江西省赣州市南康区第二中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题（含答案）

南康二中2022—2023学年第一学期高一年级第一次月考

数学试题

（总分：150分，考试时间：120分钟）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的.

1.下列元素与集合的关系，正确的是（    ）

A. B. C. D.

2.集合，则集合的真子集的个数为（    ）

A.8 B.6 C.7 D.15

3.命题“，”的否定是（    ）

A.，  B.，

C.，  D.，

4.如果，那么（    ）

A. B. C. D.

5.“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

6.已知集合，，，则（    ）

A. B. C. D.

7.已知，则的最小值为（    ）

A.6 B.4 C.3 D.2

8.已知集合，集合中元素个数为（    ）

A.4 B.3 C.2 D.1

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.下列命题正确的是（    ）

A.“”是“”的充分不必要条件

B.命题“，”的否定是“，”

C.设，，则“且”是“”的必要而不充分条件

D.设，，则“”是“”的必要而不充分条件

10.已知不等式的解集是，则（    ）

A. B.， C. D.不等式的解集是

11.对于任意实数，，，，有以下四个命题，其中正确的是（    ）

A.若，，则 B.若，则

C.若，则  D.若，，则

12.下列各结论正确的是（    ）

A.“”是“”的充要条件

B.的最小值为2

C.命题“，”的否定是“，”

D“一元二次函数的图象过点”是“”的充要条件.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知集合，，则______.

14.“”是“”的______条件.

15.已知，为正实数，且，则的最小值为______.

16.某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，变动的范围是______.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

求集合的子集和真子集.

18.（12分）

设全集，集合，.

（1）求及；

（2）求.

19.（12分）

已知集合，，若，求实数的取值范围.

20.（12分）

（1）已知，求的最小值；

（2）已知，是正实数，且，求的最小值.

21.（12分）

已知关于的不等式.

（1）当时，解关于的不等式；

（2）当时，解关于的不等式.

22.（12分）

已知关于的不等式（）.

（1）若不等式的解集是，求的值；

（2）若不等式的解集是，求的取值范围；

（3）若不等式的解集为，求的取值范围.

南康二中2022—2023学年第一学期高一年级第一次月考

数学参考答案

1. B

【分析】由，，，分别表示的数集，对选项逐一判断即可.

【详解】不属于自然数，故A错误；

0不属于正整数，故B正确；

是无理数，不属于有理数集，故C错误；

属于实数，故D错误.

故选：B.

2. C

【分析】按照真子集的公式求解即可.

【详解】集合的真子集的个数为个.

故选：C.

3. B

【分析】由命题的否定的定义判断.

【详解】全称命题蝗否定是特称命题.

命题“，”的否定是，.

故选：B.

4. C

【分析】举例判断A，B，D错误，再证明C正确.

【详解】由已知可取，，，则

，A错，

，B错，

，，，D错，

因为，所以，

所以，故，C对，

故选：C.

5. A

【分析】解出一元二次不等式，然后由集合的包含关系得结论.

【详解】的解是，是集合的真子集，因此应是充分不必要条件.

故选：A.

6. B

【分析】按照并集和补集计算即可.

【详解】由题意，得，所以.

故选：B.

7. A

【分析】利用基本不等式可得答案.

【详解】，，

，

当且仅当即时，取最小值6，

故选：A.

8. B

【分析】根据集合的交集的运算，求得，即可得到答案.

【详解】由题意，可得集合，，则，故选B.

【点睛】本题主要考查了集合的运算，以及构成集合的元素的个数的判定，其中解答中熟记集合的交集的运算，得到集合是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

9. ABD

【分析】由充分必要条件的概念可判断ACD，由全称命题的否定可判断B.

【详解】对于选项A：“”可推出“”；但是当时，有可能是负数，“”推不出“”，“”是“”的充分不必要条件，故A正确；

对于选项B：命题“，”的否定是“，”，故B正确；

对于选项C：当，时，，但是“且”不成立，“”推不出“且”，“且”是“”的充分不必要条件，故C错误；

对于选项D：“”推不出“”，但“”可推出“”，“”是“”的必要而不充分条件，故D正确.

故选：ABD.

10. AC

【分析】结合不等式的解集与方程的根之间的关系，求得，且，逐项判定，即可求解.

【详解】解：因为不等式的解集是，

所以，3是方程的两个根，所以，且，所以A正确；

所以，，所以，，所以B错误；

当时，此时，所以C正确；

把，代入不等式，可得，

因为，所以，即，此时不等式的解集显然不是，所以D不正确.

故选：AC.

11. BD

【解析】（1）可举反例证明不正确.（2）因为成立，则.（3）为正数，为负数时不成立.（4）因为，则，所以.

【详解】A选项：，，但是，A不正确；

B选项：因为成立，则，那么，B正确；

C选项：，但是，C不正确；

D选项：因为，则，又，所以，D正确.

故选：BD.

【点睛】此题考查不等式比较大小，一般可通过特值法证伪判错，属于简单题目.

12. AD

【分析】根据符号规律可判断A；根据基本不等式成立条件以及利用单调性求最值可判断B；

根据全称命题否定形式可判断C；结合二次函数图象与性质可判断D.

【详解】，故A正确；

，令，则，且在区间上，函数值随自变量的增大而增大，最小值为，故B错误；

命题“，”的否定是“，”，故C错误；

一元二次函数的图象过点显然有，反之亦可，故D正确.

故选：AD.

【点睛】本题考查充要条件判断、全称命题否定、函数最值求法，考查综合分析判断能力，属于中档题.

13.

【分析】直接根据并集定义求解即可.

【详解】因为，，所以，

故答案为：.

14.必要不充分

【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可.

【详解】若，则或；

若，则且；

故由“”可得“”，但由“”不能得到“”，

即“”是“”的必要不充分条件；

故答案为：必要不充分

15.

【分析】由题意化简得到，进而得到，结合基本不等式，即可求解.

【详解】由，为正实数，且，可化为：，

则

所以，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

16.

【分析】求出征收耕地占用税后每年损失耕地，乘以每亩耕地的价值后再乘以得征地占用税，由征地占用税大于等于9000求解的范围.

【详解】由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为万亩，

则税收收入.

由题意，

整理得，解得.

当耕地占用税率为时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元.

的范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题.

17.子集是，，，，真子集是，，.

【分析】根据二次方程的解法可得，根据子集和真子集的定义求解即可

【详解】集合，

集合的子集是，，，，共4个；

集合的真子集是，，，共3个.

18.（1），；（2）.

【分析】（1）根据集合的交并集运算求解即可；

（2）根据集合的补集的运算和交集的运算求解即可.

【详解】解：（1）因为，，

所以，

（2）因为，所以，

所以.

19.

【分析】由已知，根据条件给的集合和集合，结合，通过对集合进行分类讨论，讨论集合是不是空集，然后借助数轴从而确定参数的取值范围.

【详解】解析  由，得，从而.

①若，则，解得；

②若，在数轴上标出集合，，如图所示，

则，解得.

综上，实数的取值范围是.

20.（1）7；（2）.

【分析】（1）由题可知，，利用基本不等式即可求解；

（2）利用基本不等式“1的妙用”即可求解.

【详解】（1），即，

，

当且仅当，即时取等号，

的最小值为7.

（2），，.

当且仅当，即，时取等号.

的最小值为.

21.（1）；

（2）答案见解析

【分析】（1）将不等式化为即可求得结果；

（2）将不等式化为，当时，不等式变为，

计算的两根，根据两根大小关系讨论不等式解集.

【详解】（1）当时，不等式可化为：，

不等式的解集为；

（2）不等式可化为：，

当时，，

的根为：，，

①当时，，不等式解集为，

②当时，，不等式解集为，

③当时，，不等式解集为，

综上，当时，不等式解集为，

当时，不等式解集为，

当时，不等式解集为.

22.（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）由题意可知不等式的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数的值；

（2）由题意得出，由此可解得实数的取值范围；

（3）由题意得出，由此可解得实数的取值范围.

【详解】（1）因为不等式（）的解集是，

所以，和是方程的两个实数根，且，

由韦达定理得，所以；

（2）由于不等式（）的解集是，

所以，解得，因此，实数的取值范围是；

（3）由于不等式（）的解集为，

则不等式（）对任意的恒成立，所以，解得.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了一元二次不等式恒成立，考查计算能力，属于中等题.