠EOD＝∠FOC
而∠ODE＝∠OCF＝45°
∴△OFC≌△OED，
∴OE＝OF，CF＝DE＝3cm，则AE＝DF＝4，
根据勾股定理得到EF＝＝5cm．
故答案为5．
【点评】根据已知条件以及正方形的性质求证出两个全等三角形是解决本题的关键．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A'处，如果A'恰在矩形的某条对称轴上，则AE的长为 或 ．
【分析】分两种情况：①过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，得出AM＝BN＝4，由勾股定理得到A′N＝3，求得A′M＝2，再由勾股定理解得A′E即可；
②过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q；求出∠EBA′＝30°，由含30°角的直角三角形的性质即可得出结果．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，
则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，
∴AM＝BN＝AD＝4，MN＝AB＝5，
∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，
∴A′E＝AE，A′B＝AB＝5，
∴A′N＝＝3，
∴A′M＝MN﹣A'N＝5﹣3＝2，
由勾股定理得：A′E2＝EM2+A′M2，
∴A′E2＝（4﹣A′E）2+22，
解得：A′E＝，
∴AE＝；
②如图2，过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，
则直线PQ是矩形ABCD 的对称轴，
∴PQ⊥AB，AP＝PB，AD∥PQ∥BC，
∴A′B＝2PB，
∴∠PA′B＝30°，
∴∠A′BC＝30°，
∴∠EBA′＝30°，
∴AE＝A′E＝A′B＝；
综上所述：AE的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，矩形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识；正确理解折叠的性质是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（10分）解方程：
（1）（x﹣1）2＝2x（1﹣x）．
（2）3x2+5x+1＝0．
【分析】（1）先移项得到（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（2）先计算根的判别式的值，然后利用求根公式解方程．
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝2x（1﹣x），
（x﹣1）2＝﹣2x（x﹣1），
（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣1+2x）＝0，
x﹣1＝0或x﹣1+2x＝0，
所以x1＝1，x2＝；
（2）Δ＝52﹣4×3×1＝13＞0，
x＝，
所以x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解一元二次方程．
17．（9分）某市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的统计图．
（1）该小区居民在这次随机调查中被调查的人数是 200 人，m＝ 35 ；
（2）补全条形统计图，若该小区有居民1500人，试估计去C景区旅游的居民约有多少人？
（3）甲、乙两人暑假打算游玩，甲从B，C两个景点中任意选择一个游玩，乙从B，C，E三个景点中任意选择一个游玩，用列表法或树状图法求甲、乙恰好游玩同一景点的概率．
【分析】（1）用去D景区旅游的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用去到B景区旅游的居民数除以总人数可得到m的值；
（2）先计算出去到C景区旅游的居民数，则可补全条形统计图；然后用去C景区旅游的居民数的百分比乘以1500即可；
（3）画树状图展示所有6种等可能的结果，找出甲、乙恰好游玩同一景点的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数为20÷10%＝200（人）；
m%＝×100%＝35%，
即m＝35；
故答案为200；35；
（2）去C景区旅游的居民人数为200﹣20﹣70﹣20﹣50＝40（人），
补全统计图如下：
1500×＝300（人），
所以估计去C景区旅游的居民约有300人；
（3）画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中甲、乙恰好游玩同一景点的结果数为2，
所以甲、乙恰好游玩同一景点的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
18．（9分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形．
【分析】先证△AOE≌△COF，根据全等三角形的性质得出OE＝OF，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，根据线段垂直平分线求出AE＝CE，即可得出答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴平行四边形AFCE是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是求出OE＝OF，综合性比较强，难度适中．
19．（9分）小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起能配成紫色），同时随机转动这两个转盘，若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请列表格画树状图说明理由．
【分析】将A盘中蓝色划分为两部分，将B盘中红色也划分为两部分，画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求出两人获胜的概率即可判断．
【解答】解：不公平，
将A盘中蓝色部分记为蓝a、蓝b，B盘中红色部分记为红1、红2，
画树状图如下：
由树状图可知共有9种等可能结果，其中能配成紫色的有5种结果，
∴小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，
∵≠，
∴这个游戏对双方不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，延长DF交AN于点E，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）填空：
①若BC＝AB＝4，则四边形ABDE的面积为 4 ．
②当△ABC满足 ∠BAC＝90° 时，四边形ADCE是正方形．
【分析】（1）根据AN是△ABC外角∠CAM的平分线，推得∠MAE＝（∠B+∠ACB），再由∠B＝∠ACB，得∠MAE＝∠B，则AN∥BC，根据CE⊥AN，得出四边形ADCE为矩形．
（2）①先证明四边形ABDE为平行四边形，由条件可证明△ABC为等边三角形，求出BD和AD长，则四边形ABDE的面积可求出；
②由（1）知四边形ADCE是矩形，增加条件能使AD＝DC即可．
【解答】证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠MAC，
∵∠MAC＝∠B+∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠MAE＝∠B，
∴AN∥BC，
∵F为AC的中点，D为BC的中点，
∴FD∥AB，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AE＝BD
∵BD＝CD，
∴AE＝CD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵AB＝AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴AD⊥AE，
∴∠DAE＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）①解：∵AB＝AC，D是BC中点，F是AC中点，
∴DF∥AB，
由（1）知AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵BC＝AB＝4，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵D为BC的中点，
∴∠ADC＝90°，BD＝2，
∴，
∴四边形ABDE的面积为BD×AD＝2×＝4，
故答案为：4；
②解：答案不唯一，如当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵D为BC的中点，
∴AD＝DC，
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形．
故答案为：∠BAC＝90°．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．
21．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0．
（1）若x＝1是方程的根，求m的值；
（2）若等腰三角形ABC的一边长为3，它的其他两边长恰好为这个方程的两个根，求m的值．
【分析】（1）将x＝﹣1代入原方程即可求出m值；
（2）由Δ≥0，求出m的取值范围，分两种情况：①当3是腰时，3是方程的一个根，把x＝3代入方程可求得m；②两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，由Δ＝0可求出m＝16，两种情况都根据三角形的三边关系检验．
【解答】解：（1）将x＝﹣1代入x2﹣8x+m＝0得，1﹣8×1+m＝0，
解得m＝7；
（2）根据题意得Δ＝82﹣4m≥0，解得m≤16，
当3是腰时，3是方程的一个根，把x＝3代入方程得9﹣24+m＝0，
解得m＝15，
此时方程的另一根为5，
∵3+3＞5，
∴三角形存在；
两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，
∴Δ＝0，
则m＝16，
此时两根都为4，
三角形存在，
综上所述，m＝15或16．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．掌握当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根是解决问题的关键．
22．（10分）今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，该电脑城决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
【分析】（1）设平均下降率为x，利用2021年该类电脑显卡的出厂价＝2019年该类电脑显卡的出厂价×（1﹣下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（38﹣m）元，每天可售出（20+2m）个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润＝每个的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设平均下降率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）个，
依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，
整理得：m2﹣28m+195＝0，
解得：m1＝15，m2＝13．
∵为了减少库存，
∴m＝15，
答：单价应降低15元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（10分）如图1．已知正方形ABCD的边长为1，点P是AD边上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，连接PQ、DQ、CQ、BQ，设AP＝x．
（1）BQ+DQ的最小值是 ．此时x的值是 ．
（2）如图2，若PQ的延长线交CD边于点E，并且∠CQD＝90°．
①求证：点E是CD的中点；②求x的值．
（3）若点P是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDQ为等腰三角形时x的值．
【分析】（1）BQ+DQ为点B到D两段折线的和．由两点间线段最短可知，连接DB，若Q点落在BD上，此时和最短，且为．考虑动点运动，这种情形是存在的，由AP＝x，则PD＝1﹣x，PQ＝x．又PDQ＝45°，所以，即1﹣x＝．求解可得x＝．
（2）由已知条件对称分析，AB＝BQ＝BC，则∠BCQ＝∠BQC，由∠BQE＝∠BCE＝90°，可得∠EQC＝∠ECQ．那么若有QE＝ED，则结论可证．再分析新条件∠CQD＝90°，易得①结论．求x，通常都是考虑勾股定理，选择直角三角形PDE，发现PE，DE，PD都可用x来表示，进而易得方程，求解即可．
（3）若△CDQ为等腰三角形，则边CD比为改等腰三角形的一腰或者底边．又Q点为A点关于PB的对称点，则AB＝QB，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，则Q点只能在弧AB上．若CD为腰，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧交点即为使得△CDQ为等腰三角形（CD为腰）的Q点．若CD为底边，则作CD的垂直平分线，其与弧AC的交点即为使得△CDQ为等腰三角形（CD为底）的Q点．则如图所示共有三个Q点，那么也共有3个P点．作辅助线，利用直角三角形性质求之即可．
【解答】（1）答：，．
（2）①证明：在正方形ABCD中，
AB＝BC，∠A＝∠BCD＝90°．
∵Q点为A点关于BP的对称点，
∴AB＝QB，∠A＝∠PQB＝90°，
∴QB＝BC，∠BQE＝∠BCE，
∴∠BQC＝∠BCQ，
∴∠EQC＝∠EQB﹣∠CQB＝∠ECB﹣∠QCB＝∠ECQ，
∴EQ＝EC．
在Rt△QDC中，
∵∠QDE＝90°﹣∠QCE，
∠DQE＝90°﹣∠EQC，
∴∠QDE＝∠DQE，
∴EQ＝ED，
∴CE＝EQ＝ED，即E为CD的中点．
②解：∵AP＝x，AD＝1，
∴PD＝1﹣x，PQ＝x，CD＝1．
在Rt△DQC中，
∵E为CD的中点，
∴DE＝QE＝CE＝，
∴PE＝PQ+QE＝x+，
∴，
解得 x＝．
（3）答：△CDQ为等腰三角形时x的值为2﹣，，2+．
（分析如下：以下内容作答不要求书写）
如图，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧分别交于Q1，Q3．此时△CDQ1，△CDQ3都为以CD为腰的等腰三角形．
作CD的垂直平分线交弧AC于点Q2，此时△CDQ2以CD为底的等腰三角形．
以下对此Q1，Q2，Q3．分别讨论各自的P点，并求AP的值．
①讨论Q1，如图作辅助线，连接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1交AD于P，过点Q1，作EF⊥AD于E，交BC于F．
∵△BCQ1为等边三角形，正方形ABCD边长为1，
∴，．
在四边形ABQ1P中，
∵∠ABQ1＝30°，
∴∠APQ1＝150°，
∴△PEQ1为含30°的直角三角形，
∴PE＝．
∵AE＝，
∴x＝AP＝AE﹣PE＝2﹣．
②讨论Q2，如图作辅助线，连接BQ2，AQ2，过点Q2作PG⊥BQ2，交AD于P，连接BP，过点Q2作EF⊥CD于E，交AB于F．
∵EF垂直平分CD，
∴EF垂直平分AB，
∴AQ2＝BQ2．
∵AB＝BQ2，
∴△ABQ2为等边三角形．
在四边形ABQP中，
∵∠BAD＝∠BQP＝90°，∠ABQ2＝60°，
∴∠APE＝120°
∴∠EQ2G＝∠DPG＝180°﹣120°＝60°，
∴，
∴EG＝，
∴DG＝DE+GE＝﹣1，
∴PD＝1﹣，
∴x＝AP＝1﹣PD＝．
③讨论Q3，如图作辅助线，连接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，过点Q3作BQ3⊥PQ3，交AD的延长线于P，连接BP，过点Q1，作EF⊥AD于E，此时Q3在EF上，不妨记Q3与F重合．
∵△BCQ1为等边三角形，△BCQ3为等边三角形，BC＝1，
∴，，
∴．
在四边形ABQ3P中
∵∠ABF＝∠ABC+∠CBQ3＝150°，
∴∠EPF＝30°，
∴EP＝EF＝．
∵AE＝，
∴x＝AP＝AE+PE＝+2．
综上所述，△CDQ为等腰三角形时x的值为2﹣，，2+．
【点评】本题第一问非常基础，难度较低．第二问因为动点的原因，思路不易找到，这里就需要做题时充分分析已知条件，尤其是新给出的条件．其中求边长是勾股定理的重要应用，是很重要的考点．第三问是一个难度非常高的题目，可以利用尺规作图的思想将满足要求的点Q找全．另外求解各个P点也是考察三角函数及勾股定理的综合应用，有着极高的难度．